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本ページでは、ディラック方程式
\begin{align*}\left(i\boldsymbol\gamma^\mu\partial_\mu-\frac{mc}{\hbar} \right)\boldsymbol\psi=0\end{align*}
を構成するガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)のサイズ\(N\)は偶数であり、\(4\)以上であることをみる。
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前ページでは、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)を相似変換した行列
\begin{align*}\tilde{\boldsymbol\gamma}^\mu=\boldsymbol S^{-1}\boldsymbol\gamma^\mu\boldsymbol S\end{align*}
も反交換関係の式
\begin{align*}\{\boldsymbol\gamma^\mu,\boldsymbol\gamma^\nu\}=2\eta^{\mu\nu}\boldsymbol I_N\end{align*}
を満たすことを確認した。
また、ディラック方程式
\begin{align*}\left(i\boldsymbol\gamma^\mu\partial_\mu-\frac{mc}{\hbar} \right)\boldsymbol\psi=0\end{align*}
を構成するガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^0\)の固有値は\(\pm1\)、\(\boldsymbol\gamma^j(j=1,2,3)\)の固有値は\(\pm i\)であることを確認し、対角化されたガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}^\mu\)およびそのユニタリ同値なガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}’^\mu\)はエルミート性・反エルミート性を持つことを調べた。
さらに、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)のトレースにおける性質と、エルミート性・反エルミートを持つガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}^j(j=1,2,3)\)は互いに直交することを調べた。
内容
ガンマ行列のサイズ\(N\)
ディラック方程式
\begin{align*}\left(i\boldsymbol\gamma^\mu\partial_\mu-\frac{mc}{\hbar} \right)\boldsymbol\psi=0\tag{1}\end{align*}
を構成するガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)は次の関係式
\begin{align*}\{\boldsymbol\gamma^\mu,\boldsymbol\gamma^\nu\}=2\eta^{\mu\nu}\boldsymbol I_N\tag{2}\end{align*}
を満たすが、この関係式を満たすにはガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)のサイズ\(N\)は偶数であり、\(4\)以上でなければならない。以下より、このことを確かめてみる。
サイズ\(N\)が偶数であること
はじめに、ガンマ行列\(\boldsymbol \gamma^\mu\)のサイズ\(N\)が偶数になることを確かめる。
ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)は次の関係式
\begin{align*}\{\boldsymbol\gamma^\mu,\boldsymbol\gamma^\nu\}&=\boldsymbol{\gamma}^\mu\boldsymbol{\gamma}^\nu+\boldsymbol{\gamma}^\nu\boldsymbol{\gamma}^\mu\\&=2\eta^{\mu\nu}\boldsymbol I_N\tag{2}\end{align*}
を満たすため、\(\boldsymbol\gamma^0\)と\(\boldsymbol\gamma^1\)に関しては次の関係
\begin{align}\left\{\boldsymbol{\gamma}^0,\ \boldsymbol{\gamma}^0\right\}&=\boldsymbol{\gamma}^0\boldsymbol{\gamma}^0+\boldsymbol{\gamma}^0\boldsymbol{\gamma}^0\\&=2\eta^{00}\boldsymbol{I_{N}}\\&=2\boldsymbol{I_{N}}\\\rightarrow\boldsymbol\gamma^0\boldsymbol\gamma^0&=\boldsymbol{I_{N}}\tag{3}\\ \\\left\{\boldsymbol{\gamma}^1,\ \boldsymbol{\gamma}^1\right\}&=\boldsymbol{\gamma}^1\boldsymbol{\gamma}^1+\boldsymbol{\gamma}^1\boldsymbol{\gamma}^1\\&=2\eta^{11}\boldsymbol{I_{N}}\\&=-2\boldsymbol{I_{N}}\\\rightarrow\boldsymbol\gamma^1\boldsymbol\gamma^1&=-\boldsymbol{I_{N}}\tag{4}\\ \\\left\{\boldsymbol{\gamma}^0,\ \boldsymbol{\gamma}^1\right\}&=\boldsymbol{\gamma}^0\boldsymbol{\gamma}^1+\boldsymbol{\gamma}^1\boldsymbol{\gamma}^0\\&=2\eta^{01}\boldsymbol{I_{N}}\\&=0\\\rightarrow\boldsymbol{\gamma}^0\boldsymbol{\gamma}^1&=-\boldsymbol{\gamma}^1\boldsymbol{\gamma^0}\tag{5}\end{align}
