HOME ＞ 解析力学 ＞ ハミルトン力学 ＞場の正準共役運動量
【前ページ】 【次ページ】
本ページでは…
本ページでは、場の理論における正準共役運動量\(\pi\)が汎関数微分を用いて
\begin{align*}\pi(t,\boldsymbol y)=\frac{\delta L[\phi]}{\delta\partial_0\phi(t,\boldsymbol y)}\end{align*}
と表すことができ、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)を用いると偏微分となって
\begin{align*}\pi(t,\boldsymbol y)=\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_0\phi(t,\boldsymbol y)}\end{align*}
となることを確認する。
前ページまで…
前ページでは、正準変数の定義を確認し、正準変数になるための条件式を求めた。また、ある正準変数から別の正準変数への変換である正準変数について調べた。
内容
場の正準共役運動量
粒子の正準共役運動量\(p_i\)は
\begin{align*}p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\tag{1}\end{align*}
であった(以前のページを参照、\(\dot \square\)は時間微分を表す)ため、これを参考にすると場の正準共役運動量\(\pi\)は汎函数微分を用いて
\begin{align*}\pi=\frac{\delta L[\phi]}{\delta\partial_0\phi(t,\boldsymbol y)}\tag{2}\end{align*}
と表せると予想できる。ここで偏微分を用いて表せない理由を述べる。ラグランジアン\(L[\phi]\)はラグランジアン密度\(\mathscr L(\phi(t,\boldsymbol x),\partial_\mu\phi(t,\boldsymbol x))\)を空間積分したもの
\begin{align*}L[\phi]=\int dx^3\ \mathscr L(\phi(t,\boldsymbol x),\partial_\mu\phi(t,\boldsymbol x))\tag{3}\end{align*}
であり、ラグランジアン\(L[\phi]\)はもはや変数\(\phi(t,\boldsymbol y)\)による関数ではなく、\(\phi(t,\boldsymbol y)\)の関数形によって値が決まる汎関数であり、汎関数\(L[\phi]\)には変数\(\phi(t,\boldsymbol y)\)があらわに含まれないからである(以前のページを参照)。
ラグランジアンの微小変化\(\delta L [\phi]\)は
\begin{align*}\delta L[\phi]&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\partial \mathscr L}{\partial \phi( t,\boldsymbol x)}\delta \phi( t,\boldsymbol x)-\delta \phi( t,\boldsymbol x)\partial_i\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_i\phi( t,\boldsymbol x)}+\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_0\phi( t,\boldsymbol x)}\delta\partial_0 \phi( t,\boldsymbol x)\right)\tag{4}\end{align*}
\begin{align*}\delta L[\phi]&=\int d \boldsymbol x^3\ \delta \mathscr L(\phi(t,\boldsymbol x),\partial_\mu\phi(t,\boldsymbol x))\\&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\partial \mathscr L}{\partial \phi( t,\boldsymbol x)}\delta \phi( t,\boldsymbol x)+\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_\mu\phi( t,\boldsymbol x)}\delta\partial_\mu \phi( t,\boldsymbol x)\right)\\&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\partial \mathscr L}{\partial \phi( t,\boldsymbol x)}\delta \phi( t,\boldsymbol x)+\partial_i\left(\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_i\phi( t,\boldsymbol x)}\delta \phi( t,\boldsymbol x)\right)-\delta \phi( t,\boldsymbol x)\partial_i\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_i\phi( t,\boldsymbol x)}+\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_0\phi( t,\boldsymbol x)}\delta\partial_0 \phi( t,\boldsymbol x)\right)\\&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\partial \mathscr L}{\partial \phi( t,\boldsymbol x)}\delta \phi( t,\boldsymbol x)-\delta \phi( t,\boldsymbol x)\partial_i\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_i\phi( t,\boldsymbol x)}+\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_0\phi( t,\boldsymbol x)}\delta\partial_0 \phi( t,\boldsymbol x)\right)\end{align*}
3行目への変形では\(i=1,2,3\)において部分積分を行ない、4行目への変形では\(i=1,2,3\)において全微分項を無視した。ここで、ラグランジアン\(L\)はラグランジアン密度\(\mathscr L\)の時空積分ではなく空間積分であるため、\(\mu=0\)の項を部分積分して全微分項を無視することはできない。
であるから、変数の中で\(\partial_0\phi(t,\boldsymbol y)\)以外を固定(\(\delta\phi=0\))したとき、\(\partial_0\phi(t,\boldsymbol y)\)の無限小増分に対する汎関数\(L[\phi]\)の増分は
\begin{align*}\frac{\delta L[\phi]}{\delta\partial_0\phi(t,\boldsymbol y)}&=\int d \boldsymbol x^3\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_0\phi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta\partial_0 \phi( t,\boldsymbol x)}{\delta\partial_0 \phi( t,\boldsymbol y)}\\&=\int d \boldsymbol x^3\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_0\phi(t,\boldsymbol x)}\delta^3( \boldsymbol x- \boldsymbol y)\\&=\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_0\phi(t,\boldsymbol y)}\tag{5}\end{align*}
となり、\(\partial_0\phi(t,\boldsymbol y)\)によるラグランジアン\(L\)の汎関数微分はラグランジアン密度\(\mathscr L\)の偏微分になることが分かる。よって、場の正準共役運動量\(\pi\)はラグランジアン密度\(\mathscr L\)を用いて表すと
\begin{align*}\pi(t,\boldsymbol y)=\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_0\phi(t,\boldsymbol y)}\tag{6}\end{align*}
となることが分かる。
次ページから…
次ページでは、ルジャンドル変換から場の理論におけるハミルトニアン\(H\)
\begin{align*}H&=\int d^3\boldsymbol x\ \partial^0\phi\pi- L\end{align*}
を求める。また、汎函数微分を用いて表した場の理論における正準方程式
\begin{align*}\frac{\delta H}{\delta\phi(t,\boldsymbol y)}&=-\partial^0\pi(t,\boldsymbol y)\\\frac{\delta H}{\delta\pi(t,\boldsymbol y)}&=\partial^0\phi(t,\boldsymbol y)\end{align*}
を求め、次の関係
\begin{align*}H=\int d^3\boldsymbol x\ \mathscr H\end{align*}
を満たすハミルトニアン密度\(\mathscr H\)を用いて場の理論における正準方程式が
\begin{align*}\frac{\partial \mathscr H}{\partial \phi(t,\boldsymbol y)}-\partial_i\frac{\partial \mathscr H}{\partial \partial_i\phi(t,\boldsymbol y)}&=-\partial^0\pi(t,\boldsymbol y)\\\frac{\partial \mathscr H}{\partial \pi(t,\boldsymbol y)}&=\partial^0\phi(t,\boldsymbol y)\end{align*}
となることを確認する。
【前ページ】 【次ページ】
HOME ＞ 解析力学 ＞ ハミルトン力学 ＞場の正準共役運動量
