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本ページでは…
本ページでは、ルジャンドル変換から場の理論におけるハミルトニアン\(H\)
\begin{align*}H&=\int d^3\boldsymbol x\ (\partial^0\phi)\pi- L\end{align*}
を求める。また、汎函数微分を用いて表した場の理論における正準方程式
\begin{align*}\frac{\delta H}{\delta\phi(t,\boldsymbol y)}&=-\partial^0\pi(t,\boldsymbol y)\\\frac{\delta H}{\delta\pi(t,\boldsymbol y)}&=\partial^0\phi(t,\boldsymbol y)\end{align*}
を求め、次の関係
\begin{align*}H=\int d^3\boldsymbol x\ \mathscr H\end{align*}
を満たすハミルトニアン密度\(\mathscr H\)を用いて場の理論における正準方程式が
\begin{align*}\frac{\partial \mathscr H}{\partial \phi(t,\boldsymbol y)}-\partial_i\frac{\partial \mathscr H}{\partial \partial_i\phi(t,\boldsymbol y)}&=-\partial^0\pi(t,\boldsymbol y)\\\frac{\partial \mathscr H}{\partial \pi(t,\boldsymbol y)}&=\partial^0\phi(t,\boldsymbol y)\end{align*}
となることを確認する(\(i=1,2,3\))。
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前ページでは、場の理論における正準共役運動量\(\pi\)が汎関数微分を用いて
\begin{align*}\pi(t,\boldsymbol y)=\frac{\delta L[\phi]}{\delta\partial_0\phi(t,\boldsymbol y)}\end{align*}
と表すことができ、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)を用いると偏微分となって
\begin{align*}\pi(t,\boldsymbol y)=\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_0\phi(t,\boldsymbol y)}\end{align*}
となることを確認した。
内容
ルジャンドル変換
粒子の力学におけるルジャンドル変換は正準共役運動量\(p_i\)
\begin{align*}p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\tag{1}\end{align*}
を用いて
\begin{align}H=\sum_{i=1}^n\dot{q_i}p_i-L\tag{2}\end{align}
と表されていた(以前のページを参照)。そのため、正準共役運動量\(p_i\)を場の正準共役運動量\(\pi\)
\begin{align*}\pi(t,\boldsymbol y)=\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_0\phi(t,\boldsymbol y)}\tag{3}\end{align*}
に変えて、離散的有限自由度\(i\)の総和\(\sum\)を連続的無限自由度\(\boldsymbol x\)の積分\(\int\)に変更した次の式
\begin{align*}H&=\int d^3\boldsymbol x\ (\partial^0\phi)\pi- L\\&=\int d^3\boldsymbol x\ ((\partial^0\phi)\pi-\mathscr L)\tag{4}\end{align*}
が場の理論におけるルジャンドル変換である。ここで、ラグランジアン\(L\)とラグランジアン密度\(\mathscr L\)の関係
\begin{align*}L=\int d^3\boldsymbol x\ \mathscr L\tag{5}\end{align*}
を用いている(以前のページを参照)。
ハミルトニアン密度
ラグランジアン\(L\)とラグランジアン密度\(\mathscr L\)は次の関係
\begin{align*}L=\int d^3\boldsymbol x\ \mathscr L\tag{5}\end{align*}
があったが、同様に次の関係
\begin{align*}H=\int d^3\boldsymbol x\ \mathscr H\tag{6}\end{align*}
を満たす\(\mathscr H\)をハミルトニアン密度と呼ぶ。
式(4)と式(6)より、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)とハミルトニアン密度\(\mathscr H\)の関係は
\begin{align*}\mathscr H&=(\partial^0\phi)\pi-\mathscr L\tag{7}\end{align*}
となる。
ここで注意だが、場の理論におけるラグランジアン密度\(\mathscr L\)は\(\phi\)と\(\partial_0\phi\)の変数であったため、ルジャンドル変換によって変数\(\partial_0\phi\)を変数\(\pi\)に変えたハミルトニアン密度\(\mathscr H\)は\(\phi\)と\(\pi\)、そして\(\partial_i\phi(i=1,2,3)\)の関数である。
正準方程式(場の理論)
古典力学における正準方程式
\begin{align*}\frac{\partial H}{\partial q_i}&=-\dot p_i\tag{8}\\\frac{\partial H}{\partial p_i}&=\dot q_i\tag{9}\end{align*}
であった(以前のページを参照)ため、これを参考にすると場の理論における正準方程式は汎函数微分を用いて
\begin{align*}\frac{\delta H}{\delta\phi(t,\boldsymbol y)}&=-\partial^0\pi\tag{10}\\\frac{\delta H}{\delta\pi(t,\boldsymbol y)}&=\partial^0\phi\tag{11}\end{align*}
と表せると予想できる。ここで偏微分を用いて表せない理由を述べる。ハミルトニアン\(H[\phi,\pi]\)はハミルトニアン密度\(\mathscr H(\phi(t,\boldsymbol x),\pi(t,\boldsymbol x),\partial_i\phi(t,\boldsymbol x))\ i=1,2,3\)を空間積分したもの
\begin{align*}H=\int d^3\boldsymbol x\ \mathscr H\tag{6}\end{align*}
であり、ハミルトニアン\(H[\phi,\pi]\)はもはや変数\(\phi(t,\boldsymbol y)\)や\(\pi(t,\boldsymbol y)\)による関数ではなく、\(\phi(t,\boldsymbol y)\)や\(\pi(t,\boldsymbol y)\)の関数形によって値が決まる汎関数であり、汎関数\(H[\phi,\pi]\)には変数\(\phi(t,\boldsymbol y)\)や\(\pi(t,\boldsymbol y)\)があらわに含まれないからである(以前のページを参照)。
ハミルトニアンの微小変化\(\delta H[\phi,\pi]\)は
\begin{align*}\delta H[\phi,\pi]&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\partial \mathscr H}{\partial \phi(t,\boldsymbol x)}\delta \phi(t,\boldsymbol x)+\frac{\partial \mathscr H}{\partial \pi(t,\boldsymbol x)}\delta \pi(t,\boldsymbol x)-\delta \phi(t,\boldsymbol x)\partial_i\frac{\partial \mathscr H}{\partial \partial_i\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\tag{12}\end{align*}
