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本ページでは…
本ページでは、生成消滅演算子を用いてハミルトニアン\(\hat H\)と運動量演算子\(\hat{\boldsymbol P}\)が
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\omega_{\boldsymbol k}}{2}\sum_{\lambda=0} ^3\left\{-\eta_{\lambda\lambda}\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)-\eta_{\lambda\lambda}\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\right\}\\\hat{\boldsymbol{P}}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol{k}}{2}\sum_{\lambda=0} ^3\left\{-\eta_{\lambda\lambda}\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)-\eta_{\lambda\lambda}\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\right\}\end{align}
と表されることを見て、正規順序をとると
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \omega_{\boldsymbol k}\left\{-\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},0)\hat a(\boldsymbol{k},0)+\sum_{\lambda=1}^3\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\right\}\\\hat{\boldsymbol{P}}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \boldsymbol{k}\left\{-\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},0)\hat a(\boldsymbol{k},0)+\sum_{\lambda=1}^3\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\right\}\end{align}
となることを確認する。
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前ページまで…
前ページでは、ゲージ場が
\begin{align}\hat A_\nu(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \sum_{\lambda=0}^3\left\{\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)f_k^{+}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)f_k^{-}\right\}\end{align}
と表され、生成消滅演算子\(\hat a^\dagger(\boldsymbol k,\lambda)\),\(\hat a(\boldsymbol k,\lambda)\)から構成されることをみた。
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内容
偏極ベクトルの規格直交化
前ページで導入した4つの偏極ベクトル
\begin{align*}\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\ \ \ (\lambda=0,1,2,3)\end{align*}
はミンコフスキー空間において基底をなす複素ベクトルであり、以後の計算が簡便になるように、偏極ベクトルは規格直交化されたものを選ぶ。すなわち、偏極ベクトルはミンコフスキー内積において次の規格直交条件を満たす。
\begin{align*}\eta_{\mu\nu}\epsilon^\mu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda’)&=\eta_{\lambda\lambda’}\\\rightarrow\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda’)&=\eta_{\lambda\lambda’}\tag{1}\end{align*}
これは、もともとユークリッド内積における規格直交条件(\(i=1,2,3\))
\begin{align*}\delta_{ij}\epsilon^i(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^j{}^*(\boldsymbol k,\lambda’)&=\delta_{\lambda\lambda’}\tag{2}\end{align*}
を、ミンコフスキー内積に拡張したものである。式(1)に現れる\(\eta_{\mu\nu}\)および\(\eta_{\lambda\lambda’}\)は
\begin{align*}\eta_{\mu\nu}=\eta_{\nu\mu}=\left\{\begin{array}{c}+1\ \ \ (\mu=\nu=0)\ \ \ \ \ \ \ \\-1\ \ \ (\mu=\nu=1,2,3)\\0\ \ \ (\mu\neq\nu)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{array}\right.\end{align*}
であり、行列表現だと
\begin{align*}\boldsymbol \eta=\left(\begin{array}{c}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{array}\right)\end{align*}
となる(以前のページを参照)。式(1)の左辺に現れる\(\eta_{\mu\nu}\)は計量テンソルであり、\(\mu\)と\(\nu\)に関してローレンツテンソルである。一方、式(1)の右辺に現れる\(\eta_{\lambda\lambda’}\)は計量テンソルでなく、\(\lambda\)と\(\lambda’\)に関してローレンツテンソルでないが、計量テンソルと同じ性質を持つため同じ記号\(\eta\)を用いている。
生成消滅演算子の交換関係
ゲージ場のハミルトニアン\(\hat H\)と生成消滅演算子の関係を調べる際に必要となる｢生成消滅演算子の交換関係｣をはじめに求める。
ゲージ場\(\hat A_\nu\)
\begin{align}\hat A_\nu(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}’\ \sum_{\lambda’=0}^3\left\{\hat a(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k’,\lambda’)f_{k’}^{+}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k’,\lambda’)f_{k’}^{-}\right\}\tag{3}\end{align}
と関数\(f_k^+\)
\begin{align*}f_k^+&=\frac{e^{- i(\omega_\boldsymbol{k}t-\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x})}}{\sqrt{(2\pi)^32\omega_\boldsymbol{k}}}\\&=(f_k^-)^*\tag{4}\end{align*}
を直交させると
\begin{align}(f_k^{+}|\hat A_\nu)&=\sum_{\lambda’=0}^3\hat a(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda’)\tag{5}\end{align}
\begin{align}(f_k^{+}|\hat A_\nu)&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}’\ \sum_{\lambda’=0}^3\left\{\hat a(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k’,\lambda’)(f_k^{+}|f_{k’}^{+})+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k’,\lambda’)(f_k^{+}|f_{k’}^{-})\right\}\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}’\ \sum_{\lambda’=0}^3\hat a(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k’,\lambda’)\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)\\&=\sum_{\lambda’=0}^3\hat a(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda’)\end{align}
1行目の変形ではゲージ場
\begin{align}\hat A_\nu(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}’\ \sum_{\lambda’=0}^3\left\{\hat a(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k’,\lambda’)f_{k’}^{+}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k’,\lambda’)f_{k’}^{-}\right\}\end{align}
を代入し、2行目への変形では次の直交関係(以前のページを参照)
\begin{align*}(f_k^{+}|f_{k’}^{+})&=\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)\\(f_k^{+}|f_{k’}^{-})&=0\end{align*}
を用いた。
となって、\(\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\)を両辺に掛けると
\begin{align}\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)&=\eta_{\lambda\lambda}\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)(f_k^{+}|\hat A_\nu)\tag{6}\end{align}
\begin{align}(f_k^{+}|\hat A_\nu)&=\sum_{\lambda’=0}^3\hat a(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda’)\\\rightarrow\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)(f_k^{+}|\hat A_\nu)&=\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\sum_{\lambda’=0}^3\hat a(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda’)\\\rightarrow\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)(f_k^{+}|\hat A_\nu)&=\sum_{\lambda’=0}^3\eta_{\lambda\lambda’}\hat a(\boldsymbol{k},\lambda’)\\\rightarrow\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)(f_k^{+}|\hat A_\nu)&=\eta_{\lambda\lambda}\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\\\rightarrow\eta_{\lambda\lambda}\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)(f_k^{+}|\hat A_\nu)&=\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\end{align}
