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本ページでは、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)を相似変換した行列
\begin{align*}\tilde{\boldsymbol\gamma}^\mu=\boldsymbol S^{-1}\boldsymbol\gamma^\mu\boldsymbol S\end{align*}
も反交換関係の式
\begin{align*}\{\boldsymbol\gamma^\mu,\boldsymbol\gamma^\nu\}=2\eta^{\mu\nu}\boldsymbol I_N\end{align*}
を満たすことを確認する。
また、ディラック方程式
\begin{align*}\left(i\boldsymbol\gamma^\mu\partial_\mu-\frac{mc}{\hbar} \right)\boldsymbol\psi=0\end{align*}
を構成するガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^0\)の固有値は\(\pm1\)、\(\boldsymbol\gamma^j(j=1,2,3)\)の固有値は\(\pm i\)であることを確認し、対角化されたガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}^\mu\)およびそのユニタリ同値なガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}’^\mu\)はエルミート性・反エルミート性を持つことを調べる。
さらに、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)のトレースにおける性質と、エルミート性・反エルミートを持つガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j(j=1,2,3)\)は互いに直交することを調べる。
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前ページでは、クライン-ゴルドン方程式から、1階の時間微分と1階の空間微分を含むディラック方程式
\begin{align*}\left(i\boldsymbol\gamma^\mu\partial_\mu-\frac{mc}{\hbar} \right)\boldsymbol\psi=0\tag{1}\end{align*}
を求めた。
また、ディラック方程式を構成するガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)が満たすべき条件
\begin{align*}\{\boldsymbol\gamma^\mu,\boldsymbol\gamma^\nu\}=2\eta^{\mu\nu}\boldsymbol I_N\ \ \ \ \ (\mu,\nu=0,1,2,3)\tag{2}\end{align*}
を求めた。
内容
ガンマ行列の相似変換
ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)を正則行列(逆行列をもつ行列)\(\boldsymbol S\)で挟んで変換した次の行列
\begin{align*}\tilde{\boldsymbol\gamma}^\mu=\boldsymbol S^{-1}\boldsymbol\gamma^\mu\boldsymbol S\tag{3}\end{align*}
も反交換関係の式
\begin{align*}\{\tilde{\boldsymbol\gamma}^\mu,\tilde{\boldsymbol\gamma}^\nu\}=2\eta^{\mu\nu}\boldsymbol I_N\tag{4}\end{align*}
を満たす。つまり、反交換関係の式(4)を満たすガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}^\mu\)は無数に存在し、式(3)の変換を相似変換と呼ぶ。相似変換したガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}^\mu\)も反交換関係の式(4)を満たすことは、式(3)を式(4)に代入することで分かる。
\begin{align*}\{\tilde{\boldsymbol\gamma}^\mu,\tilde{\boldsymbol\gamma}^\nu\}&=\{\boldsymbol S^{-1}\boldsymbol\gamma^\mu\boldsymbol S,\boldsymbol S^{-1}\boldsymbol\gamma^\nu\boldsymbol S\}\\&=\boldsymbol S^{-1}\{\boldsymbol\gamma^\mu,\boldsymbol\gamma^\nu\}\boldsymbol S^{1}\\&=\boldsymbol S^{-1}(2\eta^{\mu\nu}\boldsymbol I_N)\boldsymbol S^{1}\\&=2\eta^{\mu\nu}\boldsymbol I_N\tag{5}\end{align*}
任意のガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}^\mu\)を用いて表したディラック方程式
\begin{align*}\left(i\tilde{\boldsymbol\gamma}^\mu\partial_\mu-\frac{mc}{\hbar} \right)\tilde{\boldsymbol\psi}=0\tag{6}\end{align*}
の左から正則行列\(\boldsymbol S\)を掛けると
\begin{align*}\boldsymbol S\left(i\boldsymbol S^{-1}\boldsymbol\gamma^\mu\boldsymbol S\partial_\mu-\frac{mc}{\hbar} \right)\tilde{\boldsymbol\psi}&=0\\\rightarrow\left(i\boldsymbol\gamma^\mu\partial_\mu-\frac{mc}{\hbar} \right)\boldsymbol S\tilde{\boldsymbol\psi}&=0\tag{7}\end{align*}
となり、\(\boldsymbol \psi=\boldsymbol S\tilde{\boldsymbol\psi}\)と置けば式(7)はディラック方程式
\begin{align*}\left(i\boldsymbol\gamma^\mu\partial_\mu-\frac{mc}{\hbar} \right)\boldsymbol\psi=0\tag{8}\end{align*}
に戻すことができ、ディラック方程式を扱う際には任意のガンマ行列を用いてよいことが分かる。
ガンマ行列の固有値
次に、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)の固有値\(\lambda\)を求めてみる。
ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)の固有値方程式を固有値\(\lambda\)と固有ベクトル\(\boldsymbol{{u}}\)を用いて表すと
\begin{align}\boldsymbol{\gamma}^\mu\boldsymbol{{u}}=\lambda\boldsymbol{{u}}\tag{9}\end{align}
