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本ページでは…
本ページでは、マクスウェル方程式やプロカ方程式の知識を使わず、マクスウェル方程式やプロカ方程式を導くラグランジアン密度をゲージ場の次元解析から求める。
前ページまで…
前ページでは、自然単位系においてゲージ場\(A^\nu\)の質量次元は\(1\)であり、4元電流密度\(j^\nu\)の質量次元は\(3\)であることを確認した。
内容
ゲージ場の次元解析
マクスウェル方程式
\begin{align*}\partial_\mu (\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)=j^\nu\tag{1}\end{align*}
から求めたラグランジアン密度\(\mathscr L\)
\begin{align}\mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}- A_\mu j^\mu\tag{2}\end{align}
は、相対論的不変性とゲージ不変性を持っていた(以前のページを参照)。また、プロカ方程式
\begin{align*}\partial_\mu (\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)+m^2A^\nu=0\tag{3}\end{align*}
から求めたラグランジアン密度\(\mathscr L\)
\begin{align}\mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\tag{4}\end{align}
は、相対論的不変性を持っていた(以前のページを参照)。そのため、もし、マクスウェル方程式やプロカ方程式を知らなくても、相対論的不変性やゲージ不変性を持つラグランジアン密度\(\mathscr L\)さえ求められれば、それがマクスウェル方程式やプロカ方程式を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)となる。本ページでは、マクスウェル方程式やプロカ方程式の知識を使わず、マクスウェル方程式やプロカ方程式を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)をゲージ場の次元解析から求めてみる。
相対論的不変性
相対論的不変性を持つ有次元量は｢上付き添え字を持つ物理量｣と｢下付き添え字を持つ物理量｣の積であるため、相対論的不変性を持つラグランジアン密度はこれらから構成されると予想される。ここで、質量次元が1の物理量としてはゲージ場\(A_\nu\),\(A^\nu\)と微分演算子\(\partial_\nu\),\(\partial^\nu\)が存在し、質量次元が3の物理量としては4元電流密度\(j^\nu\)が存在する。例として質量次元が2となる組み合わせは
\begin{align*}A_\mu A^\mu,\partial_\mu A^\mu\end{align*}
であり、質量次元が4となる組み合わせは
\begin{align*}&A_\mu j^\mu,\partial_\mu j^\mu\\A_\mu A^\mu A_\nu A^\nu,&A_\mu A^\mu \partial_\nu A^\nu,A_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu\\A_\mu \partial^\mu (A_\nu A^\nu),&A_\mu \partial_\nu (A^\mu A^\nu),\partial_\mu (A_\nu A^\mu A^\nu)\\A_\mu \partial^\mu \partial_\nu A^\nu,&A_\mu \partial_\nu \partial^\nu A^\mu,\partial_\mu A^\mu \partial_\nu A^\nu\\\partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu,&\partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu,\partial_\mu (A_\nu \partial^\mu A^\nu)\\\partial_\mu (A^\mu \partial_\nu A^\nu),&\partial_\mu (A_\nu \partial^\nu A^\mu),\partial_\mu \partial^\mu (A_\nu A^\nu)\\&\partial_\mu \partial_\nu (A^\mu A^\nu)\end{align*}
である。質量次元が6以上は組み合わせが多くなるため記さない。
くりこみ理論
後のページでわかるが、くりこみ理論によると、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)の中で重要な項は｢場と微分演算子\(\partial_\nu\)と4元電流密度\(j^\nu\)の質量次元が4以下の項｣だけであり、それ以外の項の影響は無視できる。そのため、質量次元が4以下となる組み合わせ
\begin{align*}&A_\mu A^\mu,\partial_\mu A^\mu\\&A_\mu j^\mu,\partial_\mu j^\mu\\A_\mu A^\mu A_\nu A^\nu,&A_\mu A^\mu \partial_\nu A^\nu,A_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu\\A_\mu \partial^\mu (A_\nu A^\nu),&A_\mu \partial_\nu (A^\mu A^\nu),\partial_\mu (A_\nu A^\mu A^\nu)\\A_\mu \partial^\mu \partial_\nu A^\nu,&A_\mu \partial_\nu \partial^\nu A^\mu,\partial_\mu A^\mu \partial_\nu A^\nu\\\partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu,&\partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu,\partial_\mu (A_\nu \partial^\mu A^\nu)\\\partial_\mu (A^\mu \partial_\nu A^\nu),&\partial_\mu (A_\nu \partial^\nu A^\mu),\partial_\mu \partial^\mu (A_\nu A^\nu)\\&\partial_\mu \partial_\nu (A^\mu A^\nu)\end{align*}
