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本ページでは、グプタ＝ブロイラー条件とは何かを基礎から解説し、負のノルムを持つ状態がどのように排除されるのかを確認する。グプタ-ブロイラー条件は場の量子論において重要な役割を果たし、非物理的状態である縦波モードと負のノルムを持つスカラーモードを取り除くための条件である。本記事では、その具体的な仕組みを途中式を省略せずに丁寧に解説する。
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前ページでは、不定計量空間とは何かを基礎から解説し、負のノルムを持つ状態がどのように現れるのかを見た。不定計量空間は場の量子論において重要な役割を果たし、特にスカラーモードの1粒子状態が負のノルムを持つことが特徴である。
内容
偏極ベクトルの分類
前ページでは、計算を簡便にするために規格直交化
\begin{align*}\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda’)&=\eta_{\lambda\lambda’}\tag{1}\end{align*}
された偏極ベクトル\(\epsilon^\nu(\boldsymbol k,\lambda)\)を用いた。
さらに計算を簡便にするために、\(\lambda=0\)の偏極ベクトルのみが時間成分を持ち、\(\lambda=1,2,3\)の偏極ベクトルは時間成分を持たず、\(\lambda=3\)の偏極ベクトルが運動量方向\((0,\boldsymbol k)\)を向くようにする。
このとき、偏極ベクトルが規格直交化されていることを考慮すると、\(\lambda=0\)の偏極ベクトルのみが時間成分を持つため、\(\lambda=0\)の偏極ベクトルは
\begin{align*}\epsilon^\nu(\boldsymbol k,0)&=(1,0,0,0)\\&=(1,\boldsymbol 0)\tag{2}\end{align*}
となり、スカラーモードと呼ぶ。また、\(\lambda=3\)の偏極ベクトルは運動量方向を向いているため、
\begin{align*}\epsilon^\nu(\boldsymbol k,3)&=\frac{1}{\vert\boldsymbol k\vert}(0,\boldsymbol k)\tag{3}\end{align*}
となり、縦波モードと呼ぶ。そして、\(\lambda=1,2\)の偏極ベクトルは運動量方向に垂直な方向を向いているため、次の関係
\begin{align*}\boldsymbol k\cdot\boldsymbol k’=\boldsymbol k\cdot\boldsymbol k'{}’=\boldsymbol k’\cdot\boldsymbol k'{}’=0\tag{4}\end{align*}
を満たすベクトル\(\boldsymbol k’\),\(\boldsymbol k'{}’\)を定義すると、\(\lambda=1,2\)の偏極ベクトルは
\begin{align*}\epsilon^\nu(\boldsymbol k,1)&=\frac{1}{\vert\boldsymbol k’\vert}(0,\boldsymbol k’)\tag{5}\\\epsilon^\nu(\boldsymbol k,2)&=\frac{1}{\vert\boldsymbol k'{}’\vert}(0,\boldsymbol k'{}’)\tag{6}\end{align*}
となり、横波モードとよぶ。
4元運動量は
\begin{align*}k^\nu&=(k^0,k^1,k^2,k^3)\\&=(\omega_{\boldsymbol k},\boldsymbol k)\tag{7}\\k_\nu&=(k_0,k_1,k_2,k_3)\\&=(k^0,-k^1,-k^2,-k^3)\\&=(\omega_{\boldsymbol k},-\boldsymbol k)\tag{8}\end{align*}
であり、光子は質量がゼロであるため
\begin{align*}k^0=\omega_{\boldsymbol k}=\vert\boldsymbol k\vert\tag{9}\end{align*}
が成り立つことを考慮すると、4元運動量と偏極ベクトルとのミンコフスキー内積は
\begin{align*}k_\nu\epsilon^\nu(\boldsymbol k,0)&=\omega_{\boldsymbol k}\tag{10}\\k_\nu\epsilon^\nu(\boldsymbol k,1)&=0\tag{11}\\k_\nu\epsilon^\nu(\boldsymbol k,2)&=0\tag{12}\\k_\nu\epsilon^\nu(\boldsymbol k,3)&=-\vert\boldsymbol k\vert=-\omega_{\boldsymbol k}\tag{13}\end{align*}
となる。
グプタ-ブロイラー条件
これまで、ファインマンゲージ固定項を加えたラグランジアン密度\(\mathscr L\)から正準共役運動量を定義し、第2量子化によって生成消滅演算子で表したハミルトニアンを求めた。ここで、忘れてはならないのが期待値の条件
