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本ページでは、電場\(\boldsymbol E\)と磁場\(\boldsymbol B\)の中で運動する電荷\(q\)の荷電粒子におけるラグランジアン\(L\)
\begin{align*}L=\frac{m}{2}\dot{\boldsymbol x}^2+q\dot{\boldsymbol x}\cdot\boldsymbol A-qA^0\tag{2}\end{align*}
とハミルトニアン\(H\)
\begin{align*}H&=\frac{1}{2m}(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+qA^0\end{align*}
を求める。
内容
荷電粒子との相互作用
電場\(\boldsymbol E\)と磁場\(\boldsymbol B\)の中で運動する電荷\(q\)の荷電粒子におけるラグランジアン\(L\)とハミルトニアン\(H\)を求める。
ラグランジアンの導出
初めに、ラグランジアン\(L\)を求める。電場\(\boldsymbol E\)と磁場\(\boldsymbol B\)の中で運動する電荷\(q\)の荷電粒子における運動方程式は
\begin{align*}\boldsymbol F=q(\boldsymbol E+\dot{\boldsymbol x}×\boldsymbol B)\tag{1}\end{align*}
であり、この運動方程式を導くラグランジアン\(L\)は
\begin{align*}L=\frac{m}{2}\dot{\boldsymbol x}^2+q\dot{\boldsymbol x}\cdot\boldsymbol A-qA^0\tag{2}\end{align*}
である。ここで、ドット\(\ \dot{}\ \ \)は時間微分を表しており、スカラーポテンシャル\(A^0\)とベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)は次の関係を満たす電磁ポテンシャルである。
\begin{align*}\boldsymbol E&=-\boldsymbol\nabla A^0-\frac{\partial \boldsymbol A}{\partial t}\tag{3}\\\boldsymbol B&=\boldsymbol\nabla×\boldsymbol A\tag{4}\end{align*}
式(2)のラグランジアン\(L\)が運動方程式(1)を導くことは、式(2)のラグランジアン\(L\)をラグランジュの運動方程式
\begin{align}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{\boldsymbol x}}-\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol x}=0\tag{5}\end{align}
に代入すれば分かる。実際に、代入してみると、まず、次の式
\begin{align}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{\boldsymbol x}}-\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol x}&=\frac{\text{d}}{\text{d}t}(m\dot{\boldsymbol x}+q\boldsymbol A)-q\frac{\partial}{\partial \boldsymbol x}\left(\dot{\boldsymbol x}\cdot\boldsymbol A-A^0\right)\\&=m\ddot{\boldsymbol x}+q\frac{d\boldsymbol A}{d t}-q\boldsymbol\nabla \left(\dot{\boldsymbol x}\cdot\boldsymbol A-A^0\right)\tag{6}\end{align}
が得られる。ここで、座標微分をナブラ
\begin{align*}\frac{\partial}{\partial \boldsymbol x}=\boldsymbol\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)\tag{7}\end{align*}
を用いて表している。次に、合成関数の微分公式
\begin{align*}\frac{d\boldsymbol A}{d t}&=\left(\frac{d\boldsymbol x}{dt}\cdot\frac{\partial }{\partial \boldsymbol x}\right)\boldsymbol A+\frac{\partial \boldsymbol A}{\partial t}\\&=\left(\dot{\boldsymbol x}\cdot\boldsymbol\nabla\right)\boldsymbol A+\frac{\partial \boldsymbol A}{\partial t}\tag{8}\end{align*}
とベクトル三重積の公式
\begin{align*}\dot{\boldsymbol x}×(\boldsymbol\nabla×\boldsymbol A)=\boldsymbol\nabla(\dot{\boldsymbol x}\cdot\boldsymbol A)-(\dot{\boldsymbol x}\cdot\boldsymbol\nabla)\boldsymbol A\tag{9}\end{align*}
を用いると、ラグランジュの運動方程式は次のように変形でき、運動方程式(1)が導かれることが分かる。
\begin{align}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{\boldsymbol x}}-\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol x}&=m\ddot{\boldsymbol x}+q\left(\dot{\boldsymbol x}\cdot\boldsymbol\nabla\right)\boldsymbol A+q\frac{\partial \boldsymbol A}{\partial t}-q\boldsymbol\nabla \left(\dot{\boldsymbol x}\cdot\boldsymbol A-A^0\right)\\&=m\ddot{\boldsymbol x}-q\left(-\boldsymbol\nabla A^0-\frac{\partial \boldsymbol A}{\partial t}+\dot{\boldsymbol x}×(\boldsymbol\nabla×\boldsymbol A)\right)\\&=\boldsymbol F-q(\boldsymbol E+\dot{\boldsymbol x}×\boldsymbol B)\\&=0\tag{10}\end{align}
一般化運動量
ラグランジアン\(L\)が求まったため、次に一般化運動量\(\boldsymbol p\)を求める。一般化運動量\(\boldsymbol p\)はラグランジアン\(L\)の\(\dot{\boldsymbol x}\)偏微分であり、次の形となる。
\begin{align*}\boldsymbol p&=\frac{\partial L}{\partial\dot{\boldsymbol x}}\\&=m\dot{\boldsymbol x}+q\boldsymbol A\tag{11}\end{align*}
式(11)を座標の時間微分\(\dot{\boldsymbol x}\)についての式に変形すると
\begin{align*}\dot{\boldsymbol x}=\frac{1}{m}(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)\tag{12}\end{align*}
となり、後でハミルトニアンを導出する際に用いる。
ハミルトニアンの導出
最後に、ハミルトニアン\(H\)を導出する。ハミルトニアン\(H\)は
\begin{align*}H&=\boldsymbol p\cdot\dot{\boldsymbol x}-L\tag{13}\end{align*}
の形をしているため、一般化運動量\(\boldsymbol p\)とラグランジアン\(L\)を代入すると
\begin{align*}H&=\boldsymbol p\cdot\dot{\boldsymbol x}-L\\&=m\dot{\boldsymbol x}^2+q\boldsymbol A\cdot\dot{\boldsymbol x}-\frac{m}{2}\dot{\boldsymbol x}^2-q\dot{\boldsymbol x}\cdot\boldsymbol A+qA^0\\&=\frac{m}{2}\dot{\boldsymbol x}^2+qA^0\tag{14}\end{align*}
となり、最後に式(12)を代入すると
\begin{align*}H&=\frac{1}{2m}(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+qA^0\tag{15}\end{align*}
となり、ハミルトニアンが求まる。
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