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本ページでは…
本ページでは、ガンマ行列のディラック表示\(\boldsymbol{\gamma}^{\mu}_{\text{D}}\)・ワイル表示\(\boldsymbol{\gamma}^{\mu}_{\text{W}}\)・マヨラナ表示\(\boldsymbol{\gamma}^{\mu}_{\text{M}}\)を調べる。
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前ページでは、ディラック方程式
\begin{align*}\left(i\boldsymbol\gamma^\mu\partial_\mu-\frac{mc}{\hbar} \right)\boldsymbol\psi=0\end{align*}
を構成するガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)のサイズ\(N\)は偶数であり、\(4\)以上であることをみた。
内容
ガンマ行列の相似変換
前々ページでは、ディラック方程式を扱う際に相似変換により任意のガンマ行列を用いてよいことを確認した。
本ページでは、反交換関係を満たす特徴的なガンマ行列の表し方であるディラック表示とワイル表示、マヨラナ表示について調べる。これらの表示では行列のサイズ\(N\)は\(4\)であり、波動関数\(\boldsymbol \psi\)の成分も4つある。
\begin{align*}\boldsymbol\psi=\begin{pmatrix}
\psi^0\\
\psi^1\\
\psi^2\\
\psi^3\\
\end{pmatrix}\end{align*}
4つそれぞれの成分が何を表すかは、後のページで確認する。
ディラック表示
ガンマ行列のディラック表示は、パウリ行列\(\boldsymbol\sigma^j\)
\begin{align}\boldsymbol{\sigma}^{1}&=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0\\
\end{pmatrix}\\\boldsymbol{\sigma}^{2}&=\begin{pmatrix}
0 & -i\\
i & 0\\
\end{pmatrix}\\\boldsymbol{\sigma}^{3}&=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1\\
\end{pmatrix}\end{align}
を用いて表すと
\begin{align}\boldsymbol{\gamma}^{0}_{\text{D}}&=\begin{pmatrix}
\boldsymbol{I}_2 & \boldsymbol{0}\\
\boldsymbol{0} & -\boldsymbol{I}_2\\
\end{pmatrix}\tag{7}\\\\\boldsymbol{\gamma}^{j}_{\text{D}}&=\begin{pmatrix}
\boldsymbol{0} & \boldsymbol{\sigma}^j\\
-\boldsymbol{\sigma}^j & \boldsymbol{0}\\
\end{pmatrix}\tag{8}\end{align}
となり、パウリ行列\(\boldsymbol\sigma^j\)を用いずに表すと
\begin{align}\boldsymbol{\gamma}^{0}_{\text{D}}&=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1\\
\end{pmatrix}\tag{9}\\\\\boldsymbol{\gamma}^{1}_{\text{D}}&=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
-1 & 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}\tag{10}\\\\\boldsymbol{\gamma}^{2}_{\text{D}}&=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -i\\
0 & 0 & i & 0\\
0 & i & 0 & 0\\
-i & 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}\tag{11}\\\\\boldsymbol{\gamma}^{3}_{\text{D}}&=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1\\
-1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}\tag{12}\end{align}
となる。
ディラック表示の特徴として、ディラック方程式(6)の時間微分項\(\partial_0\boldsymbol\psi\)の係数である\(\boldsymbol\gamma^0\)が対角化されているため、粒子が静止しているとき(\(\partial_1\boldsymbol \psi=\partial_2\boldsymbol \psi=\partial_3\boldsymbol \psi=0\))のエネルギー固有状態を調べるときに便利である(後のページを参照)。
ワイル表示
ガンマ行列のワイル表示は、パウリ行列\(\boldsymbol\sigma^j\)を用いて表すと
\begin{align}\boldsymbol{\gamma}^{0}_{\text{W}}&=\begin{pmatrix}
\boldsymbol0& \boldsymbol I_2\\
\boldsymbol I_2& \boldsymbol0\\
\end{pmatrix}\tag{13}\\\\\boldsymbol{\gamma}^{j}_{\text{W}}&=\begin{pmatrix}
\boldsymbol{0} & \boldsymbol{\sigma}^j\\
-\boldsymbol{\sigma}^j & \boldsymbol{0}\\
\end{pmatrix}\tag{14}\end{align}
となり、パウリ行列\(\boldsymbol\sigma^j\)を用いずに表すと
\begin{align}\boldsymbol{\gamma}^{0}_{\text{W}}&=\begin{pmatrix}
0& 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}\tag{15}\\\\\boldsymbol{\gamma}^{1}_{\text{W}}&=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
-1 & 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}\tag{16}\\\\\boldsymbol{\gamma}^{2}_{\text{W}}&=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -i\\
0 & 0 & i & 0\\
0 & i & 0 & 0\\