\begin{align*}\langle\varPsi\vert\partial_\nu\hat A^\nu\vert\varPsi\rangle=0\tag{14}\end{align*}
である。実は、非物理的状態の縦波モード\(\vert\boldsymbol k,3\rangle\)とノルムが負であるスカラーモード\(\vert\boldsymbol k,0\rangle\)はこの期待値の条件を満たすことができず、この期待値の条件を用いることで負のノルムを排除して正定値計量空間とすることができる。
縦波モード\(\vert\boldsymbol k,3\rangle\)とスカラーモード\(\vert\boldsymbol k,0\rangle\)が期待値の条件を満たさないことを確かめる前に、期待値の条件より扱いやすいグプタ-ブロイラー条件を導く。生成消滅演算子で表したゲージ場\(A^\nu\)
\begin{align}\hat A^\nu&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \sum_{\lambda=0}^3\left\{\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon^\nu(\boldsymbol k,\lambda)f_k^{+}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)f_k^{-}\right\}\tag{15}\end{align}
を、次の2つの関数\(\hat A^{\nu(+)}\),\(\hat A^{\nu(-)}\)
\begin{align}\hat A^{\nu(+)}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \sum_{\lambda=0}^3\left\{\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon^\nu(\boldsymbol k,\lambda)f_k^{+}\right\}\tag{16}\\&=\left(\hat A^{\nu(-)}\right)^\dagger\\\hat A^{\nu(-)}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \sum_{\lambda=0}^3\left\{\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda)f_k^{-}\right\}\\&=\left(\hat A^{\nu(+)}\right)^\dagger\tag{17}\end{align}
それぞれの式で2行目への変形では次の関係を用いた。
\begin{align*}f_k^+&=\frac{e^{- ik\cdot x}}{\sqrt{(2\pi)^32\omega_{\boldsymbol k}}}\\&=\left(f_k^-\right)^*\\f_k^-&=\frac{e^{ik\cdot x}}{\sqrt{(2\pi)^32\omega_{\boldsymbol k}}}\\&=\left(f_k^+\right)^*\end{align*}
の和
\begin{align*}\hat A^\nu=\hat A^{\nu(+)}+\hat A^{\nu(-)}\tag{18}\end{align*}
で表すと、次の条件
\begin{align*}\partial_\nu\hat A^{\nu(+)}\vert\varPsi\rangle=0\tag{19}\end{align*}
が成り立てば期待値の条件式(14)を満たすことができ、この条件をグプタ-ブロイラー条件(または、弱いローレンツ条件)という。実際に成り立つことは、グプタ-ブロイラー条件のエルミート共役をとると
\begin{align*}\langle\varPsi\vert\partial_\nu\left(\hat A^{\nu(+)}\right)^\dagger=0\\\rightarrow\langle\varPsi\vert\partial_\nu\hat A^{\nu(-)}=0\tag{20}\end{align*}
となるから、式(18)と式(19)、式(20)を用いると式(14)の左辺は
\begin{align*}\langle\varPsi\vert\partial_\nu\hat A^\nu\vert\varPsi\rangle&=\langle\varPsi\vert\partial_\nu\hat A^{\nu(+)}\vert\varPsi\rangle+\langle\varPsi\vert\partial_\nu\hat A^{\nu(-)}\vert\varPsi\rangle\\&=0\tag{21}\end{align*}
となって期待値の条件式(14)が成り立つことがわかる。
グプタ-ブロイラー条件は変形すると次のようにより具体的な形にすることができる。
\begin{align*}(\hat a(\boldsymbol{k},0)-\hat a(\boldsymbol{k},3))\vert\varPsi\rangle=0\tag{22}\end{align*}
