HOME ＞ 場の量子論 ＞ ゲージ場の量子論 ＞ ゲージ場のラグランジアン密度(マクスウェル方程式)
【前ページ】 【次ページ】
本ページでは…
本ページでは、マクスウェル方程式
\begin{align*}\partial_\mu F_{\mu\nu}=\mu_0j^\nu\end{align*}
を導出するラグランジアン密度\(\mathscr{L}\)
\begin{align}\mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\mu_0j^\mu A_\mu\end{align}
を求め、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)が相対論的不変性とゲージ不変性を持つことを確かめる。
内容
ゲージ場のラグランジアン密度
ゲージ場\(A^\nu\)で表したマクスウェル方程式
\begin{align*}\partial_\mu F_{\mu\nu}=\mu_0j^\nu\tag{1}\end{align*}
を導出するラグランジアン密度\(\mathscr{L}\)は
\begin{align}\mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\mu_0j^\mu A_\mu\tag{2}\end{align}
である。ここで、電磁場テンソルは
\begin{align*}F^{\mu\nu}&=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu\tag{3}\\F_{\mu\nu}&=\eta_{\mu\rho}\eta_{\nu\gamma}F^{\rho\gamma}\\&=\eta_{\mu\rho}\eta_{\nu\gamma}(\partial^\rho A^\gamma-\partial^\gamma A^\rho)\\&=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu\tag{4}\end{align*}
である(以前のページを参照)。実際にオイラー-ラグランジュ方程式(以前のページを参照)
\begin{align}\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu A_\nu}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial A_\nu}=0\tag{5}\end{align}
に代入してみると
\begin{align}\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu A_\nu}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial A_\nu}&=-\partial_\mu F_{\mu\nu}+\mu_0j^\nu\\&=0\tag{6}\end{align}
\begin{align}\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu A_\nu}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial A_\nu}&=\partial_\mu\left\{\frac{\partial}{\partial \partial_\mu A_\nu}\left(-\frac{1}{4}F_{\rho\gamma}F^{\rho\gamma}\right)\right\}-\frac{\partial}{\partial A_\nu}\left(-\mu_0j^\mu A_\mu\right)\\&=\partial_\mu\left\{\frac{\partial}{\partial \partial_\mu A_\nu}\left(-\frac{1}{4}\eta^{\rho\kappa}\eta^{\gamma\tau}F_{\rho\gamma}F_{\kappa\tau}\right)\right\}+\mu_0j^\mu \delta_\mu{}^\nu\\&=-\partial_\mu\frac{1}{4}\eta^{\rho\kappa}\eta^{\gamma\tau}\left\{\frac{\partial\left(F_{\rho\gamma}\right)}{\partial \partial_\mu A_\nu}F_{\kappa\tau}+F_{\rho\gamma}\frac{\partial\left(F_{\kappa\tau}\right)}{\partial \partial_\mu A_\nu}\right\}+\mu_0j^\nu\\&=-\partial_\mu\frac{1}{4}\eta^{\rho\kappa}\eta^{\gamma\tau}\left\{(\delta_\rho{}^\mu\delta_\gamma{}^\nu-\delta_\gamma{}^\mu\delta_\rho{}^\nu)F_{\kappa\tau}+F_{\rho\gamma}(\delta_\kappa{}^\mu\delta_\tau{}^\nu-\delta_\tau{}^\mu\delta_\kappa{}^\nu)\right\}+\mu_0j^\nu\\&=-\partial_\mu\frac{1}{4}\left\{(\eta^{\mu\kappa}\eta^{\nu\tau}-\eta^{\nu\kappa}\eta^{\mu\tau})F_{\kappa\tau}+F_{\rho\gamma}(\eta^{\rho\mu}\eta^{\gamma\nu}-\eta^{\rho\nu}\eta^{\gamma\mu})\right\}+\mu_0j^\nu\\&=-\partial_\mu\frac{1}{4}\left(F^{\mu\nu}-F^{\nu\mu}+F^{\mu\nu}-F^{\nu\mu}\right)+\mu_0j^\nu\\&=-\partial_\mu F_{\mu\nu}+\mu_0j^\nu\\&=0\tag{4}\end{align}
