【やさしい量子力学】密度行列

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本ページでは、純粋状態および混合状態を表現できる密度行列

\begin{align*}\rho=\sum_jp_j\vert\varPsi_j\rangle\langle\varPsi_j\vert\end{align*}

を導入し、純粋状態の密度行列と混合状態の密度行列の違いを、光子の偏光を用いた例で確かめる。

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前ページでは、純粋状態は系について可能な限りの情報が既に得られている状態であり、混合状態は系に対する情報が不足していて、ある純粋状態が測定される確率しか分からない状態であることをみた。また、純粋状態と混合状態の違いを、光子の偏光を用いた例で確かめた。

内容

純粋状態の期待値

純粋状態$\vert \varPsi_j\rangle$における古典物理量$F$の期待値は、演算子$\hat F$を用いて

\begin{align*}\langle\varPsi_j\vert\hat F\vert\varPsi_j\rangle\tag{1}\end{align*}

と表すことができ、次のように変形できる。

\begin{align*}\langle\varPsi_j\vert\hat F\vert\varPsi_j\rangle=\text{tr}(\hat F\vert\varPsi_j\rangle\langle\varPsi_j\vert)\tag{2}\end{align*}

※※※式(2)において、ベクトルの内積$\langle A\vert B\rangle$と行列$\vert B\rangle\langle A\vert$のトレース(対角成分の和)が等しいこと

\begin{align*}\langle A\vert B\rangle&=\text{tr}(\vert B\rangle\langle A\vert)\tag{3}\end{align*}

を用いた。このことは、次のように確かめられる。

\begin{align*}\langle A\vert B\rangle&=\sum_i\langle A \vert u_i\rangle\langle u_i\vert B\rangle\\&=\sum_i\langle u_i\vert B\rangle\langle A \vert u_i\rangle\\&=\text{tr}(\vert B\rangle\langle A\vert)\tag{4}\end{align*}

1つ目の等号では基底ベクトル$\vert u_i\rangle$から作られる次の単位演算子

\begin{align*}\sum_i\vert u_i\rangle\langle u_i\vert=\boldsymbol I\tag{5}\end{align*}

を挿入し、2つ目の等号ではスカラーである$\langle A\vert u_i\rangle$と$\langle u_i\vert B\rangle$の積の順序を入れ替え、3つ目の等号では$i$成分のみ$1$でそれ以外の成分が$0$である基底ベクトル$\vert u_i\rangle$

\begin{align*}\vert u_i\rangle=\left(\begin{array}{c}\vdots\\0\\1\\0\\\vdots\end{array}\right)\tag{6}\end{align*}

で行列$\vert B\rangle\langle A\vert$を挟んで総和$\sum_i$をとると、行列$\vert B\rangle\langle A\vert$の対角成分の和(トレース$\text{tr}$)に相当することを用いた。※※※

混合状態の期待値

混合状態は、純粋状態$\vert \varPsi_j\rangle$が確率$p_j$で測定される状態であったため、混合状態における古典物理量$F$の期待値は純粋状態$\vert \varPsi_j\rangle$の期待値$\langle\varPsi_j\vert\hat F\vert\varPsi_j\rangle$とその純粋状態$\vert \varPsi_j\rangle$が測定される確率$p_j$を用いて

\begin{align*}\sum_jp_j\langle\varPsi_j\vert\hat F\vert\varPsi_j\rangle\tag{7}\end{align*}

と表され、式(2)を用いると

\begin{align*}\sum_jp_j\langle\varPsi_j\vert\hat F\vert\varPsi_j\rangle=\sum_jp_j\text{tr}(\hat F\vert\varPsi_j\rangle\langle\varPsi_j\vert)\tag{8}\end{align*}

となる。

密度行列

混合状態において、密度行列(または密度演算子)と呼ばれる次のような行列$\rho$

\begin{align*}\rho=\sum_jp_j\vert\varPsi_j\rangle\langle\varPsi_j\vert\tag{9}\end{align*}

を定義すると、混合状態の期待値は

\begin{align*}\sum_jp_j\langle\varPsi_j\vert\hat F\vert\varPsi_j\rangle=\text{tr}(\hat F\rho)\tag{10}\end{align*}