\begin{align}\partial_\nu\hat A^{\nu(+)}\vert\varPsi\rangle&=0\\-i\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \sum_{\lambda=0}^3\left\{\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)k_\nu\epsilon^\nu(\boldsymbol k,\lambda) f_k^{+}\right\}\vert\varPsi\rangle&=0\\-i\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a(\boldsymbol{k},0)\omega_{\boldsymbol k}(\boldsymbol k,0) f_k^{+}-\hat a(\boldsymbol{k},3)\omega_{\boldsymbol k}(\boldsymbol k,3) f_k^{+}\right\}\vert\varPsi\rangle&=0\\(\hat a(\boldsymbol{k},0)-\hat a(\boldsymbol{k},3))\vert\varPsi\rangle&=0\end{align}
2行目への変形では、ゲージ場に含まれる関数\(f_k^{+}\)が
\begin{align*}f_k^+&=\frac{e^{- ik\cdot x}}{\sqrt{(2\pi)^32\omega_{\boldsymbol k}}}\end{align*}
であり、時空微分が
\begin{align*}\partial_\nu f_k^{+}&=-ik_\nu f_k^{+}\end{align*}
となることを用い、3行目への変形では
\begin{align*}k_\nu\epsilon^\nu(\boldsymbol k,0)&=\omega_{\boldsymbol k}\\k_\nu\epsilon^\nu(\boldsymbol k,1)&=0\\k_\nu\epsilon^\nu(\boldsymbol k,2)&=0\\k_\nu\epsilon^\nu(\boldsymbol k,3)&=-\vert\boldsymbol k\vert=-\omega_{\boldsymbol k}\end{align*}
を用い、4行目への変形では被積分関数があらゆる運動量\(\boldsymbol k\)で成り立たなければならないことを用いて
\begin{align*}(\hat a(\boldsymbol{k},0)-\hat a(\boldsymbol{k},3))\vert\varPsi\rangle&=0\end{align*}
を導いた。
この条件式(22)の左辺に非物理的状態の縦波モード\(\vert\boldsymbol k,3\rangle\)とノルムが負であるスカラーモード\(\vert\boldsymbol k,0\rangle\)を代入すると、
\begin{align*}(\hat a(\boldsymbol{k},0)-\hat a(\boldsymbol{k},3))\vert\boldsymbol k,3\rangle=\vert0\rangle\neq0\tag{23}\\(\hat a(\boldsymbol{k},0)-\hat a(\boldsymbol{k},0))\vert\boldsymbol k,0\rangle=-\vert0\rangle\neq0\tag{24}\end{align*}
式(23)および式(24)では真空状態の定義
\begin{align*}\hat a(\boldsymbol{k},3)\vert\boldsymbol k,3\rangle&=\vert0\rangle\\\hat a(\boldsymbol{k},0)\vert\boldsymbol k,0\rangle&=\vert0\rangle\end{align*}
と、異なる状態の消滅演算子が作用するとゼロとなる関係式
\begin{align*}\hat a(\boldsymbol{k},3)\vert\boldsymbol k,0\rangle&=0\\\hat a(\boldsymbol{k},0)\vert\boldsymbol k,3\rangle&=0\end{align*}
を用いた。
となって条件式(22)は成り立たない。つまり、物理状態がグプタ-ブロイラー条件を満たすとすると、縦モードとスカラーモードは物理状態から取り除かれて正定値計量空間となることがわかる。
最後に、グプタ-ブロイラー条件を用いて、ハミルトニアン\(\hat H\)と運動量\(\hat{\boldsymbol P}\)
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ E_k\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})\tag{25}\\\hat{\boldsymbol{P}}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \boldsymbol{k}\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})\tag{26}\end{align}
の期待値を求めると、
