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本ページでは…
本ページでは、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)を相似変換した行列
\begin{align*}\tilde{\boldsymbol\gamma}^\mu=\boldsymbol P^{-1}\boldsymbol\gamma^\mu\boldsymbol P\end{align*}
も反交換関係の式
\begin{align*}\{\boldsymbol\gamma^\mu,\boldsymbol\gamma^\nu\}=2\eta^{\mu\nu}\boldsymbol I_N\end{align*}
を満たすことを確認し、ガンマ行列のディラック表示・ワイル表示・マヨラナ表示を調べる。
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前ページでは、ディラック方程式
\begin{align*}\left(i\boldsymbol\gamma^\mu\partial_\mu-\frac{mc}{\hbar} \right)\boldsymbol\psi=0\end{align*}
を構成するガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)のサイズ\(N\)は偶数であり、\(4\)以上であることをみた。
内容
ガンマ行列の相似変換
ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma\)を正則行列(逆行列をもつ行列)\(\boldsymbol P\)で挟んで変換した次の行列
\begin{align*}\tilde{\boldsymbol\gamma}^\mu=\boldsymbol P^{-1}\boldsymbol\gamma^\mu\boldsymbol P\tag{1}\end{align*}
も反交換関係の式
\begin{align*}\{\boldsymbol\gamma^\mu,\boldsymbol\gamma^\nu\}=2\eta^{\mu\nu}\boldsymbol I_N\tag{2}\end{align*}
を満たす。つまり、反交換関係の式(2)を満たすガンマ行列は無数に存在し、式(1)の変換を相似変換と呼ぶ。相似変換したガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}^\mu\)も反交換関係の式(2)を満たすことは、式(1)を式(2)に代入することで分かる。
\begin{align*}\{\tilde{\boldsymbol\gamma}^\mu,\tilde{\boldsymbol\gamma}^\nu\}&=\{\boldsymbol P^{-1}\boldsymbol\gamma^\mu\boldsymbol P,\boldsymbol P^{-1}\boldsymbol\gamma^\nu\boldsymbol P\}\\&=\boldsymbol P^{-1}\{\boldsymbol\gamma^\mu,\boldsymbol\gamma^\nu\}\boldsymbol P^{1}\\&=\boldsymbol P^{-1}(2\eta^{\mu\nu}\boldsymbol I_N)\boldsymbol P^{1}\\&=2\eta^{\mu\nu}\boldsymbol I_N\tag{3}\end{align*}
任意のガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}^\mu\)を用いて表したディラック方程式
\begin{align*}\left(i\tilde{\boldsymbol\gamma}^\mu\partial_\mu-\frac{mc}{\hbar} \right)\tilde{\boldsymbol\psi}=0\tag{4}\end{align*}
の左から正則行列\(\boldsymbol P\)を掛けると
\begin{align*}\boldsymbol P\left(i\boldsymbol P^{-1}\boldsymbol\gamma^\mu\boldsymbol P\partial_\mu-\frac{mc}{\hbar} \right)\tilde{\boldsymbol\psi}&=0\\\rightarrow\left(i\boldsymbol\gamma^\mu\partial_\mu-\frac{mc}{\hbar} \right)\boldsymbol P\tilde{\boldsymbol\psi}&=0\tag{5}\end{align*}
となり、\(\boldsymbol \psi=\boldsymbol P\tilde{\boldsymbol\psi}\)と置けば式(5)はディラック方程式
\begin{align*}\left(i\boldsymbol\gamma^\mu\partial_\mu-\frac{mc}{\hbar} \right)\boldsymbol\psi=0\tag{6}\end{align*}
に戻すことができ、ディラック方程式を扱う際には任意のガンマ行列を用いてよいことが分かる。
本ページでは、反交換関係を満たす特徴的なガンマ行列の表し方であるディラック表示とワイル表示、マヨラナ表示について調べる。これらの表示では行列のサイズ\(N\)は\(4\)であり、波動関数\(\boldsymbol \psi\)の成分も4つある。
\begin{align*}\boldsymbol\psi=\begin{pmatrix}
\psi^0\\
\psi^1\\
\psi^2\\
\psi^3\\
\end{pmatrix}\end{align*}
4つそれぞれの成分が何を表すかは、後のページで確認する。
ディラック表示
ガンマ行列のディラック表示は、パウリ行列\(\boldsymbol\sigma^j\)を用いて表すと
\begin{align}\boldsymbol{\gamma}^{0}_{\text{D}}&=\begin{pmatrix}
\boldsymbol{I}_2 & \boldsymbol{0}\\
\boldsymbol{0} & -\boldsymbol{I}_2\\
\end{pmatrix}\tag{7}\\\\\boldsymbol{\gamma}^{j}_{\text{D}}&=\begin{pmatrix}
\boldsymbol{0} & \boldsymbol{\sigma}^j\\
-\boldsymbol{\sigma}^j & \boldsymbol{0}\\
\end{pmatrix}\tag{8}\end{align}
となり、パウリ行列\(\boldsymbol\sigma^j\)を用いずに表すと
\begin{align}\boldsymbol{\gamma}^{0}_{\text{D}}&=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1\\
\end{pmatrix}\tag{9}\\\\\boldsymbol{\gamma}^{1}_{\text{D}}&=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
-1 & 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}\tag{10}\\\\\boldsymbol{\gamma}^{2}_{\text{D}}&=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -i\\
0 & 0 & i & 0\\
0 & i & 0 & 0\\
-i & 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}\tag{11}\\\\\boldsymbol{\gamma}^{3}_{\text{D}}&=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1\\