まで考えればよい。
作用積分の不定性
作用積分の不定性(以前のページを参照)によって全微分項の作用積分はゼロとなり、運動方程式に関与しない。そのため、全微分項の
\begin{align*}\partial_\mu A^\mu,\partial_\mu j^\mu,&\partial_\mu (A_\nu A^\mu A^\nu)\\\partial_\mu (A_\nu \partial^\mu A^\nu),&\partial_\mu (A^\mu \partial_\nu A^\nu)\\\partial_\mu (A_\nu \partial^\nu A^\mu),&\partial_\mu \partial^\mu (A_\nu A^\nu)\\\partial_\mu \partial_\nu (&A^\mu A^\nu)\end{align*}
は無視することができる。また、\(A_\mu A^\mu \partial_\nu A^\nu\)や\(A_\mu \partial^\mu (A_\nu A^\nu)\),\(A_\mu \partial_\nu (A^\mu A^\nu)\)は全微分項を無視すると符号や係数は異なるが\(A_\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu\)と同じ
\begin{align*}A_\mu A^\mu \partial_\nu A^\nu&= \partial_\nu(A_\mu A^\mu A^\nu)-A^\mu A^\nu\partial_\nu A_\mu-A_\mu A^\nu\partial_\nu A^\mu\\&= \partial_\nu(A_\mu A^\mu A^\nu)-A_\mu A_\nu\partial^\nu A^\mu-A_\mu A_\nu\partial^\nu A^\mu\\&= \partial_\nu(A_\mu A^\mu A^\nu)-2A_\mu A_\nu\partial^\nu A^\mu\\&= \partial_\nu(A_\mu A^\mu A^\nu)-2A_\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu\tag{5}\\A_\mu \partial^\mu (A_\nu A^\nu)&=A_\mu A^\nu\partial^\mu A_\nu+A_\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu\\&=A_\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu+A_\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu\\&=2A_\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu\tag{6}\\A_\mu \partial_\nu (A^\mu A^\nu)&= \partial_\nu (A_\mu A^\mu A^\nu)-A^\mu A^\nu \partial_\nu A_\mu\\&= \partial_\nu (A_\mu A^\mu A^\nu)-A_\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu\tag{7}\end{align*}
であり、\(A_\mu \partial^\mu \partial_\nu A^\nu\)や\(\partial_\mu A^\mu \partial_\nu A^\nu\)は全微分項を無視すると符号は異なるが\(\partial_\mu A^\mu \partial_\nu A^\nu\)と同じ
\begin{align*}A_\mu \partial^\mu \partial_\nu A^\nu&=A_\mu \partial_\nu\partial^\mu A^\nu\\&=\partial_\nu(A_\mu\partial^\mu A^\nu)-\partial_\nu A_\mu\partial^\mu A^\nu\\&=\partial_\nu(A_\mu\partial^\mu A^\nu)-\partial_\mu A_\nu\partial^\nu A^\mu\tag{8}\\\partial_\mu A^\mu \partial_\nu A^\nu&=\partial_\mu( A^\mu \partial_\nu A^\nu)-A^\mu \partial_\mu\partial_\nu A^\nu\\&=\partial_\mu( A^\mu \partial_\nu A^\nu)-A^\mu \partial_\nu \partial_\mu A^\nu\\&=\partial_\mu( A^\mu \partial_\nu A^\nu)-\partial_\nu(A^\mu \partial_\mu A^\nu)+\partial_\nu A^\mu \partial_\mu A^\nu\\&=\partial_\mu( A^\mu \partial_\nu A^\nu)-\partial_\nu(A^\mu \partial_\mu A^\nu)+\partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu\tag{9}\end{align*}
であり、\(A_\mu \partial_\nu \partial^\nu A^\mu\)は全微分項を無視すると符号は異なるが\(\partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu\)と同じ
\begin{align*}A_\mu \partial_\nu \partial^\nu A^\mu&= \partial_\nu( A_\mu\partial^\nu A^\mu)-\partial_\nu A_\mu \partial^\nu A^\mu\\&=\partial_\nu( A_\mu\partial^\nu A^\mu)-\partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu\tag{10}\end{align*}
である。以上より、相対論的不変性を持つ項として重要なものは次の6つ
\begin{align*}A_\mu A^\mu,&A_\mu j^\mu\\A_\mu A^\mu A_\nu A^\nu,&A_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu\\\partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu,&\partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu\end{align*}
