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本ページでは…
本ページでは、不定計量空間とは何かを基礎から解説し、負のノルムを持つ状態がどのように現れるのかを見る。不定計量空間は場の量子論において重要な役割を果たし、特にスカラーモードの1粒子状態が負のノルムを持つことが特徴である。本記事では、その具体的な仕組みを途中式を省略せずに確認する。
前ページまで…
前ページでは、生成消滅演算子を用いてハミルトニアン\(\hat H\)と運動量演算子\(\hat{\boldsymbol P}\)が
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\omega_{\boldsymbol k}}{2}\sum_{\lambda=0} ^3\left\{-\eta_{\lambda\lambda}\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)-\eta_{\lambda\lambda}\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\right\}\\\hat{\boldsymbol{P}}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol{k}}{2}\sum_{\lambda=0} ^3\left\{-\eta_{\lambda\lambda}\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)-\eta_{\lambda\lambda}\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\right\}\end{align}
と表されることを見て、正規順序をとると
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \omega_{\boldsymbol k}\left\{-\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},0)\hat a(\boldsymbol{k},0)+\sum_{\lambda=1}^3\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\right\}\\\hat{\boldsymbol{P}}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \boldsymbol{k}\left\{-\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},0)\hat a(\boldsymbol{k},0)+\sum_{\lambda=1}^3\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\right\}\end{align}
となることを確認した。
内容
偏極ベクトルの分類
前ページでは、計算を簡便にするために規格直交化
\begin{align*}\epsilon_\nu(\boldsymbol k,\lambda)\epsilon^\nu{}^*(\boldsymbol k,\lambda’)&=\eta_{\lambda\lambda’}\tag{1}\end{align*}
された偏極ベクトル\(\epsilon^\nu(\boldsymbol k,\lambda)\)を用いた。
さらに計算を簡便にするために、\(\lambda=0\)の偏極ベクトルのみが時間成分を持ち、\(\lambda=1,2,3\)の偏極ベクトルは時間成分を持たず、\(\lambda=3\)の偏極ベクトルが運動量方向\((0,\boldsymbol k)\)を向くようにする。
このとき、偏極ベクトルが規格直交化されていることを考慮すると、\(\lambda=0\)の偏極ベクトルのみが時間成分を持つため、\(\lambda=0\)の偏極ベクトルは
\begin{align*}\epsilon^\nu(\boldsymbol k,0)&=(1,0,0,0)\\&=(1,\boldsymbol 0)\tag{2}\end{align*}
となり、スカラーモードと呼ぶ。また、\(\lambda=3\)の偏極ベクトルは運動量方向を向いているため、
\begin{align*}\epsilon^\nu(\boldsymbol k,3)&=\frac{1}{\vert\boldsymbol k\vert}(0,\boldsymbol k)\tag{3}\end{align*}
となり、縦波モードと呼ぶ。そして、\(\lambda=1,2\)の偏極ベクトルは運動量方向に垂直な方向を向いているため、次の関係
\begin{align*}\boldsymbol k\cdot\boldsymbol k’=\boldsymbol k\cdot\boldsymbol k'{}’=\boldsymbol k’\cdot\boldsymbol k'{}’=0\tag{4}\end{align*}
を満たすベクトル\(\boldsymbol k’\),\(\boldsymbol k'{}’\)を定義すると、\(\lambda=1,2\)の偏極ベクトルは
\begin{align*}\epsilon^\nu(\boldsymbol k,1)&=\frac{1}{\vert\boldsymbol k’\vert}(0,\boldsymbol k’)\tag{5}\\\epsilon^\nu(\boldsymbol k,2)&=\frac{1}{\vert\boldsymbol k'{}’\vert}(0,\boldsymbol k'{}’)\tag{6}\end{align*}
となり、横波モードとよぶ。
4元運動量は
\begin{align*}k^\nu&=(k^0,k^1,k^2,k^3)\\&=(\omega_{\boldsymbol k},\boldsymbol k)\tag{7}\\k_\nu&=(k_0,k_1,k_2,k_3)\\&=(k^0,-k^1,-k^2,-k^3)\\&=(\omega_{\boldsymbol k},-\boldsymbol k)\tag{8}\end{align*}