を満たし、これらの両辺の行列式をとると次の関係
\begin{align}\text{det}\left(\boldsymbol{\gamma}^0\boldsymbol{\gamma}^0\right)&=\text{det}\left(\boldsymbol{I_{N}}\right)\\\rightarrow\text{det}\boldsymbol{\gamma}^0\cdot\text{det}\boldsymbol{\gamma}^0&=1\\\rightarrow\text{det}\boldsymbol{\gamma}^0&\neq0\tag{6}\\ \\\text{det}\left(\boldsymbol{\gamma}^1\boldsymbol{\gamma}^1\right)&=\text{det}\left(-\boldsymbol{I_{N}}\right)\\\rightarrow\text{det}\boldsymbol{\gamma}^1\cdot\text{det}\boldsymbol{\gamma}^1&=(-1)^N\\\rightarrow\text{det}\boldsymbol{\gamma}^1&\neq0\tag{7}\\ \\\text{det}\left(\boldsymbol{\gamma}^0\boldsymbol{\gamma}^1\right)&=\text{det}\left(-\boldsymbol{\gamma}^1\boldsymbol{\gamma}^0\right)\\&=\text{det}\left(-\boldsymbol{I_{N}}\boldsymbol{\gamma}^1\boldsymbol{\gamma}^0\right)\\\rightarrow\text{det}\boldsymbol{\gamma}^0\cdot\text{det}\boldsymbol{\gamma}^1&=\text{det}\left(-\boldsymbol{I_{N}}\right)\cdot\text{det}\boldsymbol{\gamma}^0\cdot\text{det}\boldsymbol{\gamma}^1\\&=(-1)^N\text{det}\boldsymbol{\gamma}^0\cdot\text{det}\boldsymbol{\gamma}^1\tag{8}\end{align}
が得られる。ここで、次の行列式の関係式
\begin{align}\text{det}\left(\boldsymbol{AB}\right)&=\text{det}\boldsymbol{A}\cdot\text{det}\boldsymbol{B}\tag{9}\\\text{det}\left(\boldsymbol{I_{N}}\right)&=1\tag{10}\\\text{det}\left(-\boldsymbol{I_{N}}\right)&=(-1)^N\tag{11}\end{align}
を用いていることに注意する。式(6)と式(7)より、式(8)の両辺を\(\text{det}\boldsymbol{\gamma}^0\cdot\text{det}\boldsymbol{\gamma}^1\)で割ると
\begin{align}1=(-1)^N\tag{12}\end{align}
が得られ、この式よりガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)のサイズ\(N\)は偶数であることが分かる。
サイズ\(N\)が偶数になること(別法)
ガンマ行列\(\boldsymbol \gamma^\mu\)のサイズ\(N\)が偶数になることは、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^0\)のトレースから求めることもできる。
ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^0\)のトレースは、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^0\)を対角行列\(\boldsymbol{\gamma}^0_{\text{diag}}\)に対角化させる正則行列\(\boldsymbol S\)(逆行列を持つ行列)を用いて次のような表し方をすることができる。
\begin{align}\text{tr}\left(\boldsymbol{\gamma}^0\right)&=\text{tr}\left(\boldsymbol{\gamma}^0\boldsymbol{S}^{-1}\boldsymbol{S}\right)\\&=\text{tr}\left(\boldsymbol{S}\boldsymbol{\gamma}^0\boldsymbol{S}^{-1}\right)\\&=\text{tr}\left(\boldsymbol{\gamma}^0_{\text{diag}}\right)\\&=\sum_{a=1}^N\lambda_{a}\tag{13}\end{align}
※※※式(21)において、2行目への変換ではトレースの性質
\begin{align*}\text{tr}\left(\boldsymbol A\boldsymbol B\right)=\text{tr}\left(\boldsymbol B\boldsymbol A\right)\tag{14}\end{align*}
を用い、3行目への変換では対角化の関係式
\begin{align}\boldsymbol{S}\boldsymbol{\gamma}^0\boldsymbol{S}^{-1}=\boldsymbol{\gamma}^0_{\text{diag}}\tag{15}\end{align}
を用い、4行目への変換では対角行列\(\boldsymbol{\gamma}^0_{\text{diag}}\)の対角成分はガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^0\)の固有値\(\lambda_a\)であり、対角行列\(\boldsymbol{\gamma}^0_{\text{diag}}\)のトレースは固有値\(\lambda_a\)の和になることを用いた。※※※
前ページより、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)のトレースはゼロであるため、式(13)は
\begin{align}\sum_{a=1}^N\lambda_{a}=0\tag{16}\end{align}