\begin{align*}\langle\psi\vert\hat H\vert\psi\rangle&=\langle\psi\vert\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \omega_{\boldsymbol k}\sum_{\lambda=1}^2\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\vert\psi\rangle\tag{27}\\\langle\psi\vert\hat{\boldsymbol{P}}\vert\psi\rangle&=\langle\psi\vert\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \boldsymbol{k}\sum_{\lambda=1}^2\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\vert\psi\rangle\tag{28}\end{align*}
となって、縦波モードの寄与とスカラーモードの寄与が打ち消し合って横波モードの寄与のみが残ることがわかる。
以上より、グプタ-ブロイラー条件を満たす物理状態\(\vert\varPsi\rangle\)は横波モードの生成演算子を用いて
\begin{align*}\vert\varPsi\rangle=\hat a(\boldsymbol k_1,\lambda_1)\cdots\hat a(\boldsymbol k_n,\lambda_n)\vert0\rangle\tag{29}\end{align*}
と表せることがわかる(ここで、\(\lambda_i=1,2\)、\(n=1,2,3\cdots\)である)。
グプタ-ブロイラー条件以外の条件
グプタ-ブロイラー条件
\begin{align*}\partial_\nu\hat A^{\nu(+)}\vert\varPsi\rangle=0\tag{19}\end{align*}
は期待値の条件式(14)を満たしたが、次の条件
\begin{align*}\partial_\nu\hat A^{\nu(-)}\vert\varPsi\rangle=0\tag{30}\end{align*}
も期待値の条件式(14)を満たすため、この条件を満たすものを物理状態\(\vert\varPsi\rangle\)として捉えるのはどうだろうか。実は、条件式(30)を変形すると
\begin{align*}(\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},0)-\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},3))\vert\varPsi\rangle=0\tag{31}\end{align*}
となって、この条件式を満たす物理状態\(\vert\varPsi\rangle\)は存在しないため、この条件式(31)を式(19)の代わりに使うことはできない。
では、期待値の条件式(4)を満たす別の条件式として、次の条件式(強いローレンツ条件という)
\begin{align*}\partial_\nu\hat A^\nu\vert\varPsi\rangle=0\tag{32}\end{align*}
はどうだろうか。この条件式は式(18)を用いて
\begin{align*}(\partial_\nu\hat A^{\nu(+)}+\partial_\nu\hat A^{\nu(-)})\vert\varPsi\rangle=0\tag{33}\end{align*}
と変形でき、\(\hat A^{\nu(+)}\)と\(\hat A^{\nu(-)}\)は独立であるため、次の2式
\begin{align*}\partial_\nu\hat A^{\nu(+)}\vert\varPsi\rangle&=0\tag{19}\\\partial_\nu\hat A^{\nu(-)}\vert\varPsi\rangle&=0\tag{30}\end{align*}
に置き換えることができる。これらの2式は
\begin{align*}(\hat a(\boldsymbol{k},0)-\hat a(\boldsymbol{k},3))\vert\varPsi\rangle=0\tag{22}\\(\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},0)-\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},3))\vert\varPsi\rangle=0\tag{31}\end{align*}
と等価であるが、この条件式を満たす物理状態\(\vert\varPsi\rangle\)は存在せず、この条件式(32)も式(19)の代わりに使うことはできない。
以上より、分かることが2つある。1つは、条件式(30)や強いローレンツ条件式(32)も期待値の条件式(14)を満たすため、期待値の条件式(14)とグプタ-ブロイラー条件式(19)は完全には等価でないことである。もう1つは、式(22)のように消滅演算子のみに制限を課しても条件を満たす物理状態が存在するが、式(31)のように生成演算子に制限を課すと条件を満たす物理状態は存在しなくなるということである。
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