だけである。
自己相互作用項
相対論的不変性を持つ6つの項の中で、ゲージ場の3次以上の項\(A_\mu A^\mu A_\nu A^\nu\),\(A_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu\)は自己相互作用項と呼ばれる。自己相互作用とは、同種の場同士が他の場を介さずに直接働く相互作用であり、光子同士は自己相互作用しないが、WボソンやZボソン、グルーオン同士は自己相互作用する。
後のページで述べるヤン-ミルズ理論では非可換ゲージを通して自己相互作用項が出てくるが、本ページでは理論の複雑化を防ぐため自己相互作用項を含まないこととする。よって、自己相互作用項を除くと、相対論的不変性を持つ項として重要なものは次の4つ
\begin{align*}A_\mu A^\mu,&A_\mu j^\mu\\\partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu,&\partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu\end{align*}
だけとなる。
ゲージ不変性
相対論的不変性を持つ項のうち、\(A_\mu A^\mu\)はゲージ不変ではない。一方、流れの保存の式\(\partial_\mu j^\mu=0\)が成り立てば\(A_\mu j^\mu\)はゲージ不変であり(以前のページを参照)、\(\partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu\)と\(\partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu\)はゲージ不変ではないがこれらの差
\begin{align*}\partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu-\partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu&=\frac{1}{2}(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu)(\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)\\&=\frac{1}{2}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\tag{11}\end{align*}
はゲージ不変である。以上より、相対論的不変性とゲージ不変性を持つ項として重要なものは次の2つの項だけ
\begin{align*}A_\mu j^\mu,F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\end{align*}
であり、これらはマクスウェル方程式を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)
\begin{align}\mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}- A_\mu j^\mu\tag{2}\end{align}
に存在する項と一致する。
ラグランジアン密度の決定(マクスウェル方程式)
後は各項のパラメーターと符号を決定すれば、マクスウェル方程式を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)が求められる。
まず、符号に関して、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)からルジャンドル変換によってハミルトニアン\(H\)を導出する際に、電磁場の運動エネルギーが正となるように全ての項は負でなければならない(以前のページを参照)。また、パラメーターに関して、真空状態でのハミルトニアン\(H\)が電磁場の運動エネルギーと等しくなるためにパラメーターは
\begin{align*}-A_\mu j^\mu ,-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\end{align*}
と記しておく(以前のページを参照)。
以上より、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)は
\begin{align}\mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}- A_\mu j^\mu\tag{2}\end{align}
となり、まさにマクスウェル方程式を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)となる。
このラグランジアン密度\(\mathscr L\)を導くためには、マクスウェル方程式の知識は全く使用せず、相対論的不変性とゲージ不変性のみを考慮していたため、マクスウェル方程式は相対論的不変性およびゲージ不変性から導かれる。
ラグランジアン密度の決定(プロカ方程式)
プロカ方程式を導くラグランジアン密度はゲージ不変性を持たないため、相対論的不変性のみを持つ次の4つの項
\begin{align*}A_\mu A^\mu,&A_\mu j^\mu\\\partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu,&\partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu\end{align*}
からラグランジアン密度を作ることができる。一般的にプロカ方程式は真空状態を考えるため\(A_\mu j^\mu\)を無視すると、相対論的不変性を持つ項として重要なものは次の3つの項だけ
\begin{align*}A_\mu &A^\mu\\\partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu,&\partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu\end{align*}
であり、次の関係式
\begin{align*}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=2(\partial_\mu A_\nu &\partial^\mu A^\nu-\partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu)\tag{12}\end{align*}
