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本ページでは…
本ページでは、ゲージ場が
\begin{align}\hat A_\nu(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \sum_{\lambda=0}^3\left\{\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)f_k^{+}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)f_k^{-}\right\}\end{align}
と表され、生成消滅演算子\(\hat a^\dagger(\boldsymbol k,\lambda)\),\(\hat a(\boldsymbol k,\lambda)\)から構成されることをみる。
前ページまで…
前ページでは、マクスウェル方程式を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)にゲージ固定項\(-\frac{1}{2}(\partial_\nu A^\nu)^2\)を加えることによって、ファインマンゲージ条件
\begin{align*}\partial_\mu \hat A^\mu\vert\varPsi\rangle=0\tag{9}\end{align*}
でゲージ固定されたマクスウェル方程式
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu}+\partial^{\nu}(\partial_\mu A^\mu)&=0\end{align*}
が導かれることを確認した。また、ゲージ固定項\(-\frac{1}{2}(\partial_\nu A^\nu)^2\)を加えたラグランジアン密度\(\mathscr L\)から正準共役運動量が定義
\begin{align}\pi^\nu=-\partial_0 A^\nu\end{align}
でき、ゲージ場と正準共役運動量は第2量子化を行なえることを確認した。
内容
フーリエ積分表示
どのような関数も完全系を成す関数群の足し合わせで表すことができるため、任意の関数\(\hat A_\nu(t,\boldsymbol{x})\)は完全系を成す\(e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}\)を足し合わせて次のように表すことができる。
\begin{align*}\hat A_\nu(t,\boldsymbol x)=\int d^3\boldsymbol k\ \hat a_\nu(t,\boldsymbol k)e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}\tag{1}\end{align*}
これはまさにフーリエ積分表示であり、\(\hat a_\nu(t,\boldsymbol k)\)はフーリエ係数である。ここで、積分変数にはどのような変数を用いてもよいが、後での議論をしやすくするために今回は積分変数に運動量\(\boldsymbol k\)を用いている。
ゲージ場の生成消滅演算子表示
上記の関数\(\hat A_\nu(t,\boldsymbol x)\)がもしゲージ場であるのならファインマンゲージ固定されたマクスウェル方程式(質量のない粒子におけるクライン-ゴルドン方程式に等しい)
\begin{align*}\partial_\mu\partial^\mu \hat A^\nu(t,\boldsymbol x)&=0\\\rightarrow\partial_\mu\partial^\mu \hat A_\nu(t,\boldsymbol x)&=0\tag{2}\end{align*}
を満たすため、実際にこの方程式に代入すると、フーリエ係数\(a_\nu(t,\boldsymbol k)\)は次の微分方程式
\begin{align}\frac{\partial^2 \hat a_\nu(t,\boldsymbol{k})}{\partial t^2}+\boldsymbol{k}^2\hat a_\nu(t,\boldsymbol{k})&=0\tag{3}\end{align}
を満たすことが分かる。この式の独立解は
\begin{align}e^{\pm i\sqrt{\boldsymbol{k}^2}t}=e^{\pm i\omega_{\boldsymbol k}t}\end{align}
であるから(ここで、\(\vert\boldsymbol k\vert=\omega_{\boldsymbol k}=k_0\)である)、一般解は
\begin{align}\hat a_\nu(t,\boldsymbol{k})=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^32\omega_{\boldsymbol k}}}\left\{\hat a_\nu(\boldsymbol{k})e^{-i\omega_{\boldsymbol k}t}+\hat a_\nu{}^\dagger(-\boldsymbol{k})e^{ i\omega_{\boldsymbol k}t}\right\}\tag{4}\end{align}
と表すことができ、このフーリエ係数の式(4)を式(1)に代入すると
\begin{align}\hat A_\nu(x)&=\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}}{\sqrt{(2\pi)^32\omega_{\boldsymbol k}}}\left\{\hat a_\nu(\boldsymbol{k})e^{-i(\omega_{\boldsymbol k}t-\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x})}+\hat a_\nu{}^\dagger(-\boldsymbol{k})e^{ i(\omega_{\boldsymbol k}t+\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x})}\right\}\\&=\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}}{\sqrt{(2\pi)^32\omega_{\boldsymbol k}}}\left\{\hat a_\nu(\boldsymbol{k})e^{-i(\omega_{\boldsymbol k}t-\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x})}+\hat a_\nu{}^\dagger(\boldsymbol{k})e^{ i(\omega_{\boldsymbol k}t-\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x})}\right\}\tag{5}\end{align}
となる。ここで、\(\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^32\omega_{\boldsymbol k}}}\)は規格化定数(以前のページを参照)であり、式(5)において2行目への変形では2項目の積分変数を\(\boldsymbol k\)から\(-\boldsymbol k\)に置き換えた。ゲージ場はエルミート\(\hat A_\nu{}^\dagger=\hat A_\nu\)でなければならないが、式(5)ではちゃんとそのようになっており、そうなるように式(4)では独立解\(e^{\pm i\omega_{\boldsymbol k}t}\)の係数を\(\hat a_\nu(\boldsymbol{k})\)と\(\hat a_\nu{}^\dagger(-\boldsymbol{k})\)においた。つまり、これらの係数を自由に選ぶことはできず形が制限されるということである。次のような関数