となり、両辺の左からガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)を掛けると
\begin{align}\left(\boldsymbol{\gamma}^\mu\right)^2\boldsymbol{{u}}=\lambda\boldsymbol{\gamma}^\mu\boldsymbol{{u}}\tag{10}\end{align}
となる。ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)の自乗は式(2)より、
\begin{align}\left\{\boldsymbol{\gamma}^\mu,\ \boldsymbol{\gamma}^\mu\right\}&=\boldsymbol{\gamma}^\mu\boldsymbol{\gamma}^\mu+\boldsymbol{\gamma}^\mu\boldsymbol{\gamma}^\mu\\&=2\eta^{\mu\mu}\boldsymbol{I_{N}}\\\rightarrow(\boldsymbol\gamma^\mu)^2&=\eta^{\mu\mu}\boldsymbol{I_{N}}\tag{11}\end{align}
であるから、式(10)の左辺に式(11)を代入し右辺に式(9)を代入すると
\begin{align}\eta^{\mu\mu}\boldsymbol{{u}}=(\lambda)^2\boldsymbol{{u}}\tag{12}\end{align}
が得られ、この式よりガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^0\)の固有値\(\lambda\)は
\begin{align}\lambda=\pm1\tag{13}\end{align}
であり、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^j(j=1,2,3)\)の固有値\(\lambda\)は
\begin{align}\lambda=\pm i\tag{14}\end{align}
であることが分かる。
ガンマ行列のエルミート性
ここでは、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)のエルミート性を調べてみる。
一般論として、行列を挟む正則行列\(\boldsymbol S\)を選ぶことにより、固有値を変えることなく行列を対角化することができ、その対角成分は固有値となる。そのため、ガンマ行列\(\boldsymbol \gamma^\mu\)を挟む正則行列\(\boldsymbol S\)を選ぶことにより、固有値を変えることなくガンマ行列\(\boldsymbol \gamma^\mu\)を対角化することができ、その対角成分は固有値となる。対角化された行列を\(\tilde{\boldsymbol\gamma}^\mu\)とするとこの行列は
\begin{align*}\tilde{\boldsymbol\gamma}^\mu=\boldsymbol S^{-1}\boldsymbol\gamma^\mu\boldsymbol S\tag{15}\end{align*}
と表すことができ、この形は相似変換と同じであるため、この行列もガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}^\mu\)である。対角化されたガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}^0\)の対角成分はガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)の固有値\(\pm1\)であるため、対角化されたガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}^0\)はエルミート性
\begin{align*}(\tilde{\boldsymbol\gamma}^0)^\dagger=\tilde{\boldsymbol\gamma}^0\tag{16}\end{align*}
を持ち、対角化されたガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}^j(j=1,2,3)\)の対角成分はガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)の固有値\(\pm i\)であるため、対角化されたガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}^j(j=1,2,3)\)は反エルミート性
\begin{align*}(\tilde{\boldsymbol\gamma}^j)^\dagger=-\tilde{\boldsymbol\gamma}^j\ \ \ (j=1,2,3)\tag{17}\end{align*}
を持つことが分かる。
ここで注意だが、全てのガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)がエルミート性・反エルミート性を持つわけではない。ただし、｢対角化されたガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}^\mu\)｣と｢ガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}^\mu\)とユニタリ同値であるガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}’^\mu\)｣はエルミート性・反エルミートを持つ。ユニタリ同値とは、ユニタリ行列\(\boldsymbol U\)で挟んだ行列のことをいい、このときの行列を\(\tilde{\boldsymbol\gamma}’^\mu\)とすると
\begin{align*}\tilde{\boldsymbol\gamma}’^\mu=\boldsymbol U^\dagger\tilde{\boldsymbol\gamma}^\mu\boldsymbol U\tag{18}\end{align*}
と表すことができ、次のように反交換関係の式
\begin{align*}\{\tilde{\boldsymbol\gamma}’^\mu,\tilde{\boldsymbol\gamma}’^\nu\}&=\{\boldsymbol U^\dagger\boldsymbol\gamma^\mu\boldsymbol U,\boldsymbol U^\dagger\boldsymbol\gamma^\nu\boldsymbol U\}\\&=\boldsymbol U^\dagger\{\boldsymbol\gamma^\mu,\boldsymbol\gamma^\nu\}\boldsymbol U\\&=\boldsymbol U^\dagger(2\eta^{\mu\nu}\boldsymbol I_N)\boldsymbol U\\&=2\eta^{\mu\nu}\boldsymbol I_N\tag{19}\end{align*}
を満たすためガンマ行列となる資格がある。そして、ガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}^0\)のユニタリ同値であるガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}’^0\)もエルミート性
