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本ページでは…
本ページでは、場\(\phi\)の正準共役運動量\(\pi\)
\begin{align*}\pi=\frac{\partial\mathscr L}{\partial\partial_0\phi}\end{align*}
を導入し、場の理論におけるラグランジアン\(L\)とハミルトニアン\(H\)の関係をルジャンドル変換
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ \partial^0\phi\pi- L\end{align*}
から求める。また、次の関係
\begin{align*}H=\int d\boldsymbol x^3\mathscr H\end{align*}
を満たすハミルトニアン密度\(\mathscr H\)を用いてハミルトンの正準方程式
\begin{align*}\frac{\partial \mathscr H}{\partial\phi}&=-\partial^0\pi\\\frac{\partial \mathscr H}{\partial\pi}&=\partial^0\phi\end{align*}
を求める。
前ページまで…
前ページでは、クライン-ゴルドン方程式の知識を使わず、クライン-ゴルドン方程式を導くラグランジアン密度をスカラー場の次元解析から求める。
内容
場の正準共役運動量
粒子の正準共役運動量\(p_i\)は
\begin{align*}p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\tag{1}\end{align*}
であった(以前のページを参照、\(\dot \square\)は時間微分を表す)ため、これを参考にすると場の理論における正準共役運動量\(\pi\)は
\begin{align*}\pi=\frac{\partial\mathscr L}{\partial\partial_0\phi}\tag{2}\end{align*}
次ページで分かるが、正準共役運動量\(\pi\)を汎函数微分で表すと次のようになる。
\begin{align*}\pi=\frac{\delta L}{\delta \partial_0\phi}\end{align*}
と定義できると思われる(\(\partial_0\)も時間微分を表す)。
ルジャンドル変換
粒子の力学におけるルジャンドル変換は正準共役運動量\(p_i\)を用いて
\begin{align}H=\sum_{i=1}^n\dot{q_i}p_i-L\tag{3}\end{align}
と表されていた(以前のページを参照)ため、離散的有限自由度\(i\)の総和\(\sum\)を連続的無限自由度\(\boldsymbol x\)の積分\(\int\)に変更した次の式
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ \partial^0\phi\pi- L\\&=\int d\boldsymbol x^3\ (\partial^0\phi\pi-\mathscr L)\tag{4}\end{align*}
が場の理論におけるルジャンドル変換である。ここで、ラグランジアン\(L\)とラグランジアン密度\(\mathscr L\)の関係
\begin{align*}L=\int d\boldsymbol x^3\mathscr L\tag{5}\end{align*}
を用いている(以前のページを参照)。
ハミルトニアン密度
ラグランジアン\(L\)とラグランジアン密度\(\mathscr L\)は次の関係
\begin{align*}L=\int d\boldsymbol x^3\mathscr L\tag{5}\end{align*}
があったが、同様に次の関係
\begin{align*}H=\int d\boldsymbol x^3\mathscr H\tag{6}\end{align*}
を満たす\(\mathscr H\)をハミルトニアン密度と呼ぶ。
式(4)と式(6)より、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)とハミルトニアン密度\(\mathscr H\)の関係は
\begin{align*}\mathscr H&=\partial^0\phi\pi-\mathscr L\tag{7}\end{align*}
となる。
正準方程式(場の理論)
古典力学における正準方程式
\begin{align*}\frac{\partial H}{\partial q_i}&=-\dot p_i\tag{8}\\\frac{\partial H}{\partial p_i}&=\dot q_i\tag{9}\end{align*}
を参考にすると、場の理論における正準方程式は
\begin{align*}\frac{\partial \mathscr H}{\partial\phi}&=-\partial^0\pi\tag{10}\\\frac{\partial \mathscr H}{\partial\pi}&=\partial^0\phi\tag{11}\end{align*}
次ページで分かるが、正準方程式を汎函数微分で表すと次のようになる。
\begin{align*}\frac{\delta H}{\delta\phi}&=-\partial^0\pi\\\frac{\delta H}{\delta\pi}&=\partial^0\phi\end{align*}
となると推測できる。
次ページから…
次ページでは、汎関数\(S\)
\begin{align*}S[\phi]=\int d\boldsymbol x^3\ F(\phi(\boldsymbol x))\end{align*}
の\(\phi(\boldsymbol y)\)による汎函数微分\(\frac{\delta S[\phi]}{\delta \phi(\boldsymbol y)}\)において、次の関係
\begin{align*}\frac{\delta \phi(\boldsymbol x)}{\delta \phi(\boldsymbol y)}=\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\end{align*}
が成り立ち、汎函数微分は被積分関数の偏微分になることを確認する。
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