荷電粒子との相互作用

HOME電磁気学マクスウェル方程式 荷電粒子との相互作用

【前ページ】           【次ページ】


スポンサーリンク

本ページでは…

 本ページでは、電場\(\boldsymbol E\)と磁場\(\boldsymbol B\)の中で運動する電荷\(q\)の荷電粒子におけるラグランジアン\(L\)

\begin{align*}L=\frac{m}{2}\dot{\boldsymbol x}^2+q\dot{\boldsymbol x}\cdot\boldsymbol A-qA^0\tag{2}\end{align*}

とハミルトニアン\(H\)

\begin{align*}H&=\frac{1}{2m}(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+qA^0\end{align*}

を求める。

スポンサーリンク

内容

荷電粒子との相互作用

 電場\(\boldsymbol E\)と磁場\(\boldsymbol B\)の中で運動する電荷\(q\)の荷電粒子におけるラグランジアン\(L\)とハミルトニアン\(H\)を求める。

ラグランジアンの導出

 初めに、ラグランジアン\(L\)を求める。電場\(\boldsymbol E\)と磁場\(\boldsymbol B\)の中で運動する電荷\(q\)の荷電粒子における運動方程式は

\begin{align*}\boldsymbol F=q(\boldsymbol E+\dot{\boldsymbol x}×\boldsymbol B)\tag{1}\end{align*}

であり、この運動方程式を導くラグランジアン\(L\)は

\begin{align*}L=\frac{m}{2}\dot{\boldsymbol x}^2+q\dot{\boldsymbol x}\cdot\boldsymbol A-qA^0\tag{2}\end{align*}

である。ここで、ドット\(\ \dot{}\ \ \)は時間微分を表しており、\(A^0\)と\(\boldsymbol A\)は次の関係を満たすベクトルポテンシャルである。

\begin{align*}\boldsymbol E&=-\boldsymbol\nabla A^0-\frac{\partial \boldsymbol A}{\partial t}\tag{3}\\\boldsymbol B&=\boldsymbol\nabla×\boldsymbol A\tag{4}\end{align*}

 式(2)のラグランジアン\(L\)が運動方程式(1)を導くことは、式(2)のラグランジアン\(L\)をラグランジュの運動方程式

\begin{align}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{\boldsymbol x}}-\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol x}=0\tag{5}\end{align}

に代入すれば分かる。実際に、代入してみると、まず、次の式

\begin{align}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{\boldsymbol x}}-\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol x}&=\frac{\text{d}}{\text{d}t}(m\dot{\boldsymbol x}+q\boldsymbol A)-q\frac{\partial}{\partial \boldsymbol x}\left(\dot{\boldsymbol x}\cdot\boldsymbol A-A^0\right)\\&=m\ddot{\boldsymbol x}+q\frac{d\boldsymbol A}{d t}-q\boldsymbol\nabla \left(\dot{\boldsymbol x}\cdot\boldsymbol A-A^0\right)\tag{6}\end{align}

が得られる。ここで、座標微分をナブラ

\begin{align*}\frac{\partial}{\partial \boldsymbol x}=\boldsymbol\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)\tag{7}\end{align*}

を用いて表している。次に、合成関数の微分公式

\begin{align*}\frac{d\boldsymbol A}{d t}&=\left(\frac{d\boldsymbol x}{dt}\cdot\frac{\partial }{\partial \boldsymbol x}\right)\boldsymbol A+\frac{\partial \boldsymbol A}{\partial t}\\&=\left(\dot{\boldsymbol x}\cdot\boldsymbol\nabla\right)\boldsymbol A+\frac{\partial \boldsymbol A}{\partial t}\tag{8}\end{align*}

とベクトル三重積の公式

\begin{align*}\dot{\boldsymbol x}×(\boldsymbol\nabla×\boldsymbol A)=\boldsymbol\nabla(\dot{\boldsymbol x}\cdot\boldsymbol A)-(\dot{\boldsymbol x}\cdot\boldsymbol\nabla)\boldsymbol A\tag{9}\end{align*}

を用いると、ラグランジュの運動方程式は次のように変形でき、運動方程式(1)が導かれることが分かる。

\begin{align}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{\boldsymbol x}}-\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol x}&=m\ddot{\boldsymbol x}+q\left(\dot{\boldsymbol x}\cdot\boldsymbol\nabla\right)\boldsymbol A+q\frac{\partial \boldsymbol A}{\partial t}-q\boldsymbol\nabla \left(\dot{\boldsymbol x}\cdot\boldsymbol A-A^0\right)\\&=m\ddot{\boldsymbol x}-q\left(-\boldsymbol\nabla A^0-\frac{\partial \boldsymbol A}{\partial t}+\dot{\boldsymbol x}×(\boldsymbol\nabla×\boldsymbol A)\right)\\&=\boldsymbol F-q(\boldsymbol E+\dot{\boldsymbol x}×\boldsymbol B)\\&=0\tag{10}\end{align}

一般化運動量

 ラグランジアン\(L\)が求まったため、次に一般化運動量\(\boldsymbol p\)を求める。一般化運動量\(\boldsymbol p\)はラグランジアン\(L\)の\(\dot{\boldsymbol x}\)偏微分であり、次の形となる。

\begin{align*}\boldsymbol p&=\frac{\partial L}{\partial\dot{\boldsymbol x}}\\&=m\dot{\boldsymbol x}+q\boldsymbol A\tag{11}\end{align*}

式(11)を座標の時間微分\(\dot{\boldsymbol x}\)についての式に変形すると

\begin{align*}\dot{\boldsymbol x}=\frac{1}{m}(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)\tag{12}\end{align*}

となり、後でハミルトニアンを導出する際に用いる。

ハミルトニアンの導出

 最後に、ハミルトニアン\(H\)を導出する。ハミルトニアン\(H\)は

\begin{align*}H&=\boldsymbol p\cdot\dot{\boldsymbol x}-L\tag{13}\end{align*}

の形をしているため、一般化運動量\(\boldsymbol p\)とラグランジアン\(L\)を代入すると

\begin{align*}H&=\boldsymbol p\cdot\dot{\boldsymbol x}-L\\&=m\dot{\boldsymbol x}^2+q\boldsymbol A\cdot\dot{\boldsymbol x}-\frac{m}{2}\dot{\boldsymbol x}^2-q\dot{\boldsymbol x}\cdot\boldsymbol A+qA^0\\&=\frac{m}{2}\dot{\boldsymbol x}^2+qA^0\tag{14}\end{align*}

となり、最後に式(12)を代入すると

\begin{align*}H&=\frac{1}{2m}(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+qA^0\tag{15}\end{align*}

となり、ハミルトニアンが求まる。


【前ページ】          【次ページ】

HOME電磁気学マクスウェル方程式荷電粒子との相互作用