三行目への変形では式(1)を変形した式
\begin{align*}\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda’)&=\eta_{\lambda\lambda’}\tag{1}\end{align*}
を用い、4行目への変形では\(\eta_{\lambda\lambda’}\)が\(\lambda’\neq\lambda\)のときゼロとなる性質を用い、5行目への変形では式全体に\(\eta_{\lambda\lambda}\)を掛けて、次の関係式
\begin{align*}(\eta_{\lambda\lambda})^2=1\end{align*}
を用いた。
となり、消滅演算子を抜き出すことができる。また、ゲージ場
\begin{align}\hat A^\nu(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}’\ \sum_{\lambda’=0}^3\left\{\hat a(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\epsilon^\nu(\boldsymbol k’,\lambda’)f_{k’}^{+}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k’,\lambda’)f_{k’}^{-}\right\}\tag{7}\end{align}
と関数\(f_k^-\)
\begin{align*}f_k^-&=\frac{e^{i(\omega_\boldsymbol{k}t-\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x})}}{\sqrt{(2\pi)^32\omega_\boldsymbol{k}}}\\&=(f_k^+)^*\tag{8}\end{align*}
を直交させると
\begin{align}(f_k^{-}|\hat A^\nu)&=-\sum_{\lambda’=0}^3\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda’)\tag{9}\end{align}
\begin{align}(f_k^{-}|\hat A^\nu)&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}’\ \sum_{\lambda’=0}^3\left\{\hat a(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\epsilon^\nu(\boldsymbol k’,\lambda’)(f_k^{-}|f_{k’}^{+})+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k’,\lambda’)(f_k^{-}|f_{k’}^{-})\right\}\\&=-\int\text{d}^3\boldsymbol{k}’\ \sum_{\lambda’=0}^3\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k’,\lambda’)\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)\\&=-\sum_{\lambda’=0}^3\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda’)\end{align}
1行目の変形ではゲージ場
\begin{align}\hat A^\nu(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}’\ \sum_{\lambda’=0}^3\left\{\hat a(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\epsilon^\nu(\boldsymbol k’,\lambda’)f_{k’}^{+}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k’,\lambda’)f_{k’}^{-}\right\}\end{align}
を代入し、2行目への変形では次の直交関係(以前のページを参照)
\begin{align*}(f_k^{-}|f_{k’}^{-})&=-\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)\\(f_k^{-}|f_{k’}^{+})&=0\end{align*}
を用いた。
となって、\(\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\)を両辺に掛けると
\begin{align}\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)&=-\eta_{\lambda\lambda}\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)(f_k^{-}|\hat A^\nu)\tag{10}\end{align}
\begin{align}(f_k^{-}|\hat A^\nu)&=-\sum_{\lambda’=0}^3\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda’)\\\rightarrow\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)(f_k^{-}|\hat A^\nu)&=-\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\sum_{\lambda’=0}^3\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda’)\\\rightarrow\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)(f_k^{-}|\hat A^\nu)&=-\sum_{\lambda’=0}^3\eta_{\lambda\lambda’}\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda’)\\\rightarrow\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)(f_k^{-}|\hat A^\nu)&=-\eta_{\lambda\lambda}\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\\\rightarrow-\eta_{\lambda\lambda}\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)(f_k^{-}|\hat A^\nu)&=\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\end{align}
三行目への変形では式(1)
\begin{align*}\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda’)&=\eta_{\lambda\lambda’}\tag{1}\end{align*}
を用い、4行目への変形では\(\eta_{\lambda\lambda’}\)が\(\lambda’\neq\lambda\)のときゼロとなる性質を用い、5行目への変形では式全体に\(-\eta_{\lambda\lambda}\)を掛けて、次の関係式
\begin{align*}(\eta_{\lambda\lambda})^2=1\end{align*}
を用いた。
となり、生成演算子を抜き出すことができる。これらの関係を用いると、生成消滅演算子の交換関係は
\begin{align}[\hat a(\boldsymbol{k},\lambda),\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’},\lambda’)]&=-\eta_{\lambda\lambda’}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\tag{11}\end{align}
\begin{align}[\hat a(\boldsymbol{k},\lambda),\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’},\lambda’)]&=[\eta_{\lambda\lambda}\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)(f_k^{+}|\hat A_\nu),-\eta_{\lambda’\lambda’}\epsilon_\mu(\boldsymbol k’,\lambda’)(f_{k’}^{-}|\hat A^\mu)]\\&=\eta_{\lambda\lambda}\eta_{\lambda’\lambda’}\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon_\mu(\boldsymbol k’,\lambda’)[(f_k^{+}|\hat A_\nu),-(f_{k’}^{-}|\hat A^\mu)]\\&=\eta_{\lambda\lambda}\eta_{\lambda’\lambda’}\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon_\mu(\boldsymbol k’,\lambda’)\left[\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \left(f_k^{+}(t,\boldsymbol{x})\right)^\ast i\overleftrightarrow{\partial}_{0}\hat A_\nu(t,\boldsymbol{x}),-\int\text{d}^3\boldsymbol{y}\ \left(f_{k’}^{-}(t,\boldsymbol{y})\right)^\ast i\overleftrightarrow{\partial}_{0}\hat A^\mu(t,\boldsymbol{y})\right]\\&=\eta_{\lambda\lambda}\eta_{\lambda’\lambda’}\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon_\mu(\boldsymbol k’,\lambda’)\left[\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \left\{-\left(f_k^{+}(t,\boldsymbol{x})\right)^\ast i\hat\pi_\nu(t,\boldsymbol{x})-i\left(\partial_{0}f_k^{+}(t,\boldsymbol{x})\right)^\ast \hat A_\nu(t,\boldsymbol{x})\right\},-\int\text{d}^3\boldsymbol{y}\ \left\{-\left(f_{k’}^{-}(t,\boldsymbol{y})\right)^\ast i\hat\pi^\mu(t,\boldsymbol{y})-i\left(\partial_{0}f_{k’}^{-}(t,\boldsymbol{y})\right)^\ast \hat A^\mu(t,\boldsymbol{y})\right\}\right]\\&=\eta_{\lambda\lambda}\eta_{\lambda’\lambda’}\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon_\mu(\boldsymbol