\begin{align*}(\tilde{\boldsymbol\gamma}’^0)^\dagger&=(\boldsymbol U^\dagger\tilde{\boldsymbol\gamma}^0\boldsymbol U)^\dagger\\&=\boldsymbol U^\dagger(\tilde{\boldsymbol\gamma}^0)^\dagger\boldsymbol U\\&=\boldsymbol U^\dagger\tilde{\boldsymbol\gamma}^0\boldsymbol U\\&=\tilde{\boldsymbol\gamma}’^0\tag{20}\end{align*}
を持ち、ガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}^j(j=1,2,3)\)のユニタリ同値であるガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j(j=1,2,3)\)も反エルミート性
\begin{align*}(\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j)^\dagger&=(\boldsymbol U^\dagger\tilde{\boldsymbol\gamma}^j\boldsymbol U)^\dagger\\&=\boldsymbol U^\dagger(\tilde{\boldsymbol\gamma}^j)^\dagger\boldsymbol U\\&=-\boldsymbol U^\dagger\tilde{\boldsymbol\gamma}^j\boldsymbol U\\&=-\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j\tag{21}\end{align*}
を持つことが分かる。
ガンマ行列のユニタリ性
次に、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)がユニタリ行列であるかを調べてみる。
ガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}’^0\)がエルミート性を持つとき、エルミート共役との積を式(11)と式(20)を用いて計算すると
\begin{align*}\tilde{\boldsymbol\gamma}’^0(\tilde{\boldsymbol\gamma}’^0)^\dagger&=(\tilde{\boldsymbol\gamma}’^0)^2\\&=\boldsymbol I_N\tag{22}\end{align*}
となり、エルミート性を持つガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}’^0\)はユニタリ行列であることが分かる。
また、ガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j(j=1,2,3)\)が反エルミート性を持つとき、エルミート共役との積を式(11)と式(21)を用いて計算すると
\begin{align*}\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j(\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j)^\dagger&=-(\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j)^2\\&=\boldsymbol I_N\tag{23}\end{align*}
となり、反エルミート性を持つガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j(j=1,2,3)\)もユニタリ行列であることが分かる。
以上より、エルミート性または反エルミート性を持つガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}’^\mu\)は全てユニタリ行列である。
ガンマ行列のトレース
ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)のトレース(対角和、対格成分の総和)はゼロになることを確認する。実際にトレースをとってみると
\begin{align}\text{tr}\left(\boldsymbol{\gamma}^\mu\right)&=\text{tr}\left(\boldsymbol{\gamma}^\mu\boldsymbol I_N\right)\\&=\text{tr}\left(\eta^{\nu\nu}\boldsymbol{\gamma}^\mu(\eta^{\nu\nu}\boldsymbol I_N)\right)\ \ \ \ \ (\mu\neq\nu)\\&=\text{tr}\left(\eta^{\nu\nu}\boldsymbol{\gamma}^\mu\boldsymbol{\gamma}^\nu\boldsymbol{\gamma}^\nu\right)\\&=\text{tr}\left(-\eta^{\nu\nu}\boldsymbol{\gamma}^\nu\boldsymbol{\gamma}^\mu\boldsymbol{\gamma}^\nu\right)\\&=\text{tr}\left(-\eta^{\nu\nu}\boldsymbol{\gamma}^\mu\boldsymbol{\gamma}^\nu\boldsymbol{\gamma}^\nu\right)\\&=\text{tr}\left(-\eta^{\nu\nu}\boldsymbol{\gamma}^\mu(\eta^{\nu\nu}\boldsymbol I_N)\right)\\&=\text{tr}\left(-\boldsymbol{\gamma}^\mu\right)\\&=-\text{tr}\left(\boldsymbol{\gamma}^\mu\right)\tag{24}\end{align}
となることから、
\begin{align}\text{tr}\left(\boldsymbol{\gamma}^\mu\right)=0\tag{25}\end{align}
が成り立ち、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)のトレースはゼロであることが分かる。
※※※式(24)において、2行目への変形では計量テンソル\(\eta^{\mu\mu}\)の自乗は\(1\)になることを用い、3行目への変形では式(11)
\begin{align*}(\boldsymbol\gamma^\nu)^2&=\eta^{\nu\nu}\boldsymbol{I_{N}}\tag{11}\end{align*}
を代入し、4行目への変形では\(\mu\neq\nu\)において式(2)を変形して成り立つ次の式
\begin{align*}\boldsymbol\gamma^\mu\boldsymbol\gamma^\nu=-\boldsymbol\gamma^\nu\boldsymbol\gamma^\mu\tag{26}\end{align*}
を代入し、5行目への変形ではトレースの性質
\begin{align*}\text{tr}\left(\boldsymbol A\boldsymbol B\right)=\text{tr}\left(\boldsymbol B\boldsymbol A\right)\tag{27}\end{align*}