\begin{align*}f_k^-&=\frac{e^{i(\omega_{\boldsymbol k}t-\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x})}}{\sqrt{(2\pi)^32\omega_{\boldsymbol k}}}\\&=(f_k^+)^*\tag{6}\\f_k^+&=\frac{e^{- i(\omega_{\boldsymbol k}t-\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x})}}{\sqrt{(2\pi)^32\omega_{\boldsymbol k}}}\\&=(f_k^-)^*\tag{7}\end{align*}
を定義すると、ゲージ場は
\begin{align}\hat A_\nu(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a_\nu(\boldsymbol{k})f_k^{+}+\hat a_\nu{}^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\tag{8}\end{align}
とシンプルに表現できる。
スカラー場のとき(以前のページを参照)
\begin{align}\hat\phi(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a(\boldsymbol{k})f_k^{+}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\tag{9}\end{align}
の独立解の係数\(\hat a(\boldsymbol{k})\),\(\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\)と異なり、ゲージ場における独立解の係数\(\hat a_\nu(\boldsymbol{k})\),\(\hat a_\nu{}^\dagger(\boldsymbol{k})\)はベクトルのため4つの成分を持つ。そして、ゲージ場には冗長な自由度が含まれているため、偏極ベクトルと呼ばれる4つの基底ベクトル\(\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\ \ (\lambda=0,1,2,3)\)と係数\(\hat a(\boldsymbol k,\lambda)\)を用いて次のように展開
\begin{align*}\hat a_\nu(\boldsymbol k)&=\sum_{\lambda=0}^3\hat a(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\tag{10}\\\hat a_\nu{}^\dagger(\boldsymbol k)&=\sum_{\lambda=0}^3\hat a^\dagger(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\tag{11}\end{align*}
するとゲージ場は
\begin{align}\hat A_\nu(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \sum_{\lambda=0}^3\left\{\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)f_k^{+}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)f_k^{-}\right\}\tag{12}\end{align}
と表現できる。まだ、\(\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\)と\(\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\)は単なる係数と思ってもらってよいが、あとからこれらの係数が生成消滅演算子であることが判明する。
以前のページでエネルギー運動量演算子\(\hat P^\mu\)は時空並進の生成子であり、実スカラー場の演算子との交換関係が
\begin{align}[\hat P^\mu,\hat \phi(x)]&=-i \partial^\mu\hat\phi(x)\tag{13}\end{align}
となることを見た。ゲージ場においても次の関係
\begin{align}[\hat P^\mu,\hat A_\nu(x)]&=-i \partial^\mu\hat A_\nu(x)\tag{14}\end{align}
が成り立ち、この関係式にゲージ場の式(12)を代入すると次の関係式
\begin{align}\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \sum_{\lambda=0}^3\left\{[\hat P^\mu,\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)]\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)f_k^{+}+[\hat P^\mu,\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)]\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)f_k^{-}\right\}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \sum_{\lambda=0}^3\left\{-k^\mu\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)f_k^{+}+k^\mu\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)f_k^{-}\right\}\tag{15}\end{align}
\begin{align}[\hat P^\mu,\hat A_\nu(x)]&=-i \partial^\mu\hat A_\nu(x)\\\rightarrow\left[\hat P^\mu,\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \sum_{\lambda=0}^3\left\{\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)f_k^{+}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)f_k^{-}\right\}\right]&=-i \partial^\mu\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \sum_{\lambda=0}^3\left\{\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)f_k^{+}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)f_k^{-}\right\}\\\rightarrow\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \sum_{\lambda=0}^3\left\{[\hat P^\mu,\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)]\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)f_k^{+}+[\hat P^\mu,\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)]\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)f_k^{-}\right\}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \sum_{\lambda=0}^3\left\{-k^\mu\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)f_k^{+}+k^\mu\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)f_k^{-}\right\}\end{align}
