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本ページでは、ハミルトン力学における場の理論のネーターの定理を用いることにより、全角運動量保存則から空間回転不変性が導かれることを確認し、角運動量\(\hat{J}^{ij}\)は空間回転の生成子であることを確認する。
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前ページでは、ハミルトン力学における場の理論のネーターの定理を用いることにより、全エネルギー運動量保存則から時空並進不変性が導かれることを確認し、エネルギー運動量\(\hat{ P}^\nu\)は時空並進の生成子であることを確認する。
内容
全角運動量保存則と空間回転不変性
場の理論のネーターの定理(ラグランジュ力学)から、時空座標\(x\)を無限小ローレンツ定数\(\Delta\omega^\mu{}_\nu\)だけ(無限小)回転させても物理法則が変わらないローレンツ不変性が系に存在するとき、次の保存量\(Q\)
\begin{align*}Q=\frac{1}{2}\Delta\omega_{\lambda\nu} J^{\lambda\nu}\tag{1}\end{align*}
が保存し、全角運動量保存則の背景にはローレンツ不変性があることを以前のページで見た。
この逆の関係も成り立つことを見てみる。ただし、煩雑な計算を避けるためここでは空間内での角運動量\(J^{ij}(i,=1,2,3)\)に限る。場の量子論のネーターの定理(ハミルトン力学)より、全角運動量\(J^{ij}(i,=1,2,3)\)から構成される保存量\(Q\)が保存するとき、物理量\(A\)が次の無限小変化量
\begin{align*}\delta_JA&=-\{Q, A\}\\&=-\frac{1}{2}\left\{\sum_{i,j=1}^3\Delta\omega_{ij} J^{ij},A\right\}\tag{2}\end{align*}
だけ変化する無限小変換で不変性が存在する。ここでは、計算をシンプルにするため物理量\(A\)として場\(\phi(t,\boldsymbol y)\)を考えると、無限小変化量\(\delta_J\phi\)は
\begin{align*}\delta_J\phi&=-\{Q, \phi\}\\&=-\frac{1}{2}\left\{\sum_{i,j=1}^3\Delta\omega_{ij} J^{ij}, \phi\right\}\\&=\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^3\Delta\omega_{ij}(y^i\partial^j-y^j\partial^i)\phi(t,\boldsymbol y)\\&=\sum_{i,j=1}^3\Delta\omega_{ij}y^i\partial^j\phi(t,\boldsymbol y)\tag{3}\end{align*}
\begin{align*}\delta_J\phi&=-\{Q, \phi\}\\&=-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^3\{\Delta\omega_{ij} J^{ij}, \phi(t,\boldsymbol y)\}\\&=-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^3\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta (\Delta\omega_{ij} J^{ij})}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}{\delta\pi(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta (\Delta\omega_{ij} J^{ij})}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)} \frac{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}{\delta\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\\&=\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^3\int d \boldsymbol x^3\ \frac{\delta (\Delta\omega_{ij} J^{ij})}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)} \delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\\&=\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^3\frac{\delta (\Delta\omega_{ij} J^{ij})}{\delta \pi(t,\boldsymbol y)} \\&=\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^3\Delta\omega_{ij}\int{d}^3\boldsymbol z\ \left\{\frac{\delta \pi(t,\boldsymbol z)}{\delta \pi(t,\boldsymbol y)}(z^i\partial^j-z^j\partial^i)\phi(t,\boldsymbol z)\right\}\\&=\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^3\Delta\omega_{ij}\int{d}^3\boldsymbol z\ \delta^3(\boldsymbol y-\boldsymbol z)(z^i\partial^j-z^j\partial^i)\phi(t,\boldsymbol z)\\&=\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^3\Delta\omega_{ij}(y^i\partial^j-y^j\partial^i)\phi(t,\boldsymbol y)\\&=\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^3\left\{\Delta\omega_{ij}(y^i\partial^j-y^j\partial^i)\phi(t,\boldsymbol y)+\Delta\omega_{ij}(y^i\partial^j+y^j\partial^i)\hat\phi(t,\boldsymbol y)\right\}\\&=\sum_{i,j=1}^3\Delta\omega_{ij}y^i\partial^j\hat\phi(t,\boldsymbol y)\end{align*}
3行目への変形ではポアソン括弧の定義式
\begin{align}\left\{X,Y\right\}=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta X}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta Y}{\delta\pi(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta X}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)} \frac{\delta Y}{\delta\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\end{align}
を用い、4行目と7行目への変形では次の関係式
\begin{align*}\frac{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}{\delta\phi(t,\boldsymbol x)}&=\frac{\delta \pi(t,\boldsymbol y)}{\delta\pi(t,\boldsymbol x)}=\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\\\frac{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}{\delta\pi(t,\boldsymbol x)}&=0\end{align*}
を用い、6行目への変形では角運動量\(J^{ij}\)を含んだ式(以前のページを参照)
\begin{align*}\Delta\omega_{ij}J^{ij}&=\Delta\omega_{ij}\int{d}^3\boldsymbol z\ \pi(z^i\partial^j-z^j\partial^i)\phi\end{align*}
を用い、9行目への変形ではゼロである次の量
\begin{align*}\sum_{i,j=1}^3\Delta\omega_{ij}(y^i\partial^j+y^j\partial^i)\phi(t,\boldsymbol y)=0\end{align*}
を足した(定数\(\Delta\omega_{ij}\)が反対称\(\Delta\omega_{ij}=-\Delta\omega_{ji}\)であることからこの式が成り立つ、以前のページを参照)。
最後の無限小変化量\(\Delta\omega_{ij} y^j\partial^i \phi\)は以前のページで現れた無限小変化量と添え字の位置が違うと思うかもしれないが、次のように変形すれば同じであることが分かる(\(i,j,k=1,2,3\))。
\begin{align}\Delta\omega_{ij} y^j\partial^i \phi&=\eta^{k i}\Delta\omega_{ij} y^j\partial_k \phi\\&=\Delta\omega^k{}_j y^j\partial_k \phi\end{align}
と計算でき、この無限小変化量は空間座標\(x_i\)が無限小ローレンツ定数\(\Delta\omega_{ij}\)だけ回転した時の場\(\phi\)の変化量であることが分かる。よって、無限小変換は
\begin{align*}\phi(t,\boldsymbol x)\rightarrow \phi(t,\boldsymbol x’)&=\phi(t,\boldsymbol x)+\delta_J \phi\\&=\phi(t,\boldsymbol x)+\sum_{i,j=1}^3\Delta\omega_{ij}x^i\partial^j\phi(t,\boldsymbol x)\\&=\phi(t,\boldsymbol x+\Delta\boldsymbol \omega\cdot\boldsymbol x)\tag{4}\end{align*}
