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本ページでは、ディラック方程式
\begin{align*}\left(i\boldsymbol\gamma^\mu\partial_\mu-\frac{mc}{\hbar} \right)\boldsymbol\psi=0\end{align*}
を構成するガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^0\)の固有値は\(\pm1\)、\(\boldsymbol\gamma^j(j=1,2,3)\)の固有値は\(\pm i\)であり、\(\boldsymbol\gamma^0\)はエルミート行列、\(\boldsymbol\gamma^j(j=1,2,3)\)は反エルミート行列であることをみる。
また、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)はユニタリ行列でもあり、単位行列\(\boldsymbol I_N\)とガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^j(j=1,2,3)\)は互いに直交することを調べる。
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前ページでは、クライン-ゴルドン方程式から、1階の時間微分と1階の空間微分を含むディラック方程式
\begin{align*}\left(i\boldsymbol\gamma^\mu\partial_\mu-\frac{mc}{\hbar} \right)\boldsymbol\psi=0\tag{1}\end{align*}
を求めた。
また、ディラック方程式を構成するガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)が満たすべき条件
\begin{align*}\{\boldsymbol\gamma^\mu,\boldsymbol\gamma^\nu\}=2\eta^{\mu\nu}\boldsymbol I_N\ \ \ \ \ (\mu,\nu=0,1,2,3)\tag{2}\end{align*}
を求めた。
内容
ガンマ行列の固有値
はじめに、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)の固有値\(\lambda\)を求めてみる。
ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)の固有値方程式を固有値\(\lambda\)と固有ベクトル\(\boldsymbol{{u}}\)を用いて表すと
\begin{align}\boldsymbol{\gamma}^\mu\boldsymbol{{u}}=\lambda\boldsymbol{{u}}\tag{3}\end{align}
となり、両辺の左からガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)を掛けると
\begin{align}\left(\boldsymbol{\gamma}^\mu\right)^2\boldsymbol{{u}}=\lambda\boldsymbol{\gamma}^\mu\boldsymbol{{u}}\tag{4}\end{align}
となる。ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)の自乗は式(2)より、
\begin{align}\left\{\boldsymbol{\gamma}^\mu,\ \boldsymbol{\gamma}^\mu\right\}&=\boldsymbol{\gamma}^\mu\boldsymbol{\gamma}^\mu+\boldsymbol{\gamma}^\mu\boldsymbol{\gamma}^\mu\\&=2\eta^{\mu\mu}\boldsymbol{I_{N}}\\\rightarrow(\boldsymbol\gamma^\mu)^2&=\eta^{\mu\mu}\boldsymbol{I_{N}}\tag{5}\end{align}
であるから、式(4)の左辺に式(5)を代入し右辺に式(3)を代入すると
\begin{align}\eta^{\mu\mu}\boldsymbol{{u}}=(\lambda)^2\boldsymbol{{u}}\tag{6}\end{align}
が得られ、この式よりガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^0\)の固有値\(\lambda\)は
\begin{align}\lambda=\pm1\tag{7}\end{align}
であり、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^j(j=1,2,3)\)の固有値\(\lambda\)は
\begin{align}\lambda=\pm i\tag{8}\end{align}
であることが分かる。
ガンマ行列のエルミート性
ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)のエルミート性を調べるために、式(3)両辺の左から固有ベクトルのエルミート共役\(\boldsymbol u^\dagger\)を掛けてみる。
\begin{align}\boldsymbol u^\dagger\boldsymbol{\gamma}^\mu\boldsymbol{{u}}&=\boldsymbol u^\dagger\lambda\boldsymbol{{u}}\\&=\lambda\boldsymbol u^\dagger\boldsymbol{{u}}\tag{9}\end{align}
ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^0\)において固有値は実数であるため、\(\lambda=\lambda^*\)が成り立ち、式(9)は
\begin{align}\boldsymbol u^\dagger\boldsymbol{\gamma}^0\boldsymbol{{u}}&=\lambda\boldsymbol u^\dagger\boldsymbol{{u}}\\&=\lambda^*\boldsymbol u^\dagger\boldsymbol u\\&=(\lambda\boldsymbol u)^\dagger\boldsymbol u\\&=(\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol u)^\dagger\boldsymbol u\\&=\boldsymbol u^\dagger(\boldsymbol{\gamma}^0)^\dagger\boldsymbol{{u}}\tag{10}\end{align}
