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本ページでは、合成系が量子もつれとなると部分系は混合状態となり、部分系において純粋状態から混合状態への変換は非ユニタリ変換となったが、この非ユニタリ変換を表すクラウス演算子を導出する。
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前ページでは、量子もつれの状態となった合成系の部分系に注目すると純粋状態から混合状態に移行するが、時間とともに重ね合わせは急速に失われていき(コヒーレント項は急速にゼロに近づき)量子デコヒーレンスする現象の緩和と呼ばれる現象を確認した。また、緩和には縦緩和(エネルギー緩和、またはT1緩和)と横緩和(位相緩和、またはT2緩和)が存在することをみた。
内容
クラウス測定とは
以前のページで見たが、純粋状態で表される複数の部分系が合成系を構成し、ユニタリ変換で表される相互作用を起こして量子もつれとなると、部分系は混合状態となり、部分系において純粋状態から混合状態への変換は非ユニタリ変換となった。これが、量子デコヒーレンスであり、非ユニタリ変換はクラウス演算子を用いて表される。
クラウス演算子の導出
合成系の純粋状態が\(\vert\varPsi_j,\varPhi_j\rangle\)のときを考える。このとき、合成系の密度行列\(\rho\)は
\begin{align*}\rho&=\vert\varPsi_j,\varPhi_j\rangle\langle\varPsi_j,\varPhi_j\vert\\&=(\vert\varPsi_j\rangle\otimes\vert\varPhi_j\rangle)(\langle\varPsi_j\vert\otimes\langle\varPhi_j\vert)\tag{1}\end{align*}
であり、部分系\(\varPsi\),\(\varPhi\)の密度行列\(\rho_\varPsi\),\(\rho_\varPhi\)はそれぞれ
\begin{align*}\rho_\varPsi&=\vert\varPsi_j\rangle\langle\varPsi_j\vert\tag{2}\\\rho_\varPhi&=\vert\varPhi_j\rangle\langle\varPhi_j\vert\tag{3}\end{align*}
と表せる。
次に、合成系の純粋状態\(\vert\varPsi_j,\varPhi_j\rangle\)がユニタリ演算子\(\hat{\boldsymbol U}\)による相互作用によって状態\(\vert\varPsi’_{j},\varPhi’_{j}\rangle\)になったとき、状態\(\vert\varPsi’_{j},\varPhi’_{j}\rangle\)は、
\begin{align*}\vert\varPsi’_j,\varPhi’_j\rangle&=\hat{\boldsymbol U}\vert\varPsi_j,\varPhi_j\rangle\\&=\hat{\boldsymbol U}(\vert\varPsi_j\rangle\otimes\vert\varPhi_j\rangle)\tag{4}\end{align*}
と表現でき、そのときの密度行列\(\rho’\)は
\begin{align*}\rho’&=\vert\varPsi’_j,\varPhi’_j\rangle\langle\varPsi’_j,\varPhi’_j\vert\\&=\hat{\boldsymbol U}(\vert\varPsi_j\rangle\otimes\vert\varPhi_j\rangle)(\langle\varPsi_j\vert\otimes\langle\varPhi_j\vert)\hat{\boldsymbol U}^\dagger\\&=\hat{\boldsymbol U}\rho\hat{\boldsymbol U}^\dagger\tag{5}\end{align*}
と表せた。
このときの部分系\(\varPsi\)の密度行列\(\rho’_\varPsi\)は、部分系\(\varPhi\)について部分トレース
\begin{align*}\rho’_\varPsi=\text{tr}_\varPhi(\rho’)\tag{6}\end{align*}
をとればよい。部分系\(\varPhi\)についての部分トレースは、単位行列\(\boldsymbol I\)と部分系\(\varPhi\)における基底ベクトル\(\vert u_i\rangle\)のテンソル積
\begin{align*}\boldsymbol I\otimes\vert u_i\rangle\tag{7}\end{align*}
で行列\(\rho’\)を挟んで総和\(\sum_i\)をとればよい。そのため、部分系\(\rho’_\varPsi\)は