となって、全角運動量\(J^{ij}\)が保存するとき、空間座標\(x_i\)が無限小ローレンツ定数\(\Delta\omega_{ij}\)だけ回転する空間回転における不変性が存在する。
以上より、空間回転不変性の背景には全角運動量保存則があるとも言える。
量子力学において、ある保存量\(Q\)が存在するときの物理量\(A\)の無限小変化量は演算子\(\hat Q\)と\(\hat A\)を用いて
\begin{align*}\delta_QA[\phi,\pi]&=\frac{i}{\hbar}[\hat Q,\hat A[\hat \phi,\hat p]]\tag{5}\end{align*}
と表される(前ページを参照)ため、今回のような角運動量\(J^{ij}\)から構成される量\(Q\)が保存するときの場\(\phi\)の無限小変化量は、演算子\(\hat Q\)と\(\hat \phi\)を用いて
\begin{align*}[\hat Q, \hat \phi]&=-i\hbar\delta_J\phi\\\rightarrow\left[\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^3\Delta\omega_{ij}\hat J^{ij} ,\hat \phi\right]&=-i\hbar\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^3\Delta\omega_{ij}(x^i\partial^j-x^j\partial^i)\hat \phi\\\rightarrow[ \hat J^{ij}, \hat \phi]&=-i\hbar(x^i\partial^j-x^j\partial^i)\hat \phi\tag{6}\end{align*}
となり、後のページでこの関係式を使う(式(6)において、2行目への変形では演算子表示した式(3)を用いた)。
角運動量と空間回転の生成子
式(4)を量子力学における演算子表示にすると
\begin{align*}\hat \phi\rightarrow \hat \phi’&=\hat \phi+\delta_J \phi\tag{7}\end{align*}
となり、この無限小変換を引き起こす演算子は
\begin{align*}\hat U_J(\Delta\omega)&=e^{\frac{i}{\hbar}\sum\Delta\omega_{ij} \hat J^{ij}}\tag{8}\end{align*}
と表すことができる。このことは、次のように場\(\hat \phi\)に左右から演算子\(\hat U_J(\Delta\omega)\)を作用させることで確認することができる。
\begin{align*}\hat U_J(\Delta\omega)\hat \phi\hat U_J^{-1}(\Delta\omega)=\hat \phi+\delta_J \phi\tag{9}\end{align*}
\begin{align*}\hat U_J(\Delta\omega)\hat \phi\hat U_J^{-1}(\Delta\omega)&=e^{\frac{i}{\hbar}\sum\Delta\omega_{ij} \hat J^{ij}}\hat \phi e^{-\frac{i}{\hbar}\sum\Delta\omega_{ij} \hat J^{ij}}\\&=\left(1+\frac{i}{\hbar}\sum_{i,j=1}^3\Delta\omega_{ij} \hat J^{ij}+\cdots\right)\hat \phi\left(1-\frac{i}{\hbar}\sum_{i,j=1}^3\Delta\omega_{ij} \hat J^{ij}+\cdots\right)\\&\simeq\hat \phi+\frac{i}{\hbar}\sum_{i,j=1}^3\Delta\omega_{ij} \hat J^{ij}\hat \phi-\frac{i}{\hbar}\hat \phi\sum_{i,j=1}^3\Delta\omega_{ij} \hat J^{ij}\\&=\hat \phi+\frac{i}{\hbar}\left[\sum_{i,j=1}^3\Delta\omega_{ij} \hat J^{ij},\hat \phi\right]\\&=\hat \phi+\delta_J \phi\end{align*}
2行目への変形ではテイラー展開を行ない、3行目への変形では無限小ローレンツ定数\( \Delta\omega_{ij}\)の2次以上の項を無視し、4行目への変形では交換関係の記号を用い、5行目への変形では量子力学における場の理論のネーターの定理(以前のページ参照)
\begin{align*}\delta_QA[\phi,\pi]&=\frac{i}{\hbar}[\hat Q,\hat A[\phi,\pi]]\end{align*}
を用いた。
式(8)より、角運動量\(J^{ij}\)は空間回転の無限小変換を作り出しているため、空間回転の生成子と呼ばれる。
空間回転の有限変換
