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本ページでは、超ポテンシャルを用いて、自由粒子の超対称パートナーがローゼン-モースポテンシャルであることをみる。
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これまでのページで、超対称パートナーである2つのハミルトニアン\(\hat H_{\scriptsize +}\),\(\hat H_{\scriptsize -}\)は超ポテンシャル\(W(x)\)を用いて次の形になることを見た。
\begin{align*}\hat H_{\scriptsize +}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V_{\scriptsize +}(x)\tag{1}\\\hat H_{\scriptsize -}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V_{\scriptsize -}(x)\tag{2}\end{align*}
\begin{align*}V_{\scriptsize +}(x)=\frac{1}{2m}(W'(x))^2-\frac{\hbar}{2m}W^{”}(x)+\epsilon\tag{3}\\V_{\scriptsize -}(x)=\frac{1}{2m}(W'(x))^2+\frac{\hbar}{2m}W^{”}(x)+\epsilon\tag{4}\end{align*}
また、超対称パートナーハミルトニアンのエネルギースペクトルは励起状態では完全に一致し、基底状態ではどちらかまたはどちらも消失することを見た。そして、基底状態の消失は超ポテンシャルの形によって決定され、超ポテンシャルが
\begin{align*}W(x)=a_{\scriptsize 0}+a_{\scriptsize 1}x+a_{\scriptsize 2}x^2+\cdots+a_{\scriptsize n}x^n\tag{5}\end{align*}
の形のとき、ウィッテン指数\(\varDelta _W\)は
\begin{align*}(\text i)&nが偶数,a_{\scriptsize n}＜\ 0\rightarrow \varDelta _W=-1\\(\text {ii})&nが偶数,a_{\scriptsize n}＞\ 0\rightarrow \varDelta _W=+1\\(\text {iii})&nが奇数,a_{\scriptsize n}＜\ 0\rightarrow \varDelta _W=0\\(\text {iv})&nが奇数,a_{\scriptsize n}＞\ 0\rightarrow \varDelta _W=0\end{align*}
となることを確認した。ここで、ウィッテン指数は、基底状態における波動関数\(\psi_{\scriptsize {E,+}}\)の数を表す\(\mathcal N^+_{\scriptsize E=\epsilon}\)から、波動関数\(\psi_{\scriptsize {E,-}}\)の数を表す\(\mathcal N^-_{\scriptsize E=\epsilon}\)を引いた数である。
内容
超ポテンシャルが次の形で与えられているとする。
\begin{align*}W(x)=\hbar\log\cosh(x)\tag{6}\end{align*}
すると、超ポテンシャルの1階微分と2回微分、そして1階微分の二乗は
\begin{align*}W'(x)&=\hbar\tanh (x)\tag{7}\\W^{”}(x)&=\frac{\hbar}{\cosh^2(x)}\tag{8}\\(W'(x))^2&=\hbar^2\left(1-\frac{1}{\cosh^2(x)}\right)\tag{9}\end{align*}
で与えられ、超対称パートナーの関係にあるポテンシャルは
\begin{align*}V_{\scriptsize +}&=\frac{\hbar^2}{2m}\left(1-\frac{2}{\cosh^2(x)}{2}\right)\tag{10}\\V_{\scriptsize -}&=\frac{\hbar^2}{2m}\tag{11}\end{align*}
となる。よって、ハミルトニアンは
\begin{align*}\hat H_{\scriptsize +}&=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{\hbar^2}{2m}\left(1-\frac{2}{\cosh^2(x)}\right)\tag{12}\\\hat H_{\scriptsize -}&=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{\hbar^2}{2m}\tag{13}\end{align*}
という形になる(積分定数\(\epsilon\)はゼロとした)。また、超ポテンシャルの形は\(\log\cosh(x)\)であり無限遠\(\pm\infty\)で正に発散するため、ウィッテン指数は\(+1\)であり、\(\hat H_{\scriptsize -}\)の基底状態は消失していることが分かる。ハミルトニアン\(\hat H_{\scriptsize -}\)の二項目は\(x\)に依存しない定数項のためポテンシャル\(V_{\scriptsize -}\)は定数であり、\(\hat H_{\scriptsize -}\)は自由粒子のハミルトニアンになる。一方、自由粒子のハミルトニアンの超対称パートナーハミルトニアン\(\hat H_{\scriptsize +}\)のポテンシャル\(V_{\scriptsize +}\)は非自明な形
\begin{align*}V_{\scriptsize +}=\frac{\hbar^2}{2m}\left(1-\frac{2}{\cosh^2(x)}\right)\tag{10}\end{align*}
であり、ローゼン-モースポテンシャルと呼ばれる。このハミルトニアンの基底状態の波動関数は
\begin{align*}\psi_{\scriptsize { E,+}}&=N_{\scriptsize 0}\exp{\left(-\frac{1}{\hbar}W(x)\right)}\\&=N_{\scriptsize 0}\exp\left(-\log\cosh(x)\right)\\&=N_{\scriptsize 0}\frac{1}{\cosh(x)}\tag{14}\end{align*}
である(\(N_{\scriptsize 0}\)は規格化定数)。
以上より、自由粒子の超対称パートナーは非自明なローゼン-モースポテンシャルである。(実際には、これ以外にも非自明な超対称パートナーが無数に存在するが、その事については後の記事で紹介する。)
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