スカラー場のハミルトニアン

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本ページでは…

 本ページでは、スカラー場の正準共役運動量\(\pi\)

\begin{align}\pi=\frac{\partial\mathscr L}{\partial\partial_0\phi}=\partial^0\phi\end{align}

を求め、ルジャンドル変換

\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ (\partial^0\phi\pi-\mathscr L)\end{align*}

によってスカラー場のハミルトニアン

\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ (\partial^0\phi\pi-\mathscr L)\\&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2+\frac{m^2}{2}\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\phi^4\right)\end{align*}

を求める。

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前ページでは、クライン-ゴルドン方程式の知識を使わず、クライン-ゴルドン方程式を導くラグランジアン密度をスカラー場の次元解析から求めた。

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内容

スカラー場の正準共役運動量

 場の理論における正準共役運動量\(\pi\)は

\begin{align*}\pi=\frac{\partial\mathscr L}{\partial\partial_0\phi}\tag{1}\end{align*}

であった(以前のページを参照)ため、スカラー場のラグランジアン密度\(\mathscr L\)

\begin{align}\mathscr{L}=\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4\tag{2}\end{align}

を代入すると

\begin{align}\pi=\frac{\partial\mathscr L}{\partial\partial_0\phi}=\partial^0\phi\tag{3}\end{align}

となり、スカラー場\(\phi\)の正準共役運動量\(\pi\)が得られる。

ルジャンドル変換

 場の理論におけるルジャンドル変換は

\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ (\partial^0\phi\pi-\mathscr L)\tag{4}\end{align*}

であった(以前のページを参照)ため、スカラー場のラグランジアン密度\(\mathscr L\)を代入すると

\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ (\partial^0\phi\pi-\mathscr L)\\&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2+\frac{m^2}{2}\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\phi^4\right)\tag{5}\end{align*}

となり、スカラー場のハミルトニアン\(H\)が得られる。また、ハミルトニアン\(H\)とハミルトニアン密度\(\mathscr H\)の関係は

\begin{align*}H=\int dx^3\ \mathscr H\tag{6}\end{align*}

であったため、ハミルトニアン密度\(\mathscr H\)は

\begin{align*}\mathscr H=\frac{1}{2}\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2+\frac{m^2}{2}\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\phi^4\tag{7}\end{align*}

となることが分かる。

クライン-ゴルドン方程式の導出

 場の理論における正準方程式は

\begin{align*}\frac{\partial \mathscr H}{\partial \phi(t,\boldsymbol y)}-\partial_i\frac{\partial \mathscr H}{\partial \partial_i\phi(t,\boldsymbol y)}&=-\partial^0\pi(t,\boldsymbol y)\tag{8}\\\frac{\partial \mathscr H}{\partial \pi(t,\boldsymbol y)}&=\partial^0\phi(t,\boldsymbol y)\tag{9}\end{align*}

であった(以前のページを参照、\(i=1,2,3\))ため、この2式にハミルトニアン密度\(\mathscr H\)を代入すると

\begin{align*}m^2\phi+\frac{\lambda}{3!}\phi^3-\nabla^2\phi&=-\partial^0\pi\tag{10}\\\pi&=\partial^0\phi\tag{11}\end{align*}

となり、式(10)に式(11)を大丈夫すると

\begin{align}\partial_\mu\partial^\mu\phi+m^2\phi+\frac{\lambda}{3!}\phi^3=0\tag{12}\end{align}

となって、クライン-ゴルドン方程式が得られる。

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次ページから…

次ページでは、クライン-ゴルドン方程式を導くハミルトニアン\(H\)

\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2+\frac{m^2}{2}\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\phi^4\right)\end{align*}

を第2量子化することによって、演算子となったハミルトニアン\(\hat H\)

\begin{align*}\hat H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\hat\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\hat\phi)^2+\frac{m^2}{2}\hat\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\hat\phi^4\right)\end{align*}

を求める。


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