k’,\lambda’)\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\text{d}^3\boldsymbol{y}\ \left\{\left(f_k^{+}(t,\boldsymbol{x})\right)^\ast\left(\partial_{0}f_{k’}^{-}(t,\boldsymbol{y})\right)^\ast[\hat\pi_\nu(t,\boldsymbol{x}),\hat A^\mu(t,\boldsymbol{y})]+\left(\partial_{0}f_k^{+}(t,\boldsymbol{x})\right)^\ast\left(f_{k’}^{-}(t,\boldsymbol{y})\right)^\ast[\hat A_\nu(t,\boldsymbol{x}),\hat\pi^\mu(t,\boldsymbol{y})]\right\}\\&=\eta_{\lambda\lambda}\eta_{\lambda’\lambda’}\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon_\mu(\boldsymbol k’,\lambda’)\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \text{d}^3\boldsymbol{y}\ \left\{-\left(f_k^{+}(t,\boldsymbol{x})\right)^\ast\partial_{0}f_{k’}^{+}(t,\boldsymbol{y})\delta_\nu{}^\mu\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})+\left(\partial_{0}f_k^{+}(t,\boldsymbol{x})\right)^\ast f_{k’}^{+}(t,\boldsymbol{y})\delta_\nu{}^\mu\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})\right\}\\&=\eta_{\lambda\lambda}\eta_{\lambda’\lambda’}\eta_{\lambda\lambda’}\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon_\nu(\boldsymbol k’,\lambda’)\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \left\{-\left(f_k^{+}(t,\boldsymbol{x})\right)^\ast\partial_{0}f_{k’}^{+}(t,\boldsymbol{x})+\left(\partial_{0}f_k^{+}(t,\boldsymbol{x})\right)^\ast f_{k’}^{+}(t,\boldsymbol{x})\right\}\\&=-\eta_{\lambda\lambda’}(f_k^{+}|f_{k’}^{+})\\&=-\eta_{\lambda\lambda’}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\end{align}
3行目および4行目への変形では直交関係の定義
\begin{align*}(f\vert g)&=\int d^3\boldsymbol x\ f^*i\overleftrightarrow{\partial}_0g\\&=\int d^3\boldsymbol x\ f^*i(\partial_0 g)-i(\partial_0f^*)g\end{align*}
と正準共役運動量の定義
\begin{align*}\hat \pi_\nu&=-\partial_0\hat A_\nu\\\hat \pi^\mu&=-\partial_0\hat A^\mu\end{align*}
を用い、5行目への変形では正準交換関係
\begin{align}\left[\hat A_\nu(t,\boldsymbol x),\hat A^\mu(t,\boldsymbol y)\right]&=\left[\hat\pi_\nu(t,\boldsymbol x),\hat\pi^\mu(t,\boldsymbol y)\right]=0\end{align}
を用い、6行目への変形では正準交換関係
\begin{align}\left[\hat A_\nu(t,\boldsymbol x),\hat\pi^\mu(t,\boldsymbol y)\right]&=i\delta_\nu{}^\mu\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\end{align}
と関数\(f_k^{(\pm)}(x)\)の関係式(以前のページを参照)
\begin{align}f_k^{\pm}(t,\boldsymbol x)&=\left(f_k^{\mp}(t,\boldsymbol x)\right)^\ast\end{align}
を用い、8行目への変形では次の関係式
\begin{align*}\eta_{\lambda\lambda}\eta_{\lambda’\lambda’}\eta_{\lambda\lambda’}=\eta_{\lambda\lambda’}\end{align*}
と直交関係の定義を再度用い、9行目への変形では関数\(f^+_k\)と\(f^+_{k’}\)の直交関係(以前のページを参照)
\begin{align*}(f_k^{+}|f_{k’}^{+})=\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\end{align*}
を用いた。
\begin{align}[\hat a(\boldsymbol{k},\lambda),\hat a(\boldsymbol{k’},\lambda’)]&=[\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda),\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’},\lambda’)]=0\tag{12}\end{align}
\begin{align*}[\hat a(\boldsymbol{k},\lambda),\hat a(\boldsymbol{k’},\lambda’)]&=[\eta_{\lambda\lambda}\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)(f_k^{+}|\hat A_\nu),\eta_{\lambda’\lambda’}\epsilon^\mu{}^*(\boldsymbol k’,\lambda’)(f_{k’}^{+}|\hat A_\mu)]\\&=\eta_{\lambda\lambda}\eta_{\lambda’\lambda’}\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\mu{}^*(\boldsymbol k’,\lambda’)[(f_k^{+}|\hat A_\nu),(f_{k’}^{+}|\hat A_\mu)]\\ [\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda),\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’},\lambda’)]&=[-\eta_{\lambda\lambda}\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)(f_k^{-}|\hat A^\nu),-\eta_{\lambda’\lambda’}\epsilon_\mu(\boldsymbol k’,\lambda’)(f_{k’}^{-}|\hat A^\mu)]\\&=\eta_{\lambda\lambda}\eta_{\lambda’\lambda’}\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon_\mu(\boldsymbol k’,\lambda’)[(f_k^{-}|\hat A^\nu),(f_{k’}^{-}|\hat A^\mu)]\end{align*}
\begin{align}[(f_k^{\pm}|\hat A_\nu),(f_{k’}^{\pm}|\hat A^\mu)]&=\left[\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \left(f_k^{\pm}(t,\boldsymbol{x})\right)^\ast i\overleftrightarrow{\partial}_{0}\hat A_\nu(t,\boldsymbol{x}),\int\text{d}^3\boldsymbol{y}\ \left(f_{k’}^{\pm}(t,\boldsymbol{y})\right)^\ast i\overleftrightarrow{\partial}_{0}\hat A^\mu(t,\boldsymbol{y})\right]\\&=\left[\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \left\{-\left(f_k^{\pm}(t,\boldsymbol{x})\right)^\ast i\hat\pi_\nu(t,\boldsymbol{x})-i\left(\partial_{0}f_k^{\pm}(t,\boldsymbol{x})\right)^\ast \hat A_\nu(t,\boldsymbol{x})\right\},\int\text{d}^3\boldsymbol{y}\ \left\{-\left(f_{k’}^{\pm}(t,\boldsymbol{y})\right)^\ast i\hat\pi^\mu(t,\boldsymbol{y})-i\left(\partial_{0}f_{k’}^{\pm}(t,\boldsymbol{y})\right)^\ast \hat A^\mu(t,\boldsymbol{y})\right\}\right]\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\text{d}^3\boldsymbol{y}\ \left\{-\left(f_k^{\pm}(t,\boldsymbol{x})\right)^\ast\left(\partial_{0}f_{k’}^{\pm}(t,\boldsymbol{y})\right)^\ast[\hat\pi_\nu(t,\boldsymbol{x}),\hat A^\mu(t,\boldsymbol{y})]-\left(\partial_{0}f_k^{\pm}(t,\boldsymbol{x})\right)^\ast\left(f_{k’}^{\pm}(t,\boldsymbol{y})\right)^\ast[\hat A_\nu(t,\boldsymbol{x}),\hat\pi^\mu(t,\boldsymbol{y})]\right\}\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\text{d}^3\boldsymbol{y}\left\{\left(f_k^{\pm}(t,\boldsymbol{x})\right)\left(\partial_{0}f_{k’}^{\mp}(t,\boldsymbol{y})\right) \delta_\nu{}^\mu\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})-\left(\partial_{0}f_k^{\pm}(t,\boldsymbol{x})\right)^* f_{k’}^{\mp}(t,\boldsymbol{y})\delta_\nu{}^\mu\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})\right\}\\&=\delta_\nu{}^\mu\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \left\{\left(f_k^{\pm}(t,\boldsymbol{x})\right)^*\left(\partial_{0}f_{k’}^{\mp}(t,\boldsymbol{x})\right)-\left(\partial_{0}f_k^{\pm}(t,\boldsymbol{x})\right)^*f_{k’}^{\mp}(t,\boldsymbol{x})\right\}\\&=\delta_\nu{}^\mu(f_k^{\pm}|f_{k’}^{\mp})\\&=0\end{align}