を考慮すると、3つの項はプロカ方程式を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)
\begin{align}\mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\tag{4}\end{align}
に存在する項と一致する。
後は各項のパラメーターと符号を決定すれば、プロカ方程式を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)が求められる。
まず、符号に関して、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)からルジャンドル変換によってハミルトニアン\(H\)を導出する際に、電磁場の運動エネルギーとポテンシャルエネルギーが正となるように運動項\(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\)は負でポテンシャル項\(\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\)は正なければならない(以前のページを参照)。また、パラメーターに関して、ラグランジアン密度の質量次元は4であるため、\(A_\mu A^\mu\)の項には\(m^2\)をつける必要があり、質量がゼロのときハミルトニアン\(H\)が電磁場の運動エネルギーと等しくなるためにパラメーターは
\begin{align*}\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu,-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\end{align*}
と記しておく(以前のページを参照)。
以上より、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)は
\begin{align}\mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{m^2}{2}A_\mu A^\mu\tag{4}\end{align}
となり、まさにプロカ方程式を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)となる。
このラグランジアン密度\(\mathscr L\)を導くためには、プロカ方程式の知識は全く使用せず、相対論的不変性のみを考慮していたため、プロカ方程式は相対論的不変性から導かれる。
疑問点
これまで、相対論的不変性を持つ次の2つの項\(\partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu\),\(\partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu\)は次のような差
\begin{align*}\partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu-\partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu&=\frac{1}{2}(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu)(\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)\\&=\frac{1}{2}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\tag{11}\end{align*}
をとると電磁場テンソルの積\(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\)としてラグランジアン密度\(\mathscr L\)に含まれることをみた。では、相対論的不変性を持つ次の2つの項\(\partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu\),\(\partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu\)の和
\begin{align*}\partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu+\partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu\end{align*}
はラグランジアン密度\(\mathscr L\)に含まれるだろうか。
この和を変形すると
\begin{align}\partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu+\partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu&=\partial_\mu (A_\nu\partial^\mu A^\nu)- A_\nu\partial_\mu\partial^\mu A^\nu+\partial_\mu (A_\nu\partial^\nu A^\mu)- A_\nu\partial_\mu\partial^\nu A^\mu\\&=A_\nu\partial_\mu\partial^\mu A^\nu+A_\nu\partial_\mu\partial^\nu A^\mu\tag{13}\end{align}
となり、式(13)に\(\mu=0\),\(\nu=0\)を代入すると、\(A^0\)の時間の2階微分が現れる。マクスウェル方程式やプロカ方程式には\(A^0\)の時間の2階微分は含まれていない(以前のページを参照)ため、それらを導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)にはこの和を含めることができない。
一見すると、今回の疑問からは何の収穫も得られないと思うかもしれない。しかし、重大な示唆を含んでおり、このような項をラグランジアン密度\(\mathscr L\)に含めると\(A^0\)の時間の2階微分が現れ、正準共役運動量\(\pi^0\)を定義できるということである。次ページで述べるが、正準共役運動量が定義できないと正準量子化できないため、正準共役運動量\(\pi^0\)が定義できるように、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)にこの和のような｢ゲージ固定項と呼ばれる項｣を追加する必要がでてくる(ゲージ固定項はゲージ不変性を持たなくても問題ない。ゲージ固定項については次々ページで詳しく述べる)。
次ページから…
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