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本ページでは、プロカ方程式
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu} +m^2A^\nu=0\end{align*}
を導出する作用積分\(S\)
\begin{align}S&=\int d^4x\ \left(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\right)\end{align}
を求め、作用積分\(S\)が相対論的不変性を持つがゲージ不変性は持たないことを確かめる。
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前ページでは、プロカ方程式
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu} +m^2A^\nu=0\end{align*}
を導出するラグランジアン密度\(\mathscr{L}\)
\begin{align}\mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\end{align}
を求め、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)は相対論的不変性を持つがゲージ不変性は持たないことを確かめた。
内容
ゲージ場の作用積分
プロカ方程式
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu} +m^2A^\nu=0\tag{1}\end{align*}
を導出するラグランジアン密度\(\mathscr{L}\)は
\begin{align}\mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\tag{2}\end{align}
であるため、作用積分\(S\)は
\begin{align}S&=\int d^4x\ \mathscr{L}\\&=\int d^4x\ \left(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\right)\tag{3}\end{align}
となる。
作用積分の相対論的不変性
プロカ方程式を導く作用積分\(S\)が相対論的不変性を持つことを確認する。
作用積分\(S\)
\begin{align}S&=\int d^4x\ \mathscr{L}\\&=\int d^4x\ \left(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\right)\tag{3}\end{align}
において、ローレンツ変換によって微小時空体積\(d^4x\)と電磁場テンソル\(F_{\mu\nu}\),\(F^{\mu\nu}\)、ゲージ場\(A_\mu\),\(A^\mu\)が次のように変換
\begin{align*}d^4x&\rightarrow d^4x’\\F_{\mu\nu}&\rightarrow F’_{\mu\nu}\\F^{\mu\nu}&\rightarrow F’^{\mu\nu}\\A_\mu&\rightarrow A’_\mu\\A^\mu&\rightarrow A’^\mu\end{align*}
する際、変換後の作用積分\(S’\)は
\begin{align}S’&=\int d^4x’\ \left(-\frac{1}{4}F’_{\mu\nu}F’^{\mu\nu}+\frac{m^2}{2}A’_\mu A’^\mu\right)\tag{4}\end{align}
となる。また、微小時空体積\(d^4x\)はスカラーなためローレンツ変換によって変化しない
\begin{align*}d^4x=d^4x’\tag{5}\end{align*}
が、ゲージ場\(A_\mu\),\(A^\mu\)はローレンツ変換の下でベクトルとして変換(以前のページを参照)
\begin{align*}A’_\mu&=A_\rho(\varLambda^{-1})^\rho{}_\mu\tag{6}\\A’^\mu&=\varLambda^\mu{}_\nu A^\nu\tag{7}\end{align*}
し、電磁場テンソル\(F_{\mu\nu}\),\(F^{\mu\nu}\)はローレンツ変換の下でテンソルとして変換(以前のページを参照)
\begin{align*}F’_{\mu\nu}&=F_{\rho\gamma}(\varLambda^{-1})^\rho{}_\mu(\varLambda^{-1})^\gamma{}_\nu\tag{8}\\F’^{\mu\nu}&=\varLambda^\mu{}_\tau\varLambda^\nu{}_\kappa F^{\tau\kappa}\tag{9}\end{align*}
するため、作用積分\(S’\)
\begin{align}S’&=\int d^4x’\ \left(-\frac{1}{4}F’_{\mu\nu}F’^{\mu\nu}+\frac{m^2}{2}A’_\mu A’^\mu\right)\\&=\int d^4x\ \left(-\frac{1}{4}F_{\rho\gamma}(\varLambda^{-1})^\rho{}_\mu(\varLambda^{-1})^\gamma{}_\nu\varLambda^\mu{}_\tau\varLambda^\nu{}_\kappa F^{\tau\kappa}+\frac{m^2}{2} A_\rho(\varLambda^{-1})^\rho{}_\mu\varLambda^\mu{}_\nu A^\nu\right)\\&=\int d^4x\ \left(-\frac{1}{4}F_{\rho\gamma}\delta^\rho{}_\tau \delta^\gamma{}_\kappa F^{\tau\kappa}+\frac{m^2}{2}A_\rho\delta^\rho{}_\nu A^\nu\right)\\&=\int d^4x\ \left(-\frac{1}{4}F_{\rho\gamma}F^{\rho\gamma}+\frac{m^2}{2}A_\nu A^\nu\right)\tag{10}\end{align}