と表すことができる。

純粋状態$\vert\varPsi_j\rangle$における密度行列$\rho_i$も作ることができ、必ず純粋状態$\vert\varPsi_j\rangle$が測定される状態($p_j=1$)のため

\begin{align*}\rho_j=\vert\varPsi_j\rangle\langle\varPsi_j\vert\tag{11}\end{align*}

となる。この純粋状態の密度行列$\vert\varPsi_j\rangle\langle\varPsi_j\vert$は、ある状態$\vert\varPsi_k\rangle$に作用すると

\begin{align*}\vert\varPsi_j\rangle\langle\varPsi_j\vert\varPsi_k\rangle&=\vert\varPsi_j\rangle\langle\varPsi_j\vert\left( c_{jk}\vert\varPsi_j\rangle+\sum_{i\neq j}c_{ik}\vert\varPsi_i\rangle\right)\\&=c_{jk}\vert\varPsi_j\rangle\tag{12}\end{align*}

と純粋状態$\vert\varPsi_j\rangle$を取り出すことができるため、射影演算子であり、その純粋状態$\vert\varPsi_j\rangle$が観測される確率は$\vert c_{jk}\vert^2$である。式(12)では、$\vert\varPsi_k\rangle$を$\vert\varPsi_j\rangle$とこれに直交する$\vert\varPsi_i\rangle$($i\neq j$)で展開をした。このことより、混合状態の密度行列$\rho$は、純粋状態の密度行列$\rho_j$の1次結合であり、純粋状態を取り出す射影演算子$\vert\varPsi_j\rangle\langle\varPsi_j\vert$の1次結合でもあることが分かる。

純粋状態の例

純粋状態の密度行列の例として、光子の偏光を取り上げる。

右円偏光の純粋状態$\vert R\rangle$と左円偏光の純粋状態$\vert L\rangle$を

\begin{align*}\vert R\rangle&=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\tag{13}\\\vert L\rangle&=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\tag{14}\end{align*}

と定義すると、縦偏光の純粋状態$\vert +\rangle$と横偏光の純粋状態$\vert -\rangle$は

\begin{align*}\vert +\rangle&=\frac{\vert R\rangle+\vert L\rangle}{\sqrt{2}}\\&=\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\1/\sqrt{2}\end{array}\right)\tag{15}\\\vert -\rangle&=\frac{\vert R\rangle-\vert L\rangle}{\sqrt{2}}\\&=\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\-1/\sqrt{2}\end{array}\right)\tag{16}\end{align*}

と表すことができる。よって、それぞれの状態の密度行列は

\begin{align*}\rho_R&=\vert R\rangle\langle R\vert\\&=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1&0\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}1&0\\0&0\end{array}\right)\tag{17}\\\rho_L&=\vert L\rangle\langle L\vert\\&=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0&1\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}0&0\\0&1\end{array}\right)\tag{18}\\\rho_+&=\vert +\rangle\langle +\vert\\&=\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\1/\sqrt{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}&1/\sqrt{2}\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}1/2&1/2\\1/2&1/2\end{array}\right)\tag{19}\\\rho_-&=\vert -\rangle\langle -\vert\\&=\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\-1/\sqrt{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}&-1/\sqrt{2}\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}1/2&-1/2\\-1/2&1/2\end{array}\right)\tag{20}\end{align*}

となる。これら純粋状態の密度行列は、ある状態に作用させると純粋状態を取り出す射影演算子でもあり、純粋状態の式(13)〜(16)に作用させるとそのことが分かる。

混合状態の例

混合状態の密度行列の例として、無偏光の光子を取り上げる。

無偏光の光子は偏光方向が粒子毎に完全にランダムであり、複数の無偏光の光子を右円偏光板$\nearrow$または左円偏光板$\nwarrow$に通すと、50%の確率で右円偏光の純粋状態$\vert R\rangle$が、50%の確率で左円偏光の純粋状態$\vert L\rangle$が測定される。そのため、この混合状態の密度行列$\rho’$は

\begin{align*}\\\rho’&=1/2\vert R\rangle\langle R\vert+1/2\vert L\rangle\langle L\vert\\&=1/2\rho_R+1/2\rho_L\\&=\left(\begin{array}{c}1/2&0\\0&1/2\end{array}\right)\tag{21}\end{align*}