1行目および2行目への変形では直交関係の定義
\begin{align*}(f\vert g)&=\int d^3\boldsymbol x\ f^*i\overleftrightarrow{\partial}_0g\\&=\int d^3\boldsymbol x\ f^*i(\partial_0 g)-i(\partial_0f^*)g\end{align*}
と正準共役運動量の定義
\begin{align*}\hat \pi_\nu&=-\partial_0\hat A_\nu\\\hat \pi^\mu&=-\partial_0\hat A^\mu\end{align*}
を用い、3行目への変形では正準交換関係
\begin{align}\left[\hat A_\nu(t,\boldsymbol x),\hat A^\mu(t,\boldsymbol y)\right]&=\left[\hat\pi_\nu(t,\boldsymbol x),\hat\pi^\mu(t,\boldsymbol y)\right]=0\end{align}
を用い、4行目への変形では正準交換関係
\begin{align}\left[\hat A_\nu(t,\boldsymbol x),\hat\pi^\mu(t,\boldsymbol y)\right]&=i\delta_\nu{}^\mu\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\end{align}
と関数\(f_k^{(\pm)}(x)\)の関係式(以前のページを参照)
\begin{align}f_k^{\pm}(t,\boldsymbol x)&=\left(f_k^{\mp}(t,\boldsymbol x)\right)^\ast\end{align}
を用い、6行目への変形では直交関係の定義を再度用い、7行目への変形では関数\(f^\pm_k\)と\(f^\mp_{k’}\)の直交関係(以前のページを参照)
\begin{align*}(f_k^{\pm}|f_{k’}^{\mp})=0\end{align*}
を用いた。
と表される。
ゲージ場のハミルトニアンと生成消滅演算子
ハミルトニアン\(\hat H\)
\begin{align*}\hat H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(-\frac{1}{2}\partial_0\hat A_\nu\partial^0\hat A^\nu+\frac{1}{2}\partial_i \hat A_\nu\partial^i \hat A^\nu\right)\tag{13}\end{align*}
を生成消滅演算子で表してみよう。ハミルトニアンの式(13)にゲージ場の式(3)と式(7)を代入すると第1項は
\begin{align}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \left(-\frac{1}{2}\partial_0\hat A_\nu\partial^0\hat A^\nu\right)&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\omega_{\boldsymbol k}}{4}\sum_{\lambda,\lambda’=0} ^3(-\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda’)\\&\ \ \ -\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(\boldsymbol k,\lambda’)\\&\ \ \ +\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{-k},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(-\boldsymbol k,\lambda’)e^{-2i\omega_{\boldsymbol k}t}\\&\ \ \ +\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{-k},\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(-\boldsymbol k,\lambda’)e^{2i\omega_{\boldsymbol k}t})\tag{14}\end{align}
\begin{align}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\left(-\frac{1}{2}\partial_0\hat A_\nu\partial^0\hat A^\nu\right)&=-\frac{1}{2}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}}{\sqrt{(2\pi)^32\omega_\boldsymbol{k}}}\sum_{\lambda=0}^3\left\{\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)(-i\omega_{\boldsymbol k})e^{-ik\cdot x}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)(i\omega_{\boldsymbol k})e^{ ik\cdot x}\right\}\\&\ \ \ \ ×\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{\sqrt{(2\pi)^32\omega_\boldsymbol{k’}}}\sum_{\lambda’=0}^3\left\{\hat a(\boldsymbol{k’},\lambda’)\epsilon^\nu(\boldsymbol k’,\lambda’)(-i\omega_{\boldsymbol k’})e^{-ik’\cdot x}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’},\lambda’)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k’,\lambda’)(i\omega_{\boldsymbol k})e^{ ik’\cdot x}\right\}\\&=\frac{1}{2}\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{(2\pi)^3}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{\sqrt{\omega_{\boldsymbol k}\omega_{\boldsymbol k’}}}{2} \sum_{\lambda,\lambda’=0}^3(-\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{-i(\omega_{\boldsymbol k}-\omega_{\boldsymbol k’})t+i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ -\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{i(\omega_k-\omega_{k’})t-i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ +\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k’},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{-i(\omega_k+\omega_{k’})t+i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ +\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’},\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{i(\omega_k+\omega_{k’})t-i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}})\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{\sqrt{\omega_{\boldsymbol k}\omega_{\boldsymbol k’}}}{4} \sum_{\lambda,\lambda’=0}^3(-\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{-i(\omega_{\boldsymbol k}-\omega_{\boldsymbol k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol k’)\\&\ \ \ \ -\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{i(\omega_k-\omega_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol k’)\\&\ \ \ \ +\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k’},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{-i(\omega_k+\omega_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol k’)\\&\ \ \ \ +\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’},\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{i(\omega_k+\omega_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol k’))\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\omega_{\boldsymbol k}}{4}\sum_{\lambda,\lambda’=0} ^3(-\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda’)\\&\ \ \ -\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(\boldsymbol k,\lambda’)\\&\ \ \ +\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{-k},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(-\boldsymbol k,\lambda’)e^{-2i\omega_{\boldsymbol k}t}\\&\ \ \ +\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{-k},\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(-\boldsymbol k,\lambda’)e^{2i\omega_{\boldsymbol k}t})\end{align}
3つ目の等号ではデルタ関数の積分表示
\begin{align}\int\ \text{d}^3\boldsymbol{x}\ e^{\pm i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}=(2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol{k})\end{align}