であり、光子は質量がゼロであるため
\begin{align*}k^0=\omega_{\boldsymbol k}=\vert\boldsymbol k\vert\tag{9}\end{align*}
が成り立つことを考慮すると、4元運動量と偏極ベクトルとのミンコフスキー内積は
\begin{align*}k_\nu\epsilon^\nu(\boldsymbol k,0)&=\omega_{\boldsymbol k}\tag{10}\\k_\nu\epsilon^\nu(\boldsymbol k,1)&=0\tag{11}\\k_\nu\epsilon^\nu(\boldsymbol k,2)&=0\tag{12}\\k_\nu\epsilon^\nu(\boldsymbol k,3)&=-\vert\boldsymbol k\vert=-\omega_{\boldsymbol k}\tag{13}\end{align*}
となる。
不定計量空間
正規順序をとったハミルトニアン\(\hat H\)は
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \omega_{\boldsymbol k}\left\{-\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},0)\hat a(\boldsymbol{k},0)+\sum_{\lambda=1}^3\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\right\}\tag{14}\end{align}
であり、第1項の符号が負であるからスカラーモードの1粒子状態\(\hat a^\dagger(\boldsymbol k,\lambda)\vert0\rangle\)は負のエネルギーを持つと思うかもしれない。しかし、次の生成消滅演算子の交換関係(前ページを参照)
\begin{align}[\hat a(\boldsymbol{k},\lambda),\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’},\lambda’)]&=-\eta_{\lambda\lambda’}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\tag{15}\end{align}
はスカラーモードのみ符号が逆になっているため、スカラーモードの1粒子状態も縦波モードや横波モードの1粒子状態のように正のエネルギーを持つ。このことは次のように確かめることができる。
はじめに、式(15)の交換関係を使うと、次の交換関係
\begin{align*}[\hat H,\hat a^\dagger(\boldsymbol k,\lambda)]=\omega_{\boldsymbol k}a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\tag{16}\end{align*}
\begin{align*}[\hat H,\hat a^\dagger(\boldsymbol k’,\lambda’)]&=\left[\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \omega_{\boldsymbol k}\left\{-\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},0)\hat a(\boldsymbol{k},0)+\sum_{\lambda=1}^3\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\hat a(\boldsymbol{k},\lambda)\right\},\hat a^\dagger(\boldsymbol k’,\lambda’)\right]\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \omega_{\boldsymbol k}\left\{-\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},0)[\hat a(\boldsymbol{k},0),\hat a^\dagger(\boldsymbol k’,\lambda’)]+\sum_{\lambda=1}^3\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)[\hat a(\boldsymbol{k},\lambda),\hat a^\dagger(\boldsymbol k’,\lambda’)]\right\}\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \omega_{\boldsymbol k}\left\{\eta_{0\lambda’}\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},0)\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)-\sum_{\lambda=1}^3\eta_{\lambda\lambda’}\hat a^\dagger(\boldsymbol{k},\lambda)\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)\right\}\\&=\omega_{\boldsymbol k’}(\eta_{0\lambda’}\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}’,0)-\sum_{\lambda=1}^3\eta_{\lambda\lambda’}\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}’,\lambda))\\&=\omega_{\boldsymbol k’}a^\dagger(\boldsymbol{k}’,\lambda’)\end{align*}
3行目への変形では生成消滅演算子の交換関係