となる。

また、複数の無偏光の光子を縦偏光板$\updownarrow$または横偏光板$\leftrightarrow$に通すと、50%の確率で縦偏光の純粋状態$\vert +\rangle$が、50%の確率で横偏光の純粋状態$\vert -\rangle$が測定される。そのため、この混合状態の密度行列$\rho^”$は

\begin{align*}\rho^”&=1/2\vert +\rangle\langle +\vert+1/2\vert -\rangle\langle -\vert\\&=1/2\rho_++1/2\rho_-\\&=\left(\begin{array}{c}1/2&0\\0&1/2\end{array}\right)\tag{22}\end{align*}

となる。式(21)の例と式(22)の例では、どちらも同じ無偏光の光子を用いた混合状態の例であるため、同じ式となる。

対角成分と非対角成分

$m$成分のみ$1$でそれ以外の成分が$0$である基底ベクトル$\vert u_m\rangle$

\begin{align*}\vert u_m\rangle=\left(\begin{array}{c}\vdots\\0\\1\\0\\\vdots\end{array}\right)\tag{6}\end{align*}

の重ね合わせで純粋状態$\vert\varPsi_j\rangle$

\begin{align*}\vert\varPsi_j\rangle=\sum_{m} c_m\vert u_m\rangle\tag{23}\end{align*}

が表されるとき、$m$行目の成分を複素数の$c_m$とすると、純粋状態の密度行列

\begin{align*}\rho_j=\vert\varPsi_j\rangle\langle\varPsi_j\vert\tag{11}\end{align*}

において$m$行$n$列目の成分は$c_m^*c_n$となる。よって、純粋状態の密度行列において、$m=n$である対角成分は必ず非負の数$\vert c_m\vert^2$になり、この値は状態$\vert u_m\rangle$が観測される確率を示している。また、$m\neq n$である非対角成分は正負またはゼロの数$c_m^*c_n$となり、もし、純粋状態$\vert\varPsi_j\rangle$が基底ベクトル$\vert u_m\rangle$なら非対角成分$c_m^*c_{n\neq m}$はゼロになるが、純粋状態$\vert\varPsi_j\rangle$が基底ベクトル$\vert u_m\rangle$と$\vert u_n\rangle$の重ね合わせなら非対角成分$c_m^*c_n$および$c_n^*c_m$はゼロにならないため、非対角成分は基底ベクトル同士の重ね合わせ(コヒーレンス)度合いを表しており、コヒーレント項と呼ばれる。純粋状態の密度行列の式(17),(18)ではコヒーレント項はゼロであるが、式(19),(20)ではコヒーレント項はゼロではなく、純粋状態は基底ベクトルの重ね合わせとなっている。

混合状態の密度行列$\rho$は純粋状態の密度行列$\rho_j$の和で表される。

\begin{align*}\rho&=\sum_j\rho_j\\&=\sum_jp_j\vert\varPsi_j\rangle\langle\varPsi_j\vert\tag{9}\end{align*}

そのため、混合状態の密度行列においても、$m$行$m$列目の対角成分は必ず非負の数になり、状態$\vert u_m\rangle$が測定される確率に相当する。また、コヒーレント項である非対角成分は、正負またはゼロの数の足し合わせとなって、正負またはゼロの数になる。もし、足し合わせる正負またはゼロの数がランダムな値をとるなら、足し合わせるとゼロになりやすい、つまり、重ね合わせがなくなる可能性がある。このように、コヒーレント項がゼロになって重なり合わせがなくなることをデコヒーレンスという。