2行目への変形では計量テンソル\(\eta^{\rho\kappa}\),\(\eta^{\gamma\tau}\)を用いて上付き添字を下付き添字に変え(以前のページを参照)、3行目への変形では積の微分公式を用い、4行目への変形では電磁場テンソル\(F_{\rho\gamma}\)の微分
\begin{align*}\frac{\partial\left(F_{\rho\gamma}\right)}{\partial \partial_\mu A_\nu}&=\frac{\partial\left(\partial_\rho A_\gamma\right)}{\partial \partial_\mu A_\nu}-\frac{\partial\left(\partial_\gamma A_\rho\right)}{\partial \partial_\mu A_\nu}\\&=\delta_\rho{}^\mu\delta_\gamma{}^\nu-\delta_\gamma{}^\mu\delta_\rho{}^\nu\end{align*}
を行ない、6行目への変形では電磁場テンソルの反対称性(以前のページを参照)
\begin{align*}F^{\mu\nu}=-F^{\nu\mu}\end{align*}
を用いた。
となって、マクスウェル方程式が導出されることが分かる。
ラグランジアン密度の相対論的不変性
ゲージ場のラグランジアン密度\(\mathscr L\)が相対論的不変性を持つことを確認する。
ゲージ場のラグランジアン密度\(\mathscr L\)
\begin{align}\mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\mu_0j^\mu A_\mu\tag{2}\end{align}
において、ローレンツ変換によって電磁場テンソル\(F_{\mu\nu}\),\(F^{\mu\nu}\)と4元電流密度\(j^\mu\)とゲージ場\(A_\mu\)が次のように変換
\begin{align*}F_{\mu\nu}&\rightarrow F’_{\mu\nu}\\F^{\mu\nu}&\rightarrow F’^{\mu\nu}\\j^\mu&\rightarrow j’^\mu\\A_\mu&\rightarrow A’_\mu\end{align*}
する際、変換後のラグランジアン密度\(\mathscr L’\)は
\begin{align}\mathscr{L}’=-\frac{1}{4}F’_{\mu\nu}F’^{\mu\nu}-\mu_0j’^\mu A’_\mu\tag{7}\end{align}
となる。また、4元電流密度\(j^\mu\)とゲージ場\(A_\mu\)はローレンツ変換の下でベクトルとして変換(以前のページを参照)
\begin{align*}j’^\mu&=\varLambda^\mu{}_\nu j^\nu\tag{8}\\A’_\mu&=A_\rho(\varLambda^{-1})^\rho{}_\mu\tag{9}\end{align*}
し、電磁場テンソル\(F_{\mu\nu}\),\(F^{\mu\nu}\)はローレンツ変換の下でテンソルとして変換(以前のページを参照)
\begin{align*}F’_{\mu\nu}&=F_{\rho\gamma}(\varLambda^{-1})^\rho{}_\mu(\varLambda^{-1})^\gamma{}_\nu\tag{10}\\F’^{\mu\nu}&=\varLambda^\mu{}_\tau\varLambda^\nu{}_\kappa F^{\tau\kappa}\tag{11}\end{align*}
するため、ラグランジアン密度\(\mathscr L’\)
\begin{align}\mathscr L’&=-\frac{1}{4}F’_{\mu\nu}F’^{\mu\nu}-\mu_0j’^\mu A’_\mu\\&=-\frac{1}{4}F_{\rho\gamma}(\varLambda^{-1})^\rho{}_\mu(\varLambda^{-1})^\gamma{}_\nu\varLambda^\mu{}_\tau\varLambda^\nu{}_\kappa F^{\tau\kappa}-\mu_0\varLambda^\mu{}_\nu j^\nu A_\rho(\varLambda^{-1})^\rho{}_\mu\\&=-\frac{1}{4}F_{\rho\gamma}\delta^\rho{}_\tau \delta^\gamma{}_\kappa F^{\tau\kappa}-\mu_0 j^\nu A_\rho\delta^\rho{}_\nu\\&=-\frac{1}{4}F_{\rho\gamma}F^{\rho\gamma}-\mu_0 j^\nu A_\nu\tag{12}\end{align}
はローレンツ変換前のラグランジアン密度\(\mathscr L\)と等しくなり、ゲージ場のラグランジアン密度\(\mathscr L\)は相対論的不変性を持つことが分かる。
ラグランジアン密度のゲージ不変性
ゲージ場のラグランジアン密度\(\mathscr L\)がゲージ不変性も持つことを確認する。
ゲージ変換によってゲージ場\(A_\mu\),\(A^\mu\)が次のように変換