が得られ、両辺を関数\(f_{k’}^{-}\)または\(f_{k’}^{+}\)と直交させると
\begin{align*}[\hat P^\mu,\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)]&=k^\mu \hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\tag{16}\\ [\hat P^\mu,\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)]&=-k^\mu \hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\tag{17}\end{align*}
\begin{align}\int\ \text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{[\hat P^\mu,\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)]\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\left(f_k^{+}\vert f_{k’}^{-}\right)+[\hat P^\mu,\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)]\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\left(f_k^{-}\vert f_{k’}^{-}\right)\right\}&=\int\ \text{d}^3\boldsymbol{k}\left\{-k^\mu \hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\left(f_k^{+}\vert f_{k’}^{-}\right)+k^\mu \hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\left(f_k^{-}\vert f_{k’}^{-}\right)\right\}\\\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ [\hat P^\mu,\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)]\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)&=\int\ \text{d}^3\boldsymbol{k}\ k^\mu \hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)\\ [\hat P^\mu,\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’},\lambda)]&=k’^\mu \hat a^\dagger(\boldsymbol{k’},\lambda)\end{align}
\begin{align}\int\ \text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{[\hat P^\mu,\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)]\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\left(f_k^{+}\vert f_{k’}^{+}\right)+[\hat P^\mu,\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)]\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\left(f_k^{-}\vert f_{k’}^{+}\right)\right\}&=\int\ \text{d}^3\boldsymbol{k}\left\{-k^\mu \hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\left(f_k^{+}\vert f_{k’}^{+}\right)+k^\mu \hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\left(f_k^{-}\vert f_{k’}^{+}\right)\right\}\\\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ [\hat P^\mu,\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)]\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)&=-\int\ \text{d}^3\boldsymbol{k}\ k^\mu \hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)\\ [\hat P^\mu,\hat a(\boldsymbol{k’},\lambda)]&=-k’^\mu \hat a(\boldsymbol{k’},\lambda)\end{align}
1行目では以前のページで用いた記号\((\vert)\)を用いて関数の直交を表しており、2行目への変形では関数(f_k^{-})と(f_k^{+})がクライン-ゴルドン方程式を満たし、以前のページで求めた次の直交関係
\begin{align}(f_k^{\pm}|f_{k’}^{\pm})&=\pm\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)\\(f_k^{\pm}|f_{k’}^{\mp})&=0\end{align}
を用いた。
が得られる。ここで、粒子状態は運動量\(\boldsymbol k\)と4つ存在する偏極状態\(\lambda\)で決まるため粒子状態は\(\vert\boldsymbol k,\lambda\rangle\)となり、次のエネルギー運動量演算子\(\hat P^\mu\)の固有値方程式
\begin{align*}\hat P^\mu \vert\boldsymbol k,\lambda\rangle&=k^\mu\vert\boldsymbol k,\lambda\rangle\tag{18}\end{align*}
が成り立つ(偏極状態は4つの偏極状態\(\lambda\)以外もとることがあり、そのときは粒子状態を重ね合わせすればよい)。そして、式(16)の両辺を真空状態\(\vert0\rangle\)に作用させると次の式