\begin{align*}\rho’_\varPsi&=\text{tr}_\varPhi(\rho’)\\&=\sum_i(\boldsymbol I\otimes\langle u_i\vert)\rho'(\boldsymbol I\otimes\vert u_i\rangle)\\&=\sum_i(\boldsymbol I\otimes\langle u_i\vert)\hat{\boldsymbol U}(\vert\varPsi_j\rangle\otimes\vert\varPhi_j\rangle)(\langle\varPsi_j\vert\otimes\langle\varPhi_j\vert)\hat{\boldsymbol U}^\dagger(\boldsymbol I\otimes\vert u_i\rangle)\\&=\sum_i(\boldsymbol I\otimes\langle u_i\vert)\hat{\boldsymbol U}(\boldsymbol I\otimes\vert\varPhi_j\rangle)\vert\varPsi_j\rangle\langle\varPsi_j\vert(\boldsymbol I\otimes\langle\varPhi_j\vert)\hat{\boldsymbol U}^\dagger(\boldsymbol I\otimes\vert u_i\rangle)\\&=\sum_i \hat{\boldsymbol M}_i\rho_\varPsi\hat{\boldsymbol M}_i^\dagger\tag{8}\end{align*}
と表すことができ、最後の行に現れた
\begin{align*}\hat{\boldsymbol M}_i=(\boldsymbol I\otimes\langle u_i\vert)\hat{\boldsymbol U}(\boldsymbol I\otimes\vert\varPhi_j\rangle)\tag{9}\end{align*}
がクラウス演算子である。このクラウス演算子は部分系\(\varPsi\)におけるものであるが、部分系\(\varPhi\)におけるクラウス演算子は
\begin{align*}\hat{\boldsymbol M}_i=(\langle u_i\vert\otimes\boldsymbol I)\hat{\boldsymbol U}(\vert\varPsi_j\rangle\otimes\boldsymbol I)\tag{10}\end{align*}
であり、相互作用前の部分系の密度行列\(\rho_\varPsi\),\(\rho_\varPhi\)をクラウス演算子\(\hat{\boldsymbol M}_i\)で挟み総和\(\sum_i\)をとると相互作用後の部分系の密度行列\(\rho’_\varPsi\),\(\rho’_\varPhi\)になることが分かる。
※※※式(8)において、4番目の等号では次の関係
\begin{align*}\vert A\rangle\otimes\vert B\rangle&=(\boldsymbol I\otimes\vert B\rangle)\vert A\rangle\tag{11}\end{align*}
を用いた。この関係が成り立つことは、例えば、ブラ-ケットベクトル\(\vert A\rangle\),\(\vert B\rangle\)が2成分のベクトルだと仮定して、次のように計算すると分かる。
\begin{align*}\vert A\rangle\otimes\vert B\rangle&=\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array}\right)\otimes\left(\begin{array}{c}b_1\\b_2\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}a_1b_1\\a_1b_2\\a_2b_1\\a_2b_2\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}b_1&0\\b_2&0\\0&b_1\\0&b_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array}\right)\\&=\left(\left(\begin{array}{c}1&0\\0&1\end{array}\right)\otimes\left(\begin{array}{c}b_1\\b_2\end{array}\right)\right)\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array}\right)\\&=(\boldsymbol I\otimes\vert B\rangle)\vert A\rangle\tag{12}\end{align*}
※※※
クラウス演算子と測定確率
ここで、量子もつれ状態の合成系\(\vert\varPsi_j,\varPhi_j\rangle\)において、部分系\(\varPsi\)の密度行列\(\rho’_\varPsi\)は混合状態となっており、状態\(\vert\varPsi’_i\rangle\)とこの状態が測定させる確率\(p_i\)とを用いて
\begin{align*}\rho’_\varPsi&=\sum_i p_i\vert \varPsi’_i\rangle\langle\varPsi’_i\vert\tag{13}\end{align*}
と表すことができる。この式(13)と式(8)
\begin{align*}\rho’_\varPsi&=\sum_i \hat{\boldsymbol M}_i\rho_\varPsi\hat{\boldsymbol M}_i^\dagger\tag{8}\end{align*}