密度行列の2乗

ある密度行列が与えられたとき、密度行列の2乗のトレースをとって、$1$になれば純粋状態の密度行列であり、$1$未満であれば混合状態の密度行列であると判断できる。

まず、純粋状態の2乗$\rho_j^2$のトレースを次のように計算すると$1$になることが分かる。

\begin{align*}\text{tr}(\rho_j^2)&=\text{tr}(\vert\varPsi_j\rangle\langle\varPsi_j\vert\varPsi_j\rangle\langle\varPsi_j\vert)\\&=\text{tr}(\vert\varPsi_j\rangle\langle\varPsi_j\vert)\\&=\langle\varPsi_j\vert\varPsi_j\rangle\\&=1\tag{24}\end{align*}

※※※式(24)において、2つ目の等号では規格化条件

\begin{align*}\langle\varPsi_j\vert\varPsi_j\rangle=1\tag{25}\end{align*}

$\langle \psi |\psi \rangle = 1$

を用い、3つ目の等号では行列$\vert B\rangle\langle A\vert$とベクトルの内積$\langle A\vert B\rangle$のトレース(対角成分の和)が等しいこと

\begin{align*}\text{tr}(\vert B\rangle\langle A\vert)=\tag{3}\end{align*}

を用いた。※※※

純粋状態の密度行列である式(17)~(20)において、2乗じてトレースをとると$1$になることが分かる。

次に、混合状態の2乗$\rho^2$のトレースを計算すると

\begin{align*}\text{tr}(\rho^2)&=\text{tr}\left(\left(\sum_{j}p_j\vert\varPsi_j\rangle\langle\varPsi_j\vert\right)\left(\sum_kp_k\vert\varPsi_k\rangle\langle\varPsi_k\vert\right)\right)\\&=\text{tr}\left(\sum_{j,k}p_jp_k\vert\varPsi_j\rangle\langle\varPsi_j\vert\varPsi_k\rangle\langle\varPsi_k\vert\right)\\&=\sum_{j,k}p_jp_k\langle\varPsi_j\vert\varPsi_k\rangle\langle\varPsi_k\vert\varPsi_j\rangle\\&=\sum_{j,k}p_jp_k\vert\langle\varPsi_j\vert\varPsi_k\rangle\vert^2\\&=\sum_{j,k}p_jp_k\left|\langle\varPsi_j\vert\left( c_{jk}\vert\varPsi_j\rangle+\sum_{i\neq j}c_{ik}\vert\varPsi_i\rangle\right)\right|^2\\&=\sum_{j,k}p_jp_k\vert c_{jk}\vert^2\\&\leqq\sum_{j,k}p_jp_k\\&=\left(\sum_{j}p_j\right)^2\\&=1\tag{26}\end{align*}

となることが分かる。

※※※式(26)において、3つ目の等号では行列$\vert B\rangle\langle A\vert$のトレース(対角成分の和)とベクトルの内積$\langle A\vert B\rangle$とが等しいこと

\begin{align*}\text{tr}(\vert B\rangle\langle A\vert)=\langle A\vert B\rangle&\tag{3}\end{align*}

を用い、5つ目の等号では$\vert\varPsi_k\rangle$を$\vert\varPsi_j\rangle$とこれに直交する$\vert\varPsi_i\rangle$($i\neq j$)で展開をし、7つ目の不等式では$c_{jk}$が$\vert\varPsi_k\rangle$の状態で$\vert\varPsi_j\rangle$が測定される確率であり$1$以下であることを用いた。※※※

式中の不等式が等号が成立するときは$c_{jk}=1$であるから、$\vert\varPsi_j\rangle$と$\vert\varPsi_k\rangle$は等しく、$j=k$でなければならず、

\begin{align*}\text{tr}(\rho^2)&=\sum_{j}p_j^2\\&=\left(\sum_{j}p_j\right)^2\\&=1\tag{27}\end{align*}

が成り立たなければならない。この式(27)が成り立つためには$j$は$1$の値しか取らないため、不等式で等号が成り立つこの状態は純粋状態に相当し、混合状態では密度行列の2乗のトレースは$1$未満になることが分かる。実際に、混合状態の密度行列である式(21)~(22)において、2乗してトレースをとると$1$以下になることが分かる。

次ページから…

次ページでは、合成系は複数の粒子が存在する系であることを確認し、複数の粒子が相互作用していない合成系における純粋状態および混合状態の密度行列は、部分系のテンソル積を用いて表せることをみる。