-1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}\tag{12}\end{align}
となる。
ディラック表示の特徴として、ディラック方程式(6)の時間微分項\(\partial_0\boldsymbol\psi\)の係数である\(\boldsymbol\gamma^0\)が対角化されているため、粒子が静止しているとき(\(\partial_1\boldsymbol \psi=\partial_2\boldsymbol \psi=\partial_3\boldsymbol \psi=0\))のエネルギー固有状態を調べるときに便利である(後のページを参照)。
ワイル表示
ガンマ行列のワイル表示は、パウリ行列\(\boldsymbol\sigma^j\)を用いて表すと
\begin{align}\boldsymbol{\gamma}^{0}_{\text{W}}&=\begin{pmatrix}
\boldsymbol0& \boldsymbol I_2\\
\boldsymbol I_2& \boldsymbol0\\
\end{pmatrix}\tag{13}\\\\\boldsymbol{\gamma}^{j}_{\text{W}}&=\begin{pmatrix}
\boldsymbol{0} & \boldsymbol{\sigma}^j\\
-\boldsymbol{\sigma}^j & \boldsymbol{0}\\
\end{pmatrix}\tag{14}\end{align}
となり、パウリ行列\(\boldsymbol\sigma^j\)を用いずに表すと
\begin{align}\boldsymbol{\gamma}^{0}_{\text{W}}&=\begin{pmatrix}
0& 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}\tag{15}\\\\\boldsymbol{\gamma}^{1}_{\text{W}}&=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
-1 & 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}\tag{16}\\\\\boldsymbol{\gamma}^{2}_{\text{W}}&=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -i\\
0 & 0 & i & 0\\
0 & i & 0 & 0\\
-i & 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}\tag{17}\\\\\boldsymbol{\gamma}^{3}_{\text{W}}&=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1\\
-1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}\tag{18}\end{align}
となる。
ワイル表示の特徴として、後のページで出てくるカイラリティーと呼ばれる次の量
\begin{align*}\boldsymbol\gamma_5&=i\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\gamma^1\boldsymbol\gamma^2\boldsymbol\gamma^3\\&=\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}\tag{19}\end{align*}
が対角化されているため、カイラリティーを調べるときに便利である(後のページを参照)。
マヨラナ表示
ガンマ行列のマヨラナ表示は、パウリ行列\(\boldsymbol\sigma^j\)を用いて表すと
\begin{align}\boldsymbol{\gamma}^{0}_{\text{M}}&=\begin{pmatrix}
\boldsymbol0 & \boldsymbol\sigma^2\\
\boldsymbol\sigma^2 & \boldsymbol0\\
\end{pmatrix}\tag{20}\\\\\boldsymbol{\gamma}^{1}_{\text{M}}&=\begin{pmatrix}
i\boldsymbol\sigma^3 & \boldsymbol0\\
\boldsymbol0 & i\boldsymbol\sigma^3\\
\end{pmatrix}\tag{21}\\\\\boldsymbol{\gamma}^{2}_{\text{M}}&=\begin{pmatrix}
\boldsymbol0 & -\boldsymbol\sigma^2\\
\boldsymbol\sigma^2 & \boldsymbol0\
\end{pmatrix}\tag{22}\\\\\boldsymbol{\gamma}^{3}_{\text{M}}&=\begin{pmatrix}-i
\boldsymbol\sigma^1 & \boldsymbol0\\
\boldsymbol0 & -i\boldsymbol\sigma^1
\end{pmatrix}\tag{23}\end{align}
となり、パウリ行列\(\boldsymbol\sigma^j\)を用いずに表すと
\begin{align}\boldsymbol{\gamma}^{0}_{\text{M}}&=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -i\\
0 & 0 & i & 0\\
0 & -i & 0 & 0\\
i & 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}\tag{22}\\\\\boldsymbol{\gamma}^{1}_{\text{M}}&=\begin{pmatrix}
i & 0 & 0 & 0\\
0 & -i & 0 & 0\\
0 & 0 & i & 0\\
0 & 0 & 0 & i\\
\end{pmatrix}\tag{23}\\\\\boldsymbol{\gamma}^{2}_{\text{M}}&=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & i\\
0 & 0 & -i & 0\\
0 & -i & 0 & 0\\
i & 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}\tag{24}\\\\\boldsymbol{\gamma}^{3}_{\text{M}}&=\begin{pmatrix}
0 & -i & 0 & 0\\
-i & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & -i\\
0 & 0 & -i & 0\\
\end{pmatrix}\tag{25}\end{align}
となる。
マヨラナ表示の特徴として、ガンマ行列はすべて純虚数になっており、ディラック方程式(6)は実数となる。
次ページから…
次ページでは、4元確率流密度\(j^\mu\)を用いたディラック方程式における流れの保存の関係式
\begin{align*}\partial_\mu j^\mu=0\end{align*}
を確認し、「流れの保存」と「どの時刻においても、空間の無限遠で波動関数\(\boldsymbol\psi\)がゼロに収束すること」を満たせば、確率密度\(\rho\)の全空間積分は保存する(つまり、どの時刻においても確率密度\(\rho\)の全空間積分は一定となる)ことを確認する。
また、ディラック方程式において確率密度\(\boldsymbol\psi^\dagger\boldsymbol\psi\)は常に非負の値をとり、確率解釈が行なえることを確認する。
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