と変形できて、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^0\)はエルミート行列
\begin{align*}(\boldsymbol\gamma^0)^\dagger=\boldsymbol\gamma^0\tag{11}\end{align*}
であることが分かる。
また、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^j(j=1,2,3)\)において固有値は虚数であるため、\(\lambda=-\lambda^*\)が成り立ち、式(9)は
\begin{align}\boldsymbol u^\dagger\boldsymbol{\gamma}^j\boldsymbol{{u}}&=\lambda\boldsymbol u^\dagger\boldsymbol{{u}}\\&=-\lambda^*\boldsymbol u^\dagger\boldsymbol u\\&=-(\lambda\boldsymbol u)^\dagger\boldsymbol u\\&=-(\boldsymbol\gamma^j\boldsymbol u)^\dagger\boldsymbol u\\&=-\boldsymbol u^\dagger(\boldsymbol{\gamma}^j)^\dagger\boldsymbol{{u}}\tag{12}\end{align}
と変形できて、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^j\)は反エルミート行列
\begin{align*}(\boldsymbol\gamma^j)^\dagger=-\boldsymbol\gamma^j\tag{13}\end{align*}
であることが分かる。
ガンマ行列のユニタリ性
次に、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\nu\)がユニタリ行列であるかを調べてみる。
ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^0\)において、エルミート共役との積を式(11)と式(5)を用いて計算すると
\begin{align*}\boldsymbol\gamma^0(\boldsymbol\gamma^0)^\dagger&=(\boldsymbol\gamma^0)^2\\&=\boldsymbol I_N\tag{14}\end{align*}
となり、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^0\)はユニタリ行列であることが分かる。
また、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^j(j=1,2,3)\)において、エルミート共役との積を式(13)と式(5)を用いて計算すると
\begin{align*}\boldsymbol\gamma^j(\boldsymbol\gamma^j)^\dagger&=-(\boldsymbol\gamma^j)^2\\&=\boldsymbol I_N\tag{15}\end{align*}
となり、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^j(j=1,2,3)\)もユニタリ行列であることが分かる。
以上より、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)は全てユニタリ行列である。
ガンマ行列のトレース
ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)のトレース(対角和、対格成分の総和)はゼロになることを確認する。実際にトレースをとってみると
\begin{align}\text{tr}\left(\boldsymbol{\gamma}^\mu\right)&=\text{tr}\left(\boldsymbol{\gamma}^\mu\boldsymbol I_N\right)\\&=\text{tr}\left(\eta^{\nu\nu}\boldsymbol{\gamma}^\mu(\eta^{\nu\nu}\boldsymbol I_N)\right)\ \ \ \ \ (\mu\neq\nu)\\&=\text{tr}\left(\eta^{\nu\nu}\boldsymbol{\gamma}^\mu\boldsymbol{\gamma}^\nu\boldsymbol{\gamma}^\nu\right)\\&=\text{tr}\left(-\eta^{\nu\nu}\boldsymbol{\gamma}^\nu\boldsymbol{\gamma}^\mu\boldsymbol{\gamma}^\nu\right)\\&=\text{tr}\left(-\eta^{\nu\nu}\boldsymbol{\gamma}^\mu\boldsymbol{\gamma}^\nu\boldsymbol{\gamma}^\nu\right)\\&=\text{tr}\left(-\eta^{\nu\nu}\boldsymbol{\gamma}^\mu(\eta^{\nu\nu}\boldsymbol I_N)\right)\\&=\text{tr}\left(-\boldsymbol{\gamma}^\mu\right)\\&=-\text{tr}\left(\boldsymbol{\gamma}^\mu\right)\tag{16}\end{align}
となることから、
\begin{align}\text{tr}\left(\boldsymbol{\gamma}^\mu\right)=0\tag{17}\end{align}
が成り立ち、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)のトレースはゼロであることが分かる。
※※※式(16)において、2行目への変形では計量テンソル\(\eta^{\mu\mu}\)の自乗は\(1\)になることを用い、3行目への変形では式(5)
\begin{align*}(\boldsymbol\gamma^\nu)^2&=\eta^{\nu\nu}\boldsymbol{I_{N}}\tag{5}\end{align*}
を代入し、4行目への変形では\(\mu\neq\nu\)において式(2)を変形して成り立つ次の式
\begin{align*}\boldsymbol\gamma^\mu\boldsymbol\gamma^\nu=-\boldsymbol\gamma^\nu\boldsymbol\gamma^\mu\tag{18}\end{align*}
を代入し、5行目への変形ではトレースの性質
