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本ページでは、ゲージ不変性を持つ方程式を解析しやすくするためにゲージ場\(A^\mu\)に条件を課すゲージ固定について調べる。また、具体的なゲージ固定として、ローレンツゲージ固定とクーロンゲージ固定について述べる。
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前ページでは、電磁気学においてゲージ場\(A^\mu\)を考える理由について述べる。
内容
ゲージ固定とは
ゲージ不変性を持つ方程式は次のゲージ変換
\begin{align*}A’^\mu(x)\rightarrow A^\mu(x)=A’^\mu(x)+\partial^\mu\varLambda(x)\tag{1}\end{align*}
の下で不変のため、方程式が解析しやすくなるようなゲージ場\(A^\mu=(\phi/c,\boldsymbol A)\)を自由に選ぶことができる。具体的には関数\(\varLambda\)を上手く選べばよく、この操作をゲージ固定という。
ローレンツゲージ固定
次のローレンツゲージ条件
\begin{align*}\partial_\nu A^\nu=0\tag{2}\end{align*}
に従うゲージ場\(A^\mu\)を選ぶゲージ固定をローレンツゲージ固定という。ローレンツゲージ条件は流れの保存の式の形(以前のページを参照)をしており、アインシュタインの縮約記法を用いずに表すと
\begin{align*}\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t}+\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol A=0\tag{3}\end{align*}
ゲージ場は
\begin{align*}A^\nu&=(\phi/ c,\boldsymbol A)\end{align*}
であり、微分ベクトルの表記は次の通りである。
\begin{align*}\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}&=\frac{\partial}{\partial x^0}=\partial_0=\partial^0\\\frac{\partial}{\partial x}&=\frac{\partial}{\partial x^1}=\partial_1=-\partial^1\\\frac{\partial}{\partial y}&=\frac{\partial}{\partial x^2}=\partial_2=-\partial^2\\\frac{\partial}{\partial z}&=\frac{\partial}{\partial x^3}=\partial_3=-\partial^3\end{align*}
となって、｢電気スカラーポテンシャルの時間減少率\(-\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t}\)｣が｢湧き出る磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol A\)｣に等しいことがわかる。また、ローレンツゲージ条件は相対論的不変な形をしており、ローレンツ変換の下でローレンツゲージ条件は不変である。
マクスウェル方程式
\begin{align*}\partial_\mu (\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)=\mu_0j^\nu\tag{4}\end{align*}
をローレンツゲージ固定すると、マクスウェル方程式は
\begin{align*}\partial_\mu \partial^\mu A^\nu=\mu_0j^\nu\tag{5}\end{align*}
と表すことができる。では、任意のゲージ場\(A’^\mu\)をローレンツゲージ条件\(\partial_\mu A^\mu=0\)を満たすようなゲージ場\(A^\mu\)にゲージ変換
\begin{align*}A’^\mu(x)\rightarrow A^\mu(x)=A’^\mu(x)+\partial^\mu\varLambda(x)\tag{1}\end{align*}
するとき、どのような関数\(\varLambda\)を選べば良いだろうか。ゲージ変換の式(1)をローレンツゲージ条件の式(2)に代入すると
\begin{align*}\partial_\mu\partial^\mu\varLambda=-\partial_\mu A’^\mu\tag{6}\end{align*}
と波動方程式となり、この波動方程式の解を関数\(\varLambda\)として選べば良いことが分かる。
クーロンゲージ固定
次のクーロンゲージ条件
\begin{align*}\boldsymbol \nabla\cdot\boldsymbol A =0\tag{7}\end{align*}
に従うゲージ場\(A^\mu=(\phi/c,\boldsymbol A)\)を選ぶゲージ固定をクーロンゲージ固定という。クーロンゲージ条件は相対論的不変な形をしていないため、ローレンツ変換の下でクーロンゲージ条件は不変でない。
マクスウェル方程式
\begin{align*}\partial_\mu (\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)=\mu_0j^\nu\tag{4}\end{align*}
をクーロンゲージ固定すると、マクスウェル方程式は次の2つの式
\begin{align*}\boldsymbol\nabla^2 \phi&=\frac{\rho}{\epsilon_0}\tag{8}\\\Box\boldsymbol A+\boldsymbol \nabla\frac{1}{c^2} \frac{\partial \phi}{\partial t}&=\mu_0\boldsymbol j\tag{9}\end{align*}