-i & 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}\tag{17}\\\\\boldsymbol{\gamma}^{3}_{\text{W}}&=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1\\
-1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}\tag{18}\end{align}
となる。
ワイル表示の特徴として、後のページで出てくるカイラリティーと呼ばれる次の量
\begin{align*}\boldsymbol\gamma_5&=i\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\gamma^1\boldsymbol\gamma^2\boldsymbol\gamma^3\\&=\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}\tag{19}\end{align*}
が対角化されているため、カイラリティーを調べるときに便利である。
マヨラナ表示
ガンマ行列のマヨラナ表示は、パウリ行列\(\boldsymbol\sigma^j\)を用いて表すと
\begin{align}\boldsymbol{\gamma}^{0}_{\text{M}}&=\begin{pmatrix}
\boldsymbol0 & \boldsymbol\sigma^2\\
\boldsymbol\sigma^2 & \boldsymbol0\\
\end{pmatrix}\tag{20}\\\\\boldsymbol{\gamma}^{1}_{\text{M}}&=\begin{pmatrix}
i\boldsymbol\sigma^3 & \boldsymbol0\\
\boldsymbol0 & i\boldsymbol\sigma^3\\
\end{pmatrix}\tag{21}\\\\\boldsymbol{\gamma}^{2}_{\text{M}}&=\begin{pmatrix}
\boldsymbol0 & -\boldsymbol\sigma^2\\
\boldsymbol\sigma^2 & \boldsymbol0\
\end{pmatrix}\tag{22}\\\\\boldsymbol{\gamma}^{3}_{\text{M}}&=\begin{pmatrix}-i
\boldsymbol\sigma^1 & \boldsymbol0\\
\boldsymbol0 & -i\boldsymbol\sigma^1
\end{pmatrix}\tag{23}\end{align}
となり、パウリ行列\(\boldsymbol\sigma^j\)を用いずに表すと
\begin{align}\boldsymbol{\gamma}^{0}_{\text{M}}&=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -i\\
0 & 0 & i & 0\\
0 & -i & 0 & 0\\
i & 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}\tag{22}\\\\\boldsymbol{\gamma}^{1}_{\text{M}}&=\begin{pmatrix}
i & 0 & 0 & 0\\
0 & -i & 0 & 0\\
0 & 0 & i & 0\\
0 & 0 & 0 & i\\
\end{pmatrix}\tag{23}\\\\\boldsymbol{\gamma}^{2}_{\text{M}}&=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & i\\
0 & 0 & -i & 0\\
0 & -i & 0 & 0\\
i & 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}\tag{24}\\\\\boldsymbol{\gamma}^{3}_{\text{M}}&=\begin{pmatrix}
0 & -i & 0 & 0\\
-i & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & -i\\
0 & 0 & -i & 0\\
\end{pmatrix}\tag{25}\end{align}
となる。
マヨラナ表示の特徴として、ガンマ行列はすべて純虚数になっており、ディラック方程式(6)は実数となる。
なぜパウリ行列がガンマ行列に現れるか
なぜパウリ行列\(\boldsymbol\sigma^j\)がガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)に現れるのかを調べてみる。ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu(\mu=0,1,2,3)\)の反交換関係は
\begin{align*}\{\boldsymbol\gamma^\mu,\boldsymbol\gamma^\nu\}=2\eta^{\mu\nu}\boldsymbol I_N\tag{2}\end{align*}
であり、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)に虚数\(i\)をかけたものの反交換関係は
\begin{align*}\{i\boldsymbol\gamma^\mu,i\boldsymbol\gamma^\nu\}=-2\eta^{\mu\nu}\boldsymbol I_N\tag{26}\end{align*}
となる。ここで、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^j(j=1,2,3)\)で考えると反交換関係は
\begin{align*}\{i\boldsymbol\gamma^j,i\boldsymbol\gamma^k\}=2\delta^{jk}\boldsymbol I_N\tag{27}\end{align*}
となり、パウリ行列\(\boldsymbol\sigma^j\)の反交換関係(以前のページを参照)
\begin{align}\left\{\boldsymbol{\sigma}^j,\ \boldsymbol{\sigma}^k\right\}&=2\delta^{jk}\boldsymbol{I}_2\tag{28}\end{align}
と同じになって、これがガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)にパウリ行列\(\boldsymbol\sigma^j\)が現れる理由である。
次ページから…
次ページでは、4元確率流密度\(j^\mu\)を用いたディラック方程式における流れの保存の関係式
\begin{align*}\partial_\mu j^\mu=0\end{align*}
を確認し、「流れの保存」と「どの時刻においても、空間の無限遠で波動関数\(\boldsymbol\psi\)がゼロに収束すること」を満たせば、確率密度\(\rho\)の全空間積分は保存する(つまり、どの時刻においても確率密度\(\rho\)の全空間積分は一定となる)ことを確認する。
また、ディラック方程式において確率密度\(\boldsymbol\psi^\dagger\boldsymbol\psi\)は常に非負の値をとり、確率解釈が行なえることを確認する。
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