HOME ＞ 場の量子論 ＞ ゲージ場の量子論 ＞ ゲージ場の第2量子化
【前ページ】 【次ページ】
本ページでは…
本ページでは、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)から求めた正準共役運動量の時間成分\(\pi^0\)がゼロであったがために、単なる第2量子化が行なえないことを確認する。
前ページまで…
前ページでは、マクスウェル方程式やプロカ方程式の知識を使わず、マクスウェル方程式やプロカ方程式を導くラグランジアン密度をゲージ場の次元解析から求めた。
内容
ゲージ場の第2量子化
マクスウェル方程式
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu\tag{1}\end{align*}
を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)は
\begin{align}\mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}- A_\mu j^\mu\tag{2}\end{align}
であり、ハミルトニアンは
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\boldsymbol \pi^2+\frac{1}{2}(\boldsymbol\nabla×\boldsymbol A)^2-\boldsymbol j\cdot\boldsymbol A+\rho A_0+\boldsymbol\pi\cdot\boldsymbol\nabla A_0\right)\tag{3}\end{align*}
であった。以後、真空条件\(j^\mu=0\)でのマクスウェル方程式
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu}=0\tag{4}\end{align*}
を考え、このとき、真空中でのラグランジアン密度\(\mathscr L\)は
\begin{align}\mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\tag{5}\end{align}
となり、ハミルトニアン\(H\)は
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\boldsymbol \pi^2+\frac{1}{2}(\boldsymbol\nabla×\boldsymbol A)^2+\rho A_0+\boldsymbol\pi\cdot\boldsymbol\nabla A_0\right)\tag{6}\end{align*}
となる。
真空状態のマクスウェル方程式に対応するハミルトニアン\(H\)は場\(A_\nu\)と正準共役運動量\(\pi^\nu\)から成り立っていた。場\(A_\nu\)と正準共役運動量\(\pi^\nu\)のポアソン括弧
\begin{align}\left\{A_0(t,\boldsymbol x),\pi^0(t,\boldsymbol y)\right\}&=\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{7}\\\left\{A_1(t,\boldsymbol x),\pi^1(t,\boldsymbol y)\right\}&=\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{8}\\\left\{A_2(t,\boldsymbol x),\pi^2(t,\boldsymbol y)\right\}&=\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{9}\\\left\{A_3(t,\boldsymbol x),\pi^3(t,\boldsymbol y)\right\}&=\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{10}\end{align}
が成り立てばスカラー場のとき(以前のページを参照)と同様に第2量子化することができるが、ゲージ場においては大問題がある。それは、正準共役運動量の時間成分\(\pi^0\)がゼロであり、一部のポアソン括弧が成り立たないということである。つまり、ゲージ場において通常の方法では第2量子化することができない。
解決策
では、どのようにこの問題を解決すればよいだろうか。前ページで、次のような項
\begin{align*}\partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu+\partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu\end{align*}
をラグランジアン密度\(\mathscr L\)に含めると\(A^0\)の時間の2階微分が現れたことを見たが、このような項をラグランジアン密度\(\mathscr L\)に含めることで正準共役運動量\(\pi^0\)を定義することができる。ここで加えた項はゲージ固定項と呼ばれ、ゲージ不変性を持たない項であっても問題ない。次ページから詳細を述べていく。
次ページから…
次ページでは、マクスウェル方程式を導くラグランジアン密度\(\mathscr L\)にゲージ固定項\(-\frac{1}{2}(\partial_\nu A^\nu)^2\)を加えることによって、ローレンツゲージ固定されたマクスウェル方程式
\begin{align*}\partial_\mu F^{\mu\nu}+\partial^{\nu}(\partial_\mu A^\mu)&=0\end{align*}
が導かれることを確認する。また、ゲージ固定項\(-\frac{1}{2}(\partial_\nu A^\nu)^2\)を加えたラグランジアン密度\(\mathscr L\)から正準共役運動量が定義
\begin{align}\pi^\nu=-\partial_0 A^\nu\end{align}
でき、第2量子化を行なえるが、ローレンツゲージ条件
\begin{align*}\partial_\mu A^\mu=0\end{align*}
は量子化できないことを確認する。
【前ページ】 【次ページ】
HOME ＞ 場の量子論 ＞ ゲージ場の量子論 ＞ ゲージ場の第2量子化