を用い、4つ目の等号では次の関係式
\begin{align}\omega_{\boldsymbol k}=\omega_{-\boldsymbol{k}}=\sqrt{\boldsymbol k^2}\end{align}
を用いた。
となり、第2項は
\begin{align}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\left(\frac{1}{2}\partial_i\hat A_\nu\partial^i\hat A^\nu\right)&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\omega_{\boldsymbol k}}{4}\sum_{\lambda,\lambda’=0} ^3(-\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda’)\\&\ \ \ -\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(\boldsymbol k,\lambda’)\\&\ \ \ -\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{-k},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(-\boldsymbol k,\lambda’)e^{-2i\omega_{\boldsymbol k}t}\\&\ \ \ -\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{-k},\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(-\boldsymbol k,\lambda’)e^{2i\omega_{\boldsymbol k}t})\tag{15}\end{align}
\begin{align}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\left(\frac{1}{2}\partial_i\hat A_\nu\partial^i\hat A^\nu\right)&=\frac{1}{2}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}}{\sqrt{(2\pi)^32\omega_\boldsymbol{k}}}\sum_{\lambda=0}^3\left\{\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)(i\boldsymbol k)e^{-ik\cdot x}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)(-i\boldsymbol k)e^{ ik\cdot x}\right\}\\&\ \ \ \ ×\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{\sqrt{(2\pi)^32\omega_\boldsymbol{k’}}}\sum_{\lambda’=0}^3\left\{\hat a(\boldsymbol{k’},\lambda’)\epsilon^\nu(\boldsymbol k’,\lambda’)(-i\boldsymbol k’)e^{-ik’\cdot x}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’},\lambda’)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k’,\lambda’)(i\boldsymbol k)e^{ ik’\cdot x}\right\}\\&=\frac{1}{2}\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{(2\pi)^3}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{\boldsymbol k\cdot\boldsymbol k’}{2\sqrt{\omega_{\boldsymbol k}\omega_{\boldsymbol k’}}} \sum_{\lambda,\lambda’=0}^3(-\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{-i(\omega_{\boldsymbol k}-\omega_{\boldsymbol k’})t+i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ -\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{i(\omega_k-\omega_{k’})t-i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ +\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k’},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{-i(\omega_k+\omega_{k’})t+i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ +\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’},\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{i(\omega_k+\omega_{k’})t-i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}})\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{\boldsymbol k\cdot\boldsymbol k’}{4\sqrt{\omega_{\boldsymbol k}\omega_{\boldsymbol k’}}} \sum_{\lambda,\lambda’=0}^3(-\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{-i(\omega_{\boldsymbol k}-\omega_{\boldsymbol k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol k’)\\&\ \ \ \ -\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{i(\omega_k-\omega_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol k’)\\&\ \ \ \ +\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k’},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{-i(\omega_k+\omega_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol k’)\\&\ \ \ \ +\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’},\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{i(\omega_k+\omega_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol k’))\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\omega_{\boldsymbol k}}{4}\sum_{\lambda,\lambda’=0} ^3(-\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda’)\\&\ \ \ -\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(\boldsymbol k,\lambda’)\\&\ \ \ -\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{-k},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(-\boldsymbol k,\lambda’)e^{-2i\omega_{\boldsymbol k}t}\\&\ \ \ -\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{-k},\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(-\boldsymbol k,\lambda’)e^{2i\omega_{\boldsymbol k}t})\end{align}
3つ目の等号ではデルタ関数の積分表示
\begin{align}\int\ \text{d}^3\boldsymbol{x}\ e^{\pm i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}=(2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol{k})\end{align}
を用い、4つ目の等号では次の関係式
\begin{align}\omega_{\boldsymbol{k}}=\omega_{-\boldsymbol{k}}=\sqrt{\boldsymbol k^2}\end{align}
を用いた。
となるため、2つの項を足し合わせると
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\omega_{\boldsymbol k}}{2}\sum_{\lambda,\lambda’=0} ^3\left\{-\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda’)-\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(\boldsymbol k,\lambda’)\right\}\tag{16}\end{align}
と生成消滅演算子で表したハミルトニアン\(\hat H\)を求めることができる。また、偏極ベクトルが規格直交化されているときに成り立つ関係式(1)を用いると
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\omega_{\boldsymbol k}}{2}\sum_{\lambda=0} ^3\left\{-\eta_{\lambda\lambda}\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)-\eta_{\lambda\lambda}\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\right\}\tag{17}\end{align}
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\omega_{\boldsymbol k}}{2}\sum_{\lambda,\lambda’=0} ^3\left\{-\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda’)-\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(\boldsymbol k,\lambda’)\right\}\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\omega_{\boldsymbol k}}{2}\sum_{\lambda,\lambda’=0} ^3\left\{-\eta_{\lambda\lambda’}\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda’)-\eta_{\lambda\lambda’}\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda’)\right\}\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\omega_{\boldsymbol k}}{2}\sum_{\lambda=0} ^3\left\{-\eta_{\lambda\lambda}\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)-\eta_{\lambda\lambda}\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\right\}\end{align}