となり、 ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^0\)の固有値\(\lambda_a\)は\(1\)または\(-1\)なので(前ページを参照)、\(1\)の固有値の数を\(M\)とすると、\(-1\)の固有値の数は\(M-P\) となり、式(16)は
\begin{align}1×P+(-1)×(M-P)&=0\\2M-N&=0\\\rightarrow N&=2M\tag{24}\end{align}
と表すことができ、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)のサイズ\(N\)は偶数であることが分かる。
サイズ\(N\)が\(4\)以上であること
ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)のサイズ\(N\)が\(4\)以上であることは、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)のサイズ\(N\)が\(2\)でないことを確認すれば分かる。
もし、ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)のサイズ\(N\)が\(2\)のとき、任意の行列は単位行列\(\boldsymbol I_2\)とエルミート性・反エルミート性を持つガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j(j=1,2,3)\)の線型結合で表せるため(前ページを参照)、残りのガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}’^0\)を
\begin{align*}\tilde{\boldsymbol \gamma}’^0=c_0\boldsymbol I_2+\sum_{k=1}^3c_k\tilde{\boldsymbol\gamma}’^k\tag{25}\end{align*}
と置くことができる(ただし、係数\(c_0,c_k\)は複素数)。式(2)を変形して作った次の式
\begin{align*}\tilde{\boldsymbol\gamma}’^0\tilde{\boldsymbol{\gamma}}’^j+\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j\tilde{\boldsymbol\gamma}’^0=0\tag{26}\end{align*}
に式(25)を代入すると
\begin{align*}c_0\tilde{\boldsymbol{\gamma}}’^j+\sum_{k=1}^3c_k\tilde{\boldsymbol\gamma}’^k\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j+c_0\tilde{\boldsymbol{\gamma}}’^j+&\sum_{k=1}^3c_k\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j\tilde{\boldsymbol\gamma}’^k=0\\c_0\tilde{\boldsymbol{\gamma}}’^j+\sum_{j\neq k}c_k\tilde{\boldsymbol\gamma}’^k\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j+c_j\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j+c_0\tilde{\boldsymbol{\gamma}}’^j+&\sum_{j\neq k}c_k\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j\tilde{\boldsymbol\gamma}’^k+c_j\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j=0\\c_0\tilde{\boldsymbol{\gamma}}’^j+\sum_{j\neq k}c_k\tilde{\boldsymbol\gamma}’^k\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j-c_j\boldsymbol I_N+c_0\tilde{\boldsymbol{\gamma}}’^j-&\sum_{j\neq k}c_k\tilde{\boldsymbol\gamma}’^k\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j-c_j\boldsymbol I_N=0\\\rightarrow c_0\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j-c_j\boldsymbol I_N&=0\tag{27}\end{align*}
となり、単位行列とガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}’^j(j=1,2,3)\)は互いに直交するため係数\(c_0,c_j\)は
\begin{align*}c_0=c_j=0\ \ \ \ \ (j=1,2,3)\tag{28}\end{align*}
でなければならず、式(25)のガンマ行列\(\tilde{\boldsymbol\gamma}’^0\)は
\begin{align*}\tilde{\boldsymbol\gamma}’^0=0\tag{29}\end{align*}
となる。しかし、式(29)は式(3)に反するため、仮定の「ガンマ行列\(\boldsymbol\gamma^\mu\)のサイズ\(N\)は\(2\)である」が間違っており、サイズ\(N\)は\(4\)以上となる。サイズ\(N\)が\(4\)以上である具体例は次のページから見てみる。
次ページから…
次ページでは、ガンマ行列のディラック表示\(\boldsymbol{\gamma}^{\mu}_{\text{D}}\)・ワイル表示\(\boldsymbol{\gamma}^{\mu}_{\text{W}}\)・マヨラナ表示\(\boldsymbol{\gamma}^{\mu}_{\text{M}}\)を調べる。
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