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本ページでは、次のように定義
\begin{align*}\boldsymbol B&=\boldsymbol \nabla×\boldsymbol A\\\boldsymbol E&=-\boldsymbol\nabla \phi-\frac{\partial \boldsymbol A}{\partial t}\end{align*}
された電気スカラーポテンシャル\(\phi\)と磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)の組み合わせからなる4元ベクトル場
\begin{align*}A^\mu&=(\phi/c,\boldsymbol A)\\&=(A^0,A^1,A^2,A^3)\end{align*}
のゲージ場(または単に電磁ポテンシャル)について調べる。
内容
ゲージ場とは
次のように定義
\begin{align*}\boldsymbol B&=\boldsymbol \nabla×\boldsymbol A\tag{1}\\\boldsymbol E&=-\boldsymbol\nabla \phi-\frac{\partial \boldsymbol A}{\partial t}\tag{2}\end{align*}
された電気スカラーポテンシャル\(\phi\)と磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)の組み合わせからなる4元ベクトル場
\begin{align*}A^\mu&=(\phi/c,\boldsymbol A)\\&=(A^0,A^1,A^2,A^3)\end{align*}
をゲージ場(または単に電磁ポテンシャル)と呼ぶ。
ゲージ場\(A^\mu\)を用いることによって、4つの式から構成されるマクスウェル方程式を次のように1つの式で書くことができる。
\begin{align*}\partial_\mu (\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)=\mu_0j^\nu\tag{3}\end{align*}
この式については後のページで導出する。
ゲージ場の導出
マクスウェル方程式
\begin{align*}\boldsymbol \nabla \cdot\boldsymbol B&=0\tag{4}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol E&=-\frac{\partial \boldsymbol B}{\partial t}\tag{5}\\\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol D&=\rho\tag{6}\\\boldsymbol\nabla×\boldsymbol H&=\boldsymbol j+\frac{\partial \boldsymbol D}{\partial t}\tag{7}\end{align*}
から、ゲージ場\(A^\mu=(\phi/c,\boldsymbol A)\)を構成する電気スカラーポテンシャル\(\phi\)と磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)の定義を導出する。
初めに、回転ベクトル場\(\boldsymbol \nabla×\boldsymbol f\)の発散\(\boldsymbol \nabla\cdot\)がゼロとなる次の公式(以前のページを参照)
\begin{align*}\boldsymbol \nabla\cdot(\boldsymbol \nabla×\boldsymbol f)=0\tag{8}\end{align*}
を用いると、式(4)より次の関係
\begin{align*}\boldsymbol B=\boldsymbol \nabla×\boldsymbol A\tag{1}\end{align*}
を満たす任意のベクトル関数\(\boldsymbol A\)が存在することが分かる。このベクトル関数を磁気ベクトルポテンシャルと呼び、式(5)に代入すると
\begin{align*}&\boldsymbol\nabla×\boldsymbol E=-\boldsymbol\nabla×\frac{\partial \boldsymbol A}{\partial t}\\\rightarrow&\boldsymbol\nabla×\left(-\boldsymbol E-\frac{\partial \boldsymbol A}{\partial t}\right)=\boldsymbol 0\tag{9}\end{align*}
となる。勾配ベクトル場\(\boldsymbol\nabla f\)の回転\(\boldsymbol\nabla×\)がゼロベクトルとなる公式(以前のページを参照)
\begin{align*}\boldsymbol\nabla×(\boldsymbol\nabla f)=\boldsymbol 0\tag{10}\end{align*}
を用いると、式(9)より次の関係
\begin{align*}&-\boldsymbol E-\frac{\partial \boldsymbol A}{\partial t}=\boldsymbol\nabla \phi\\\rightarrow&\boldsymbol E=-\boldsymbol\nabla \phi-\frac{\partial \boldsymbol A}{\partial t}\tag{2}\end{align*}
を満たす任意のスカラー関数\(\phi\)が存在することが分かる。このスカラー関数を電気スカラーポテンシャルと呼ぶ。
以上より、電気スカラーポテンシャル\(\phi\)と磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)を用いることによってマクスウェル方程式を構成する式(4)と式(5)は
\begin{align*}\boldsymbol B&=\boldsymbol \nabla×\boldsymbol A\tag{1}\\\boldsymbol E&=-\boldsymbol\nabla \phi-\frac{\partial \boldsymbol A}{\partial t}\tag{2}\end{align*}
と表される。ここで、電気スカラーポテンシャル\(\phi\)と磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)を組み合わせた4元ベクトル場がゲージ場である。
\begin{align*}A^\mu&=(\phi/c,\boldsymbol A)\\&=(A^0,A^1,A^2,A^3)\end{align*}
次ページから…
次ページでは、電気スカラーポテンシャル\(\phi\)と磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)の定義式
\begin{align*}\boldsymbol B&=\boldsymbol \nabla×\boldsymbol A\\\boldsymbol E&=-\boldsymbol\nabla \phi-\frac{\partial \boldsymbol A}{\partial t}\end{align*}
が、電磁場テンソル\(F^{\mu\nu}\)の定義式
\begin{align*}F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu\end{align*}
の1つにまとめられることをみる。
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