マクスウェル方程式の時間成分(\(\nu=0\))は次のようになる。
\begin{align*}\partial_\mu (\partial^\mu A^0-\partial^0 A^\mu)&=\mu_0j^0\\\rightarrow\partial_\mu\partial^\mu A^0-\partial_\mu\partial^0 A^\mu&=\mu_0j^0\\\rightarrow\partial_0\partial^0 A^0+\partial_i\partial^i A^0-\partial_0\partial^0 A^0-\partial_i\partial^0 A^i&=\mu_0j^0\\\rightarrow\partial_i\partial^i A^0&=\mu_0j^0\\\rightarrow\boldsymbol\nabla^2 \frac{\phi}{c}&=\mu_0\rho c\\\rightarrow\boldsymbol\nabla^2 \phi&=\frac{\rho}{\epsilon_0}\end{align*}
3行目への変形では添え字\(\mu\)を時間成分(\(\mu=0\))と空間成分\(\mu=i(i=1,2,3)\))に分けて、4行目への変形ではクーロンゲージ条件を用い、5行目への変形ではゲージ関数の定義
\begin{align*}A^\mu&=(A^0,A^1,A^2,A^3)\\&=(\phi/c,\boldsymbol A)\end{align*}
と4元電流密度の定義
\begin{align*}j^\mu&=(j^0,j^1,j^2,j^3)\\&=(\rho c,\boldsymbol j)\end{align*}
を用い、6行目への変形では次の関係式
\begin{align*}c^2=\frac{1}{\epsilon_0\mu_0}\end{align*}
を用いた。
マクスウェル方程式の空間成分(\(\nu=i(i=1,2,3)\))は次のようになる。
\begin{align*}\partial_\mu (\partial^\mu A^i-\partial^i A^\mu)&=\mu_0j^i\\\rightarrow\partial_\mu\partial^\mu A^i-\partial_\mu\partial^i A^\mu&=\mu_0j^i\\\rightarrow\partial_\mu\partial^\mu A^i-\partial_0\partial^i A^0-\partial_k\partial^i A^k&=\mu_0j^i\\\rightarrow\partial_\mu\partial^\mu A^i-\partial_0\partial^i A^0&=\mu_0j^i\\\rightarrow\Box\boldsymbol A+\boldsymbol \nabla\frac{1}{c^2} \frac{\partial \phi}{\partial t}&=\mu_0\boldsymbol j\end{align*}
3行目への変形では添え字\(\mu\)を時間成分(\(\mu=0\))と空間成分\(\mu=k(k=1,2,3)\))に分けて、4行目への変形ではクーロンゲージ条件を用い、5行目への変形ではゲージ関数の定義
\begin{align*}A^\mu&=(A^0,A^1,A^2,A^3)\\&=(\phi/c,\boldsymbol A)\end{align*}
と4元電流密度の定義
\begin{align*}j^\mu&=(j^0,j^1,j^2,j^3)\\&=(\rho c,\boldsymbol j)\end{align*}
を用いた。
で表すことができる。では、クーロンゲージ固定するとき、どのような関数\(\varLambda\)を選べば良いだろうか。ゲージ変換の式(1)の空間成分
\begin{align*}\boldsymbol A'(x)\rightarrow \boldsymbol A(x)=\boldsymbol A'(x)+\boldsymbol \nabla\varLambda(x)\tag{1}\end{align*}
をクーロンゲージ条件の式(7)に代入すると
\begin{align*}\boldsymbol \nabla^2\varLambda=-\boldsymbol \nabla \cdot\boldsymbol A’\tag{10}\end{align*}
とポアソン方程式となり、このポアソン方程式の解を関数\(\varLambda\)として選べば良いことが分かる。
クーロンゲージ固定したマクスウェル方程式(8)は電気スカラーポテンシャル\(\phi\)について記述されているが時間微分項を含まないため、電気スカラーポテンシャル\(\phi\)は空間を瞬時に伝わることを示唆している。ただし、電気スカラーポテンシャル\(\phi\)が空間を瞬時に伝わっても、観測量である電場\(\boldsymbol E\)
\begin{align*}\boldsymbol E&=-\boldsymbol\nabla \phi-\frac{\partial \boldsymbol A}{\partial t}\tag{11}\end{align*}
は遅延項\(-\frac{\partial \boldsymbol A}{\partial t}\)を含むため瞬時に伝わらず、因果律は守られる。
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次ページでは、質量を持つゲージ場\(A^\nu\が従うプロカ方程式
\begin{align*}\partial_\mu (\partial^\mu A^\nu -\partial^\nu A^\mu )+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}A^\nu=0\end{align*}
を導き、プロカ方程式はゲージ変換の下で不変でないことを確かめる。また、ゲージ不変性を式に課すとゲージ場\(A^\nu\)は質量\(m\)を持つことが許されないことを調べる。
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