はローレンツ変換前の作用積分\(S\)と等しくなり、ゲージ場の作用積分\(S\)は相対論的不変性を持つことが分かる。
プロカ方程式は作用原理によって作用積分\(S\)から導かれるため、作用積分\(S\)が持つ相対論的不変性はプロカ方程式に受け継がれる。
作用積分のゲージ不変性
プロカ方程式を導く作用積分\(S\)がゲージ不変性を持たないことを確認する。
ゲージ変換によってゲージ場\(A_\mu\),\(A^\mu\)が次のように変換
\begin{align*}A_\mu\rightarrow A’_\mu=A_\mu+\partial_\mu\varLambda\\A^\mu\rightarrow A’^\mu=A^\mu+\partial^\mu\varLambda\end{align*}
するとき、電磁場テンソル\(F_{\mu\nu}\),\(F^{\mu\nu}\)はゲージ変換の下で不変
\begin{align*}F_{\mu\nu}\rightarrow F’_{\mu\nu}&=\partial_\mu A’_\nu-\partial_\nu A’_\mu\\&=\partial_\mu A_\nu+\partial_\mu\partial_\nu\varLambda-\partial_\nu A_\mu-\partial_\nu\partial_\mu\varLambda\\&=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu\\&=F_{\mu\nu}\\F^{\mu\nu}\rightarrow F’^{\mu\nu}&=\partial^\mu A’^\nu-\partial^\nu A’^\mu\\&=\partial^\mu A^\nu+\partial^\mu\partial^\nu\varLambda-\partial^\nu A^\mu-\partial^\nu\partial^\mu\varLambda\\&=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu\\&=F^{\mu\nu}\end{align*}
である。プロカ方程式を導く作用積分\(S\)
\begin{align}S&=\int d^4x\ \mathscr{L}\\&=\int d^4x\ \left(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\right)\tag{3}\end{align}
において、ゲージ変換すると
\begin{align}S’&=\int d^4x\ \left(-\frac{1}{4}F’_{\mu\nu}F’^{\mu\nu}+\frac{m^2}{2}A’_\mu A’^\mu\right)\\&=\int d^4x\ \left(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{m^2}{2}(A_\mu+\partial_\mu\varLambda)(A^\mu+\partial^\mu\varLambda)\right)\\&=\int d^4x\ \left(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu+m^2A_\mu\partial^\mu\varLambda+\frac{m^2}{2}(\partial_\mu\varLambda)(\partial^\mu\varLambda)\right)\tag{11}\end{align}
となって、ゲージ変換前の作用積分\(S\)と等しくならず、プロカ方程式を導く作用積分\(S\)はゲージ不変性を持たないが分かる。
プロカ方程式は作用原理によって作用積分\(S\)から導かれるため、作用積分\(S\)がゲージ不変性を持たなければプロカ方程式も持たない。
次ページから…
次ページでは、ゲージ場\(A_\mu\)の正準共役運動量\(\pi^\mu\)
\begin{align}\pi^\nu=\frac{\partial\mathscr L}{\partial\partial_0A_\nu}=F^{\nu0}\end{align}
を求め、ルジャンドル変換
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ ((\partial^0A_\nu)\pi^\nu-\mathscr L)\end{align*}
によってプロカ方程式におけるハミルトニアン
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\boldsymbol \pi^2+\frac{1}{2}(\boldsymbol\nabla×\boldsymbol A)^2+\frac{m^2}{2}(A_0)^2+\frac{m^2}{2}\boldsymbol A^2\right)\end{align*}
を求める。
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