3行目への変形では\(\lambda\neq\lambda’\)では\(\eta_{\lambda\lambda’}\)がゼロになる性質を用いた。
とシンプルに表すことができる。ここで、ハミルトニアンから時間\(t\)が消えたのは、ハミルトニアン\(H\)が保存量であることを表している。
ゲージ場の運動量と生成消滅演算子
次に、運動量演算子\(\hat{\boldsymbol P}\)を生成消滅演算子で表してみよう。以前のページで求めた運動量演算子の式
\begin{align}\hat{\boldsymbol{P}}&=-\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{1}{2}\left\{\hat\pi_\nu\boldsymbol{\nabla}\hat A^\nu+(\boldsymbol{\nabla}\hat A_\nu)\hat\pi^\nu\right\}=\tag{18}\end{align}
にゲージ場の式(3)と式(7)を代入すると第1項は
\begin{align}-\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{1}{2}\hat\pi_\nu\boldsymbol{\nabla}\hat A^\nu&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol k}{4}\sum_{\lambda,\lambda’=0} ^3(-\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda’)\\&\ \ \ -\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(\boldsymbol k,\lambda’)\\&\ \ \ -\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{-k},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(-\boldsymbol k,\lambda’)e^{-2i\omega_{\boldsymbol k}t}\\&\ \ \ -\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{-k},\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(-\boldsymbol k,\lambda’)e^{2i\omega_{\boldsymbol k}t})\tag{19}\end{align}
\begin{align}-\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{1}{2}\hat\pi_\nu\boldsymbol{\nabla}\hat A^\nu&=\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{1}{2}(\partial_0\hat A_\nu)\boldsymbol{\nabla}\hat A^\nu\\&=\frac{1}{2}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}}{\sqrt{(2\pi)^32\omega_\boldsymbol{k}}}\sum_{\lambda=0}^3\left\{\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)(-i\omega_{\boldsymbol k})e^{-ik\cdot x}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)(i\omega_{\boldsymbol k})e^{ ik\cdot x}\right\}\\&\ \ \ \ ×\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{\sqrt{(2\pi)^32\omega_\boldsymbol{k’}}}\sum_{\lambda’=0}^3\left\{\hat a(\boldsymbol{k’},\lambda’)\epsilon^\nu(\boldsymbol k’,\lambda’)(i\boldsymbol k’)e^{-ik’\cdot x}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’},\lambda’)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k’,\lambda’)(-i\boldsymbol k’)e^{ ik’\cdot x}\right\}\\&=\frac{1}{2}\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{(2\pi)^3}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{\omega_{\boldsymbol k}\boldsymbol k’}{2\sqrt{\omega_{\boldsymbol k}\omega_{\boldsymbol k’}}} \sum_{\lambda,\lambda’=0}^3(-\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{-i(\omega_{\boldsymbol k}-\omega_{\boldsymbol k’})t+i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ -\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{i(\omega_k-\omega_{k’})t-i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ +\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k’},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{-i(\omega_k+\omega_{k’})t+i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ +\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’},\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{i(\omega_k+\omega_{k’})t-i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}})\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{\omega_{\boldsymbol k}\boldsymbol k’}{4\sqrt{\omega_{\boldsymbol k}\omega_{\boldsymbol k’}}} \sum_{\lambda,\lambda’=0}^3(-\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{-i(\omega_{\boldsymbol k}-\omega_{\boldsymbol k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol k’)\\&\ \ \ \ -\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{i(\omega_k-\omega_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol k’)\\&\ \ \ \ +\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k’},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{-i(\omega_k+\omega_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol k’)\\&\ \ \ \ +\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’},\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{i(\omega_k+\omega_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol k’))\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol k}{4}\sum_{\lambda,\lambda’=0} ^3(-\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda’)\\&\ \ \ -\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(\boldsymbol k,\lambda’)\\&\ \ \ -\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{-k},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(-\boldsymbol k,\lambda’)e^{-2i\omega_{\boldsymbol k}t}\\&\ \ \ -\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{-k},\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(-\boldsymbol k,\lambda’)e^{2i\omega_{\boldsymbol k}t})\end{align}
1つ目の等号では正準共役運動量の定義
\begin{align*}\hat \pi^\nu&=-\partial_0\hat A^\nu\end{align*}
を用い、3つ目の等号ではデルタ関数の積分表示
\begin{align}\int\ \text{d}^3\boldsymbol{x}\ e^{\pm i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}=(2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol{k})\end{align}
を用い、4つ目の等号では次の関係式
\begin{align}\omega_{\boldsymbol{k}}=\omega_{-\boldsymbol{k}}=\sqrt{\boldsymbol k^2}\end{align}
を用いた(最後の行の各項の符号について、前行の式全体に\(\boldsymbol{k}’\)が掛けられていることに注意する)。
となり、第2項は