\begin{align}[\hat a(\boldsymbol{k},\lambda),\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’},\lambda’)]&=-\eta_{\lambda\lambda’}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\end{align}
を用いた。
を導くことができ、先ほど述べたように、ハミルトニアン\(\hat H\)の第1項の符号のみ負になっているが、式(15)の交換関係もスカラーモードのみ符号が負になっているため、式(16)の交換関係の符号は全てのモードで正となっている。そして、式(16)の交換関係を用いれば
\begin{align*}\hat H \hat a^\dagger(\boldsymbol k,\lambda)\vert0\rangle=\omega_{\boldsymbol k}a^\dagger(\boldsymbol k,\lambda)\vert0\rangle\tag{17}\end{align*}
\begin{align*}\hat H \hat a^\dagger(\boldsymbol k,\lambda)\vert0\rangle&=\left([\hat H,\hat a^\dagger(\boldsymbol k,\lambda)]-\hat a^\dagger(\boldsymbol k,\lambda)\hat H\right)\vert0\rangle\rangle\\&=[\hat H,\hat a^\dagger(\boldsymbol k,\lambda)]\vert0\rangle\\&=\omega_{\boldsymbol k}\hat a^\dagger(\boldsymbol k,\lambda)\vert0\rangle\end{align*}
2行目への変形では真空状態のエネルギーがゼロ
\begin{align*}\hat H\vert0\rangle=0\end{align*}
であることを用い、3行目への変形では式(16)を用いた。
となって、全てのモードの1粒子状態は正のエネルギーを持つことがわかる。一方、1粒子状態のノルムを求めると
\begin{align*}\langle\boldsymbol k,\lambda\vert\boldsymbol k,\lambda\rangle&=-\eta_{\lambda\lambda}\delta(\boldsymbol 0)\tag{18}\end{align*}
\begin{align*}\langle\boldsymbol k,\lambda\vert\boldsymbol k,\lambda\rangle&=\langle0\vert\hat a(\boldsymbol k,\lambda)\hat a^\dagger(\boldsymbol k,\lambda)\vert0\rangle\\&=\langle0\vert\left([\hat a(\boldsymbol k,\lambda),\hat a^\dagger(\boldsymbol k,\lambda)]-\hat a^\dagger(\boldsymbol k,\lambda)\hat a(\boldsymbol k,\lambda)\right)\vert0\rangle\\&=\langle0\vert[\hat a(\boldsymbol k,\lambda),\hat a^\dagger(\boldsymbol k,\lambda)]\vert0\rangle\\&=-\eta_{\lambda\lambda}\delta(\boldsymbol k-\boldsymbol k)\\&=-\eta_{\lambda\lambda}\delta(\boldsymbol 0)\end{align*}
1行目の変形では生成消滅演算子で表した粒子状態
\begin{align*}\vert\boldsymbol k,\lambda\rangle&=\hat a^\dagger(\boldsymbol k,\lambda)\vert0\rangle\\\langle\boldsymbol k,\lambda\vert&=(\vert\boldsymbol k,\lambda\rangle)^\dagger\\&=\langle0\vert\hat a(\boldsymbol k,\lambda)\end{align*}
を用い、3行目への変形では
\begin{align*}\hat a(\boldsymbol k,\lambda)\vert0\rangle=0\end{align*}
を用い、4行目への変形では式(15)を用いた。
となって、スカラーモードの1粒子状態\(\vert\boldsymbol k,0\rangle\)は負のノルムを持つことがわかる。このように、負のノルムを持つ状態を含む内積空間を不定計量空間という。例えば、ミンコフスキー空間ではベクトルのノルムが負になることもあり、この意味でミンコフスキー空間も不定計量を持つ空間の例である。
正定値計量空間
負のノルムを持つ状態を含む不定計量空間に対して、負のノルムを持つ状態を含まない内積空間を正定値計量空間という。ユークリッド空間では、ベクトルのノルムは正またはゼロにしかならないため、この意味でユークリッド空間は正定値計量を持つ空間の例である。
これまで、ファインマンゲージ固定項を加えたラグランジアン密度\(\mathscr L\)から正準共役運動量を定義し、第2量子化によって生成消滅演算子で表したハミルトニアンを求めた。ここで、忘れてはいけないことは期待値の条件
\begin{align*}\langle\varPsi\vert\partial_\nu\hat A^\nu\vert\varPsi\rangle=0\tag{19}\end{align*}
である。この期待値の条件の下で、実は、非物理的状態の縦波モード\(\vert\boldsymbol k,3\rangle\)とノルムが負であるスカラーモード\(\vert\boldsymbol k,0\rangle\)は打ち消し合い、負のノルムを排除して正定値計量空間とすることができる。このことは次ページで確認する。
次ページから…
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