\begin{align*}\delta H[\phi,\pi]&=\int d \boldsymbol x^3\ \delta \mathscr H(\phi(t,\boldsymbol x),\pi(t,\boldsymbol x),\partial_i\phi(t,\boldsymbol x))\\&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\partial \mathscr H}{\partial \phi(t,\boldsymbol x)}\delta \phi(t,\boldsymbol x)+\frac{\partial \mathscr H}{\partial \pi(t,\boldsymbol x)}\delta \pi(t,\boldsymbol x)+\frac{\partial \mathscr H}{\partial \partial_i\phi(t,\boldsymbol x)}\delta \partial_i\phi(t,\boldsymbol x)\right)\\&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\partial \mathscr H}{\partial \phi(t,\boldsymbol x)}\delta \phi(t,\boldsymbol x)+\frac{\partial \mathscr H}{\partial \pi(t,\boldsymbol x)}\delta \pi(t,\boldsymbol x)+\partial_i\left(\frac{\partial \mathscr H}{\partial \partial_i\phi(t,\boldsymbol x)}\delta \phi(t,\boldsymbol x)\right)-\delta \phi(t,\boldsymbol x)\partial_i\frac{\partial \mathscr H}{\partial \partial_i\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\\&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\partial \mathscr H}{\partial \phi(t,\boldsymbol x)}\delta \phi(t,\boldsymbol x)+\frac{\partial \mathscr H}{\partial \pi(t,\boldsymbol x)}\delta \pi(t,\boldsymbol x)-\delta \phi(t,\boldsymbol x)\partial_i\frac{\partial \mathscr H}{\partial \partial_i\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\end{align*}
3行目への変形では部分積分を行ない、4行目への変形では全微分項を無視した。
であるから、変数の中で\(\phi(t,\boldsymbol y)\)以外を固定(\(\delta\pi=0\))したとき、\(\phi(t,\boldsymbol y)\)の無限小増分に対する汎関数\(H[\phi,\pi]\)の増分は
\begin{align*}\frac{\delta H}{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\partial \mathscr H}{\partial \phi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}-\frac{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}\partial_i\frac{\partial \mathscr H}{\partial \partial_i\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\\&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\partial \mathscr H}{\partial \phi(t,\boldsymbol x)}\delta^3( \boldsymbol x- \boldsymbol y)-\delta^3( \boldsymbol x- \boldsymbol y)\partial_i\frac{\partial \mathscr H}{\partial \partial_i\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\\&=\frac{\partial \mathscr H}{\partial \phi(t,\boldsymbol y)}-\partial_i\frac{\partial \mathscr H}{\partial \partial_i\phi(t,\boldsymbol y)}\tag{13}\end{align*}
となり、変数の中で\(\pi(t,\boldsymbol y)\)以外を固定(\(\delta\phi=0\))したとき、\(\pi(t,\boldsymbol y)\)の無限小増分に対する汎関数\(H[\phi,\pi]\)の増分は
\begin{align*}\frac{\delta H}{\delta \pi(t,\boldsymbol y)}&=\int d \boldsymbol x^3\ \frac{\partial \mathscr H}{\partial \pi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta \pi(t,\boldsymbol x)}{\delta \pi(t,\boldsymbol y)}\\&=\int d \boldsymbol x^3\ \frac{\partial \mathscr H}{\partial \pi(t,\boldsymbol x)}\delta^3( \boldsymbol x- \boldsymbol y)\\&=\frac{\partial \mathscr H}{\partial \pi(t,\boldsymbol y)}\tag{14}\end{align*}
となる。よって、ハミルトニアン\(H\)の汎函数微分はハミルトニアン密度\(\mathscr H\)の偏微分で表すことができ、正準方程式は
\begin{align*}\frac{\partial \mathscr H}{\partial \phi(t,\boldsymbol y)}-\partial_i\frac{\partial \mathscr H}{\partial \partial_i\phi(t,\boldsymbol y)}&=-\partial^0\pi(t,\boldsymbol y)\tag{15}\\\frac{\partial \mathscr H}{\partial \pi(t,\boldsymbol y)}&=\partial^0\phi(t,\boldsymbol y)\tag{16}\end{align*}
となることが分かる。また、ハミルトニアンの微小変化\(\delta H[\phi,\pi]\)は
\begin{align*}\delta H[\phi,\pi]&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta H}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\delta \phi(t,\boldsymbol x)+\frac{\delta H}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)}\delta \pi(t,\boldsymbol x)\right)\tag{17}\end{align*}
となる。
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次ページでは、場の理論におけるポアソン括弧
\begin{align}\left\{A,B\right\}=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta A}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta B}{\delta\pi(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta A}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)} \frac{\delta B}{\delta\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\end{align}
を定義し、ポアソン括弧を用いて正準方程式が
\begin{align}\partial_0 \phi(t,\boldsymbol y)&=\left\{\phi(t,\boldsymbol y),H\right\}\\\partial_0\pi(t,\boldsymbol y)&=\left\{\pi(t,\boldsymbol y),H\right\}\end{align}
と表されることを確認する。
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