\begin{align}-\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\frac{1}{2}(\boldsymbol{\nabla}\hat A_\nu)\hat\pi^\nu&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol k}{4}\sum_{\lambda,\lambda’=0} ^3(-\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda’)\\&\ \ \ -\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(\boldsymbol k,\lambda’)\\&\ \ \ +\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{-k},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(-\boldsymbol k,\lambda’)e^{-2i\omega_{\boldsymbol k}t}\\&\ \ \ +\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{-k},\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(-\boldsymbol k,\lambda’)e^{2i\omega_{\boldsymbol k}t})\tag{20}\end{align}
\begin{align}-\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{1}{2}(\boldsymbol{\nabla}\hat A_\nu)\hat\pi^\nu&=\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{1}{2}(\boldsymbol{\nabla}\hat A_\nu)\partial_0\hat A^\nu\\&=\frac{1}{2}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}}{\sqrt{(2\pi)^32\omega_\boldsymbol{k}}}\sum_{\lambda=0}^3\left\{\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)(i\boldsymbol k)e^{-ik\cdot x}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)(-i\boldsymbol k)e^{ ik\cdot x}\right\}\\&\ \ \ \ ×\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{\sqrt{(2\pi)^32\omega_\boldsymbol{k’}}}\sum_{\lambda’=0}^3\left\{\hat a(\boldsymbol{k’},\lambda’)\epsilon^\nu(\boldsymbol k’,\lambda’)(-i \omega_{\boldsymbol k’})e^{-ik’\cdot x}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’},\lambda’)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k’,\lambda’)(i\omega_{\boldsymbol k’})e^{ ik’\cdot x}\right\}\\&=\frac{1}{2}\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{(2\pi)^3}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{\boldsymbol k\omega_{\boldsymbol k’}}{2\sqrt{\omega_{\boldsymbol k}\omega_{\boldsymbol k’}}} \sum_{\lambda,\lambda’=0}^3(-\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{-i(\omega_{\boldsymbol k}-\omega_{\boldsymbol k’})t+i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ -\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{i(\omega_k-\omega_{k’})t-i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ +\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k’},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{-i(\omega_k+\omega_{k’})t+i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ +\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’},\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{i(\omega_k+\omega_{k’})t-i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}})\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{\boldsymbol k\omega_{\boldsymbol k’}}{4\sqrt{\omega_{\boldsymbol k}\omega_{\boldsymbol k’}}} \sum_{\lambda,\lambda’=0}^3(-\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{-i(\omega_{\boldsymbol k}-\omega_{\boldsymbol k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol k’)\\&\ \ \ \ -\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{i(\omega_k-\omega_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol k’)\\&\ \ \ \ +\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k’},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{-i(\omega_k+\omega_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol k’)\\&\ \ \ \ +\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’},\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k’,\lambda’)e^{i(\omega_k+\omega_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol k’))\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol k}{4}\sum_{\lambda,\lambda’=0} ^3(-\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda’)\\&\ \ \ -\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(\boldsymbol k,\lambda’)\\&\ \ \ +\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{-k},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(-\boldsymbol k,\lambda’)e^{-2i\omega_{\boldsymbol k}t}\\&\ \ \ +\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{-k},\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(-\boldsymbol k,\lambda’)e^{2i\omega_{\boldsymbol k}t})\end{align}
1つ目の等号では正準共役運動量の定義
\begin{align*}\hat \pi_\nu&=-\partial_0\hat A_\nu\end{align*}
を用い、3つ目の等号ではデルタ関数の積分表示
\begin{align}\int\ \text{d}^3\boldsymbol{x}\ e^{\pm i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}=(2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol{k})\end{align}
を用い、4つ目の等号では次の関係式
\begin{align}E_{{k}}=E_{-{k}}=\sqrt{\boldsymbol k^2+m^2}\end{align}
を用いた。
となるため、2つの項を足し合わせると
\begin{align}\hat{\boldsymbol{P}}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol k}{2}\sum_{\lambda,\lambda’=0} ^3\left\{-\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda’)-\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(\boldsymbol k,\lambda’)\right\}\tag{21}\end{align}
と生成消滅演算子で表した運動量演算子を求めることができる。また、偏極ベクトルが規格直交化されているときに成り立つ関係式(1)を用いると
\begin{align}\hat{\boldsymbol{P}}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol k}{2}\sum_{\lambda=0} ^3\left\{-\eta_{\lambda\lambda}\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)-\eta_{\lambda\lambda}\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\right\}\tag{22}\end{align}
\begin{align}\hat {\boldsymbol P}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol k}{2}\sum_{\lambda,\lambda’=0} ^3\left\{-\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda’)-\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda’)\epsilon_\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu(\boldsymbol k,\lambda’)\right\}\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol k}{2}\sum_{\lambda,\lambda’=0} ^3\left\{-\eta_{\lambda\lambda’}\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda’)-\eta_{\lambda\lambda’}\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda’)\right\}\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol k}{2}\sum_{\lambda=0} ^3\left\{-\eta_{\lambda\lambda}\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)-\eta_{\lambda\lambda}\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\right\}\end{align}