\begin{align} a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\vert 0\rangle=\vert\boldsymbol{k},\lambda\rangle\tag{19}\end{align}
\begin{align}[\hat P^\mu,\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)]\vert0\rangle&=k^\mu \hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\vert0\rangle\\\rightarrow(\hat P^\mu \hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)-\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat P^\mu)\vert0\rangle&=k^\mu \hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\vert0\rangle\\\rightarrow\hat P^\mu \hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\vert0\rangle&=k^\mu a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\vert0\rangle\\\rightarrow \hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\vert 0\rangle&=\vert\boldsymbol{k},\lambda\rangle\end{align}
3行目への変形では真空状態\(\vert0\rangle\)にエネルギー運動量演算子\(\hat P^\mu\)を作用させると\(0\)になること
\begin{align*}\hat P^\mu\vert0\rangle=0\end{align*}
を用い、4行目への変形ではエネルギー運動量演算子\(\hat P^\mu\)の固有値方程式
\begin{align*}\hat P^\mu \vert\boldsymbol k,\lambda\rangle&=k^\mu\vert\boldsymbol k,\lambda\rangle\end{align*}
と比較した。
が得られ、式(17)の両辺を粒子状態\(\vert\boldsymbol k,\lambda\rangle\)に作用させると次の式
\begin{align}\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\vert\boldsymbol{k},\lambda\rangle= \vert 0\rangle\tag{20}\end{align}
\begin{align}[\hat P^\mu,\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)]\vert\boldsymbol k,\lambda\rangle&=-k^\mu \hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\vert\boldsymbol k,\lambda\rangle\\\rightarrow(\hat P^\mu \hat a(\boldsymbol{k},\lambda)-\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat P^\mu)\vert\boldsymbol k,\lambda\rangle&=-k^\mu \hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\vert\boldsymbol k,\lambda\rangle\\\rightarrow\hat P^\mu\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\vert\boldsymbol{k},\lambda\rangle&=0\\\rightarrow \hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\vert\boldsymbol{k},\lambda\rangle&= \vert 0\rangle\end{align}
3行目への変形ではエネルギー運動量演算子\(\hat P^\mu\)の固有値方程式
\begin{align*}\hat P^\mu \vert\boldsymbol k,\lambda\rangle&=k^\mu\vert\boldsymbol k,\lambda\rangle\end{align*}
を用い、4行目への変形では真空状態\(\vert0\rangle\)にエネルギー運動量演算子\(\hat P^\mu\)を作用させると\(0\)になることを表した式
\begin{align*}\hat P^\mu\vert0\rangle=0\end{align*}
と比較した。
が得られるが、これらの関係式から\(\hat a^\dagger(\boldsymbol k,\lambda)\),\(\hat a(\boldsymbol k,\lambda)\)はまさに｢運動量が\(\boldsymbol k\)で偏極状態が\(\lambda\)の粒子｣を生成消滅させる演算子であり、式(12)より生成消滅演算子\(\hat a^\dagger(\boldsymbol k,\lambda)\),\(\hat a(\boldsymbol k,\lambda)\)がゲージ場
\begin{align}\hat A_\nu(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \sum_{\lambda=0}^3\left\{\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)f_k^{+}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)f_k^{-}\right\}\tag{12}\end{align}
を構成していることがわかる。
次ページから…
次ページでは、生成消滅演算子を用いてハミルトニアン\(\hat H\)と運動量演算子\(\hat{\boldsymbol P}\)が
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{E_k}{2}\left\{\hat a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})\right\}\\\hat{\boldsymbol{P}}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol{k}}{2}\left\{\hat a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})\right\}\end{align}
と表されることを見て、正規順序をとると
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ E_k\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})\\\hat{\boldsymbol{P}}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \boldsymbol{k}\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})\end{align}
となることを確認する。
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