\begin{align*}A_\mu\rightarrow A’_\mu=A_\mu+\partial_\mu\varLambda\\A^\mu\rightarrow A’^\mu=A^\mu+\partial^\mu\varLambda\end{align*}
するとき、電磁場テンソル\(F_{\mu\nu}\),\(F^{\mu\nu}\)はゲージ変換の下で不変
\begin{align*}F_{\mu\nu}\rightarrow F’_{\mu\nu}&=\partial_\mu A’_\nu-\partial_\nu A’_\mu\\&=\partial_\mu A_\nu+\partial_\mu\partial_\nu\varLambda-\partial_\nu A_\mu-\partial_\nu\partial_\mu\varLambda\\&=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu\\&=F_{\mu\nu}\\F^{\mu\nu}\rightarrow F’^{\mu\nu}&=\partial^\mu A’^\nu-\partial^\nu A’^\mu\\&=\partial^\mu A^\nu+\partial^\mu\partial^\nu\varLambda-\partial^\nu A^\mu-\partial^\nu\partial^\mu\varLambda\\&=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu\\&=F^{\mu\nu}\end{align*}
である。ゲージ場のラグランジアン密度
\(\mathscr L\)
\begin{align}\mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\mu_0j^\mu A_\mu\tag{2}\end{align}
において、ゲージ変換すると
\begin{align}\mathscr L’&=-\frac{1}{4}F’_{\mu\nu}F’^{\mu\nu}-\mu_0j^\mu A’_\mu\\&=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\mu_0j^\mu A_\mu-\mu_0j^\mu \partial_\mu\varLambda\\&=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\mu_0j^\mu A_\mu-\mu_0 \partial_\mu(j^\mu\varLambda)+\mu_0( \partial_\mu j^\mu)\varLambda\tag{13}\end{align}
となって、流れの保存の式(以前のページを参照)
\begin{align*} \partial_\mu j^\mu=0\tag{14}\end{align*}
と、全微分項\(\partial_\mu(j^\mu\varLambda)\)の作用積分がゼロになり運動方程式に関与しないこと(以前のページを参照)を用いると式(13)は
\begin{align}\mathscr L’&=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\mu_0j^\mu A_\mu\tag{15}\end{align}
となって、ゲージ変換前のラグランジアン密度\(\mathscr L\)と等しくなり、ゲージ場のラグランジアン密度\(\mathscr L\)はゲージ不変性を持つことが分かる。
運動項とポテンシャル項
古典力学でのラグランジアン\(L\)は、
\begin{align*}L=\frac{m\dot x^2}{2}-V\tag{16}\end{align*}
と表されており、運動項\(\frac{m\dot x^2}{2}\)とポテンシャル項\(V\)から成り立っていた(以前のページを参照)。
場の理論でのラグランジアン密度\(\mathscr L\)
\begin{align}\mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\mu_0j^\mu A_\mu\tag{2}\end{align}
においては、運動項\(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\)と相互作用項\(-\mu_0j^\mu A_\mu\)から構成されている。
もし、運動項が正でないと運動エネルギーが負になりに、粒子として解釈できない(このことは、後のページでルジャンドル変換を通して確認する)。そのため、運動項は正である必要があるが、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)の式(2)の運動項\(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})と相互作用項(-\mu_0j^\mu A_\mu\)ではしっかりとそのようになっている。
次ページから…
次ページでは、場の理論におけるクライン-ゴルドン方程式
\begin{align}\left(\partial_\mu\partial^\mu+m^2\right)\phi=0\end{align}
を導出する作用積分\(S\)
\begin{align}S&=\int d^4x\ \left(\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2\right)\end{align}
を求め、作用積分\(S\)が相対論的不変性と\(Z_2\)不変性を持つことを確かめる。
【前ページ】 【次ページ】
HOME ＞ 場の量子論 ＞ ゲージ場の量子論 ＞ ゲージ場のラグランジアン密度(マクスウェル方程式)