3行目への変形では\(\lambda\neq\lambda’\)では\(\eta_{\lambda\lambda’}\)がゼロになる性質を用いた。
とシンプルに表すことができる。ハミルトニアンと同様、運動量演算子\(\hat{\boldsymbol P}\)から時間\(t\)が消えたのは、運動量\(\boldsymbol P\)が保存量であることを表している。
正規順序
ハミルトニアンと運動量演算子
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\omega_{\boldsymbol k}}{2}\sum_{\lambda=0} ^3\left\{-\eta_{\lambda\lambda}\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)-\eta_{\lambda\lambda}\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\right\}\tag{17}\\\hat{\boldsymbol{P}}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol{k}}{2}\sum_{\lambda=0} ^3\left\{-\eta_{\lambda\lambda}\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)-\eta_{\lambda\lambda}\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\right\}\tag{22}\end{align}
において、生成消滅演算子の交換関係
\begin{align*}[\hat a(\boldsymbol{k},\lambda),\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)]=\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)-\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\tag{23}\end{align*}
を用いて表すと
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\omega_{\boldsymbol k}}{2}\sum_{\lambda=0}^3\left\{-2\eta_{\lambda\lambda}\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)-\eta_{\lambda\lambda}[\hat a(\boldsymbol{k},\lambda),\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)]\right\}\tag{24}\\\hat{\boldsymbol{P}}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol{k}}{2}\sum_{\lambda=0}^3\left\{-2\eta_{\lambda\lambda}\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)-\eta_{\lambda\lambda}[\hat a(\boldsymbol{k},\lambda),\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)]\right\}\tag{25}\end{align}
となり、次の交換関係
\begin{align}[a(\boldsymbol{k},\lambda),a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)]&=-\eta_{\lambda\lambda}\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{x}}{(2\pi)^3}\tag{26}\end{align}
\begin{align}[a(\boldsymbol{k},\lambda),a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)]&=[a(\boldsymbol{k},\lambda),a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)]_{k’\rightarrow k}\\&=-\eta_{\lambda\lambda}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)|_{k’\rightarrow k}\\&=-\eta_{\lambda\lambda}\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{x}}{(2\pi)^3}e^{i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot\boldsymbol{x}}|_{k’\rightarrow k}\\&=-\eta_{\lambda\lambda}\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{x}}{(2\pi)^3}\end{align}
2行目への変形では交換関係
\begin{align*}[a(\boldsymbol{k},\lambda),a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda’)]=-\eta_{\lambda\lambda’}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)\end{align*}
を用い、3行目への変形ではデルタ関数の定義式
\begin{align*}\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{x}}{(2\pi)^3}e^{i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot\boldsymbol{x}}=\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)\end{align*}
を用いた。
を用いると
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \omega_{\boldsymbol k}\sum_{\lambda=0}^3\left\{-\eta_{\lambda\lambda}\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\right\}+\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{x}\text{d}^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^3}\frac{\omega_{\boldsymbol k}}{2}\sum_{\lambda=0}^3(\eta_{\lambda\lambda})^2\tag{27}\\\hat{\boldsymbol{P}}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \boldsymbol{k}\sum_{\lambda=0}^3\left\{-\eta_{\lambda\lambda}\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\right\}+\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{x}\text{d}^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^3}\frac{\boldsymbol k}{2}\sum_{\lambda=0}^3(\eta_{\lambda\lambda})^2\tag{28}\end{align}
と表される。式(27)において、空間体積は無限であるため第2項は発散量であるが定数であるため、この発散量を真空エネルギー\(E_0\)とおき、ハミルトニアン\(\hat H\)からこの真空エネルギー\(E_0\)を引いた量を新たにハミルトニアン\(\hat H\)として定義すれば
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \omega_{\boldsymbol k}\sum_{\lambda=0}^3\left\{-\eta_{\lambda\lambda}\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\right\}\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \omega_{\boldsymbol k}\left\{-\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},0)\hat a(\boldsymbol{k},0)+\sum_{\lambda=1}^3\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\right\}\tag{29}\end{align}
となる。また、式(28)において、第2項の被積分関数\(\boldsymbol{k}\)は奇関数であるため積分すると\(0\)となり運動量演算子は
\begin{align}\hat{\boldsymbol{P}}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \boldsymbol{k}\sum_{\lambda=0}^3\left\{-\eta_{\lambda\lambda}\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\right\}\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \boldsymbol{k}\left\{-\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},0)\hat a(\boldsymbol{k},0)+\sum_{\lambda=1}^3\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\right\}\tag{30}\end{align}
となる。
式(17),(22)から式(29),(30)への変形のように、生成演算子\(a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\)を消滅演算子\(a(\boldsymbol{k},\lambda)\)の左に持ってくる作業を正規順序と呼ぶ。運動量における正規順序は単なる式変形に過ぎないが、ハミルトニアンにおける正規順序は発散量である真空エネルギー\(E_0\)を無視する操作に等しい。
式(29)と式(30)をまとめると
\begin{align}\hat{{P}}^\mu&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ {k}^\mu\left\{-\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},0)\hat a(\boldsymbol{k},0)+\sum_{\lambda=1}^3\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\right\}\tag{31}\end{align}
となる。
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