を見比べると、次の関係
\begin{align*}p_i\vert \varPsi’_i\rangle\langle\varPsi’_i\vert=\hat{\boldsymbol M}_i\rho_\varPsi\hat{\boldsymbol M}_i^\dagger\tag{14}\end{align*}
があることが分かる。次に、式(14)において両辺のトレースをとってみると、左辺は
\begin{align*}\text{tr}(p_i\vert \varPsi’_i\rangle\langle\varPsi’_i\vert)&=p_i\text{tr}(\vert \varPsi’_i\rangle\langle\varPsi’_i\vert)\\&=p_i\langle\varPsi’_i\vert\varPsi’_i\rangle\\&=p_i\tag{15}\end{align*}
となり、右辺は
\begin{align*}\text{tr}(\hat{\boldsymbol M}_i\rho_\varPsi\hat{\boldsymbol M}_i^\dagger)&=\text{tr}(\hat{\boldsymbol M}_i\hat{\boldsymbol M}_i^\dagger\rho_\varPsi)\tag{16}\end{align*}
となることから、次の関係
\begin{align*}p_i=\text{tr}(\hat{\boldsymbol M}_i\hat{\boldsymbol M}_i^\dagger\rho_\varPsi)\tag{17}\end{align*}
が得られ、ある状態\(\vert\varPsi’_i\rangle\)が測定される確率\(p_i\)は、相互作用前の状態\(\vert\varPsi_j\rangle\)の密度行列\(\rho_\varPsi\)にクラウス演算子\(\hat{\boldsymbol M}_i\),\(\hat{\boldsymbol M}^\dagger_i\)を作用させてトレースを取れば良いことが分かる。
※※※式(15)において、次の関係
\begin{align*}\text{tr}(\vert A\rangle\langle B\vert)=\langle A\vert B\rangle\tag{18}\end{align*}
を用いた。また、式(16)において、次の関係
\begin{align*}\text{tr}(\boldsymbol A\boldsymbol B)=\text{tr}(\boldsymbol B\boldsymbol A)\tag{19}\end{align*}
を用いた。※※※
クラウス演算子と測定後の状態
量子もつれ状態の合成系\(\vert\varPsi_j,\varPhi_j\rangle\)において、部分系\(\varPsi\)の密度行列\(\rho’_\varPsi\)は混合状態
\begin{align*}\rho’_\varPsi&=\sum_i p_i\vert \varPsi’_i\rangle\langle\varPsi’_i\vert\tag{13}\end{align*}
となっており、測定行為によってある状態\(\vert\varPsi’_i\rangle\)が測定されたとき、その密度行列は\(\vert\varPsi’_i\rangle\langle\varPsi’_i\vert\)となる。この密度行列は、状態\(\vert\varPsi’_i\rangle\)が測定される確率\(p_i\)を表す式(17)を式(14)に代入すると得られ、
\begin{align*}\vert \varPsi’_i\rangle\langle\varPsi’_i\vert&=\frac{\hat{\boldsymbol M}_i\rho_\varPsi\hat{\boldsymbol M}_i^\dagger}{p_i}\\&=\frac{\hat{\boldsymbol M}_i\rho_\varPsi\hat{\boldsymbol M}_i^\dagger}{\text{tr}(\hat{\boldsymbol M}_i\hat{\boldsymbol M}_i^\dagger\rho_\varPsi)}\tag{20}\end{align*}
となり、\(\rho_\varPsi=\vert \varPsi_j\rangle\langle\varPsi_j\vert\)であることに注意すると測定後の状態\(\vert\varPsi’_i\rangle\)は
\begin{align*}\vert \varPsi’_i\rangle=\frac{\hat{\boldsymbol M}_i\vert\varPsi_j\rangle}{\sqrt{\text{tr}(\hat{\boldsymbol M}_i\hat{\boldsymbol M}_i^\dagger\rho_\varPsi)}}\tag{21}\end{align*}
と求まる。
次ページから…
次ページでは、物理量\(Q\)の測定を行なって結果が\(q_k\)であったとき、その測定の直後に再び物理量\(Q\)の測定を行なっても結果が同様に\(q_k\)となる測定である射影測定をみる。
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