無限小変換を起こす演算子\(\hat U_J(\Delta\omega)\)の無限小定数\(\Delta\omega_{ij}\)を有限定数\( a_{ij}\)に置き換えることにより有限変換を起こす演算子
\begin{align*}\hat U_J(a)&=e^{\frac{i}{\hbar} \sum a_{ij} \hat J^{ij}}\tag{10}\end{align*}
が得られる。このことは、場\(\hat \phi\)の左右から演算子\(\hat U_J( a)\)を作用させることで確認することができる。
\begin{align*}\hat U_J( a)\hat \phi\hat U_J^{-1}( a)=\hat \phi+ \sum_{i,j=1}^3a_{ij}x^i\partial^j\hat\phi\tag{11}\end{align*}
\begin{align*}\hat U_J( a)\hat \phi\hat U_J^{-1}( a)&=e^{\frac{i}{\hbar} \sum a_{ij} \hat J^{ij}}\hat \phi e^{-\frac{i}{\hbar}\sum a_{ij} \hat J^{ij}}\\&=\underbrace{e^{\frac{i}{\hbar}\sum\Delta\omega_{ij} \hat J^{ij}}\cdots e^{\frac{i}{\hbar}\sum\Delta\omega_{ij} \hat J^{ij}}}_{m}\hat \phi\underbrace{e^{-\frac{i}{\hbar}\sum\Delta\omega_{ij} \hat J^{ij}}\cdots e^{-\frac{i}{\hbar}\sum\Delta\omega_{ij} \hat J^{ij}}}_m\\&=\underbrace{e^{\frac{i}{\hbar}\sum\Delta\omega_{ij} \hat J^{ij}}\cdots e^{\frac{i}{\hbar}\sum\Delta\omega_{ij} \hat J^{ij}}}_{m-1}\left(\hat \phi+\sum_{i,j=1}^3\Delta\omega_{ij}x^i\partial^j\hat\phi\right)\underbrace{e^{-\frac{i}{\hbar}\Delta\omega_{ij} \hat J^{ij}}\cdots e^{-\frac{i}{\hbar}\sum\Delta\omega_{ij} \hat J^{ij}}}_{m-1}\\&=\underbrace{e^{\frac{i}{\hbar}\Delta\omega_{ij} \hat J^{ij}}\cdots e^{\frac{i}{\hbar}\sum\Delta\omega_{ij} \hat J^{ij}}}_{m-2}\left(\hat \phi+2\sum_{i,j=1}^3\Delta\omega_{ij}x^i\partial^j\hat\phi\right)\underbrace{e^{-\frac{i}{\hbar}\Delta\omega_{ij} \hat J^{ij}}\cdots e^{-\frac{i}{\hbar}\sum\Delta\omega_{ij} \hat J^{ij}}}_{m-2}\\&=\cdots\\&=\hat \phi+m\sum_{i,j=1}^3\Delta\omega_{ij}x^i\partial^j\phi\\&=\hat \phi+\sum_{i,j=1}^3a_{ij}x^i\partial^j\phi\end{align*}
2行目への変形では次のように定義
\begin{align*} a_{ij}=m\Delta\omega_{ij}\end{align*}
した\(m\)を用いて展開し、3行目への変形では式(9)と式(3)を用い、4行目への変形では無限小ローレンツ定数\( \Delta\omega_{ij}\)の2次以上の項を無視し、7行目への変形では再度
\begin{align*} a_{ij}=m\Delta\omega_{ij}\end{align*}
を用いた。
空間回転の演算子
以上より、｢\(i/\hbar\)｣と｢\(\Delta\omega_{ij}\)や\( a_{ij}\)などの変換のパラメーター｣と｢空間回転の生成子\(\hat J^{ij}\)｣の積を指数関数の肩に上げたものは、空間回転を引き起こす演算子\(\hat U_J\)
\begin{align*}\hat U_J( \Delta\omega)&=e^{\frac{i}{\hbar}\sum\Delta\omega_{ij}J^{ij}}\tag{8}\\\hat U_J( a)&=e^{\frac{i}{\hbar}\sum a_{ij} \hat J^{ij}}\tag{10}\end{align*}
となることが分かる。
角運動量演算子\(\hat{J}^{ij}\)は次の関係
\begin{align*}(\hat{J}^{ij})^\dagger=\hat{ J}^{ij}\tag{12}\end{align*}
を満たすエルミート演算子であるため、空間回転を引き起こす演算子\(\hat U_J\)は次の関係
\begin{align*}\hat U_J^\dagger=\hat U_J^{-1}\tag{13}\end{align*}
を満たすユニタリ演算子となる。
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