\begin{align*}\text{tr}\left(\boldsymbol A\boldsymbol B\right)=\text{tr}\left(\boldsymbol B\boldsymbol A\right)\tag{19}\end{align*}
を用い、6行目への変形では式(5)を代入し、8行目への変形ではトレースの線型性
\begin{align*}\text{tr}\left(c\boldsymbol A\right)=c\ \text{tr}\left(\boldsymbol A\right)\tag{20}\end{align*}
を用いた。※※※
ガンマ行列の直交性
ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)の特徴として、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^j(j=1,2,3)\)と単位行列\(\boldsymbol I_N\)は互いに直交する、言い換えると、内積はゼロになる。ここで復習だが、行列同士の内積は一方の行列をエルミート共役にして掛け算し、トレースをとれば良く、例としてサイズが\(2\)の行列\(\boldsymbol A\),\(\boldsymbol B\)
\begin{align*}\boldsymbol A&=\left(\begin{array}{c}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right)\tag{21}\\\boldsymbol B&=\left(\begin{array}{c}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{array}\right)\tag{22}\end{align*}
の内積を計算してみると、
\begin{align*}\text{tr}((\boldsymbol A)^\dagger\boldsymbol B)&=\text{tr}\left(\left(\begin{array}{c}a^*_{11}&a^*_{21}\\a^*_{12}&a^*_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{array}\right)\right)\\&=\text{tr}\left(\left(\begin{array}{c}a^*_{11}b_{11}+a^*_{21}b_{21}&a^*_{11}b_{12}+a^*_{21}b_{22}\\a^*_{12}b_{11}+a^*_{22}b_{21}&a^*_{12}b_{12}+a^*_{22}b_{22}\end{array}\right)\right)\\&=a^*_{11}b_{11}+a^*_{21}b_{21}+a^*_{12}b_{12}+a^*_{22}b_{22}\tag{23}\end{align*}
となり、ベクトル同士の内積のように、行列の各成分同士の積の和になっていることが分かる。
単位行列\(\boldsymbol I_N\)とガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^j(j=1,2,3)\)が互いに直交することを確かめるために、異なる行列同士の積のトレースを計算すると
\begin{align*}\text{tr}((\boldsymbol I_N)^\dagger\boldsymbol\gamma^j)&=\text{tr}(\boldsymbol\gamma^j)\\&=0\tag{24}\\\\\text{tr}((\boldsymbol\gamma^k)^\dagger\boldsymbol\gamma^j)&=\text{tr}(-\boldsymbol\gamma^k\boldsymbol\gamma^j)\ \ \ \ \ (j\neq k)\\&=\text{tr}(\boldsymbol\gamma^j\boldsymbol\gamma^k)\\&=\text{tr}(\boldsymbol\gamma^k\boldsymbol\gamma^j)\\&=\text{tr}(-\boldsymbol\gamma^k\boldsymbol\gamma^j)\\&=\text{tr}(-(\boldsymbol\gamma^k)^\dagger\boldsymbol\gamma^j)\\&=-\text{tr}((\boldsymbol\gamma^k)^\dagger\boldsymbol\gamma^j)\\\rightarrow\text{tr}((\boldsymbol\gamma^k)^\dagger\boldsymbol\gamma^j)&=0\tag{25}\end{align*}
となり、それぞれの行列の内積はゼロになり、互いに直交していることが分かる。
※※※式(24)において、2行目への変形では式(17)を用いた。また、式(25)において、1行目の変形では式(13)を用い、2行目への変形では式(18)を用い、3行目への変形ではトレースの性質
\begin{align*}\text{tr}\left(\boldsymbol A\boldsymbol B\right)=\text{tr}\left(\boldsymbol B\boldsymbol A\right)\tag{19}\end{align*}
を用い、4行目への変形では式(18)を用い、5行目への変形では式(13)を用い、6行目への変形ではトレースの線型性
\begin{align*}\text{tr}\left(c\boldsymbol A\right)=c\ \text{tr}\left(\boldsymbol A\right)\tag{20}\end{align*}
を用いた※※※
この直交性の応用として、成分を4つ持つサイズ2の任意の行列\(\boldsymbol C\)は、直交している4つの行列\(\boldsymbol I_2\),\(\boldsymbol\gamma^j\)の線型結合で表すことができる(ただし、係数\(c_\mu\)は複素数)。
\begin{align*}\boldsymbol C=c_0\boldsymbol I_2+\sum_{j=1}^3c_j\boldsymbol\gamma^j\tag{26}\end{align*}
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次ページでは、ディラック方程式
\begin{align*}\left(i\boldsymbol\gamma^\mu\partial_\mu-\frac{mc}{\hbar} \right)\boldsymbol\psi=0\end{align*}
を構成するガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)のサイズ\(N\)は偶数であり、\(4\)以上であることをみる。
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