を用い、6行目への変形では式(11)を代入し、8行目への変形ではトレースの線型性
\begin{align*}\text{tr}\left(c\boldsymbol A\right)=c\ \text{tr}\left(\boldsymbol A\right)\tag{28}\end{align*}
を用いた。※※※
ガンマ行列の直交性
エルミート性・反エルミート性を持つガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}’^\mu\)の特徴として、ガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j(j=1,2,3)\)と単位行列\(\boldsymbol I_N\)は互いに直交する、言い換えると、内積はゼロになる。ここで復習だが、行列同士の内積は一方の行列をエルミート共役にして掛け算し、トレースをとれば良く、例としてサイズが\(2\)の行列\(\boldsymbol A\),\(\boldsymbol B\)
\begin{align*}\boldsymbol A&=\left(\begin{array}{c}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right)\tag{29}\\\boldsymbol B&=\left(\begin{array}{c}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{array}\right)\tag{30}\end{align*}
の内積を計算してみると、
\begin{align*}\text{tr}((\boldsymbol A)^\dagger\boldsymbol B)&=\text{tr}\left(\left(\begin{array}{c}a^*_{11}&a^*_{21}\\a^*_{12}&a^*_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{array}\right)\right)\\&=\text{tr}\left(\left(\begin{array}{c}a^*_{11}b_{11}+a^*_{21}b_{21}&a^*_{11}b_{12}+a^*_{21}b_{22}\\a^*_{12}b_{11}+a^*_{22}b_{21}&a^*_{12}b_{12}+a^*_{22}b_{22}\end{array}\right)\right)\\&=a^*_{11}b_{11}+a^*_{21}b_{21}+a^*_{12}b_{12}+a^*_{22}b_{22}\tag{31}\end{align*}
となり、ベクトル同士の内積のように、行列の各成分同士の積の和になっていることが分かる。
単位行列\(\boldsymbol I_N\)とガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j(j=1,2,3)\)が互いに直交することを確かめるために、異なる行列同士の積のトレースを計算すると
\begin{align*}\text{tr}((\boldsymbol I_N)^\dagger\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j)&=\text{tr}(\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j)\\&=0\tag{32}\\\\\text{tr}((\tilde{\boldsymbol\gamma}’^k)^\dagger\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j)&=\text{tr}(-\tilde{\boldsymbol\gamma}^k\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j)\ \ \ \ \ (j\neq k)\\&=\text{tr}(\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j\tilde{\boldsymbol\gamma}’^k)\\&=\text{tr}(\tilde{\boldsymbol\gamma}’^k\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j)\\&=\text{tr}(-(\tilde{\boldsymbol\gamma}’^k)^\dagger\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j)\\&=-\text{tr}((\tilde{\boldsymbol\gamma}’^k)^\dagger\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j)\\\rightarrow\text{tr}((\tilde{\boldsymbol\gamma}’^k)^\dagger\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j)&=0\tag{33}\end{align*}
となり、それぞれの行列の内積はゼロになり、互いに直交していることが分かる。
※※※式(32)において、2行目への変形では式(25)を用いた。また、式(33)において、1行目の変形では式(21)を用い、2行目への変形では式(26)を用い、3行目への変形ではトレースの性質
\begin{align*}\text{tr}\left(\boldsymbol A\boldsymbol B\right)=\text{tr}\left(\boldsymbol B\boldsymbol A\right)\tag{27}\end{align*}
を用い、4行目への変形では式(26)を用い、5行目への変形では式(21)を用い、6行目への変形ではトレースの線型性
\begin{align*}\text{tr}\left(c\boldsymbol A\right)=c\ \text{tr}\left(\boldsymbol A\right)\tag{28}\end{align*}
を用いた※※※
この直交性の応用として、成分を4つ持つサイズ2の任意の行列\(\boldsymbol C\)は、直交している4つの行列\(\boldsymbol I_2\),\(\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j\)の線型結合で表すことができる(ただし、係数\(c_\mu\)は複素数)。
\begin{align*}\boldsymbol C=c_0\boldsymbol I_2+\sum_{j=1}^3c_j\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j\tag{34}\end{align*}
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次ページでは、ディラック方程式
\begin{align*}\left(i\boldsymbol\gamma^\mu\partial_\mu-\frac{mc}{\hbar} \right)\boldsymbol\psi=0\end{align*}
を構成するガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)のサイズ\(N\)は偶数であり、\(4\)以上であることをみる。
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