HOME ＞ 解析力学 ＞ 不変性と保存量 ＞ ローレンツ不変性と全角運動量保存
【前ページ】 【次ページ】
本ページでは…
本ページでは、場の理論におけるネーターの定理を用いることによりローレンツ不変性から全角運動量保存則が導かれることを確認する。
前ページまで…
前ページでは、場の理論におけるネーターの定理を用いることにより時空並進不変性から全エネルギー運動量保存則が導かれることを確認した。
内容
ローレンツ不変性
ローレンツ不変性は「時空座標を回転させても物理法則は変わらない」ことを意味する。
このことをグラフで考えてみよう。横軸を時空座標\(x\)、縦軸を場\(\phi\)として運動方程式を描くと、この運動方程式の各点はラグランジアン密度\(\mathscr L\)の値を持ち、その値は場\(\phi\)と場の時空微分\(\partial \phi\)によって決まる。そして、時空座標\(x\)を無限小ローレンツ定数\(\Delta\omega^\mu{}_\nu\)を用いて回転させる。このとき、場\(\phi\)の無限小変換は
\begin{align}\phi(x)\rightarrow\phi(x+\Delta\omega\cdot x)=\phi(x)+\Delta\omega^\mu{}_\nu x^\nu\partial_\mu \phi(x)=\phi(x)+\delta_J\phi(x)\tag{1}\end{align}
となり、ローレンツ不変性はこの時に作用積分\(S\)が変わらないことに対応する。このとき、場\(\phi\)の無限小変化量は
\begin{align*}\delta_J\phi&=\Delta\omega^\rho{}_\nu x^\nu\partial_\rho\phi\\&=\eta^{\rho\lambda}\Delta\omega_{\lambda\nu} x^\nu\partial_\rho\phi\\&=\Delta\omega_{\lambda\nu} x^\nu\partial^\lambda\phi\tag{2}\end{align*}
となる。また、このときのラグランジアン密度の微小変化は
\begin{align}\delta_J\mathscr L&=\partial_\mu(\Delta\omega^\mu{}_\nu x^\nu\mathscr L)\tag{3}\end{align}
\begin{align}\delta_J\mathscr L&=\mathscr L(\phi(x+\Delta\omega\cdot x))-\mathscr L(\phi(x))\\&=\Delta\omega^\mu{}_\nu x^\nu\partial_\mu\mathscr L\\&=\partial_\mu(\Delta\omega^\mu{}_\nu x^\nu\mathscr L)-\Delta\omega^\mu{}_\nu \mathscr L\partial_\mu x^\nu\\&=\partial_\mu(\Delta\omega^\mu{}_\nu x^\nu\mathscr L)-\Delta\omega^\mu{}_\nu \mathscr L\delta_\mu{}^\nu\\&=\partial_\mu(\Delta\omega^\mu{}_\nu x^\nu\mathscr L)-\Delta\omega^\nu{}_\nu \mathscr L\\&=\partial_\mu(\Delta\omega^\mu{}_\nu x^\nu\mathscr L)\tag{3}\end{align}
3行目への変形では部分積分を行ない、6行目への変形では無限小ローレンツ定数\(\Delta\omega^\nu{}_\nu \)がゼロになること
\begin{align*}\Delta\omega^\nu{}_\nu=0\end{align*}
を用いた。この式が成り立つことは、次のように確かめられる。計量テンソル\(\eta^{\mu\nu}\)を用いて無限小ローレンツ定数\(\Delta\omega^\nu{}_\nu\)を次のように変形した式
\begin{align*}\Delta\omega^\nu{}_\nu =\eta^{\mu\nu}\Delta\omega_{\mu\nu}\end{align*}
において、添字\(\mu\nu\)に関して計量テンソル\(\eta^{\mu\nu}\)が対称で無限小ローレンツ定数\(\Delta\omega_{\mu\nu}\)が反対称であることに注意すると、上式の右辺の添字\(\mu\)と\(\nu\)を入れ替えた式が
\begin{align*}\Delta\omega^\nu{}_\nu &=\eta^{\nu\mu}\Delta\omega_{\nu\mu}\\&=-\eta^{\mu\nu}\Delta\omega_{\mu\nu}\end{align*}
となることから、無限小ローレンツ定数\(\Delta\omega^\nu{}_\nu\)がゼロとなることがわかる。
となるため、次の関係(前ページを参照)
\begin{align*}\delta_J\mathscr L=\partial_\mu K^\mu\tag{4}\end{align*}
を満たす関数\(K^\mu\)は
\begin{align*}K^\mu&=\Delta\omega^\mu{}_\nu x^\nu\mathscr L\\&=\eta^{\mu\lambda}\Delta\omega_{\lambda\nu}x^\nu\mathscr L\tag{5}\end{align*}
となる。
ローレンツ不変性と全角運動量保存
それでは、ローレンツ不変性が全角運動量保存則と関係していることをネーターの定理から導く。
ラグランジアン密度として次の形(以前のページを参照)
\begin{align}\mathscr{L}=\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4\tag{6}\end{align}
を仮定したとき、式(2)と式(4)をネーター電荷の式(以前のページを参照)
\begin{align*}N^\mu=\sum_{i=1}^n\delta_J \phi_i\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial_\mu\phi_i)}-K^\mu\tag{7}\end{align*}
に代入すると、エネルギー運動量テンソル\(T ^{\mu\nu}\)
\begin{align}T ^{\mu\nu}=\partial^\mu \phi\partial^\nu\phi-\eta^{\mu\nu}\mathscr{L}\tag{8}\end{align}
を用いてネーターカレントは
\begin{align}N^\mu&=\frac{1}{2}\Delta\omega_{\lambda\nu}( x^\nu T^{\mu\lambda}- x^\lambda T^{\mu\nu})\tag{9}\end{align}
\begin{align}N^\mu&=\delta_J \phi\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial_\mu\phi)}-K^\mu\\&=\Delta\omega_{\lambda\nu} x^\nu\partial^\lambda\phi\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu\phi)}\left(\frac{1}{2}\partial_\rho\phi\partial^\rho\phi\right)-\eta^{\mu\lambda}\Delta\omega_{\lambda\nu} x^\nu\mathscr L\\&=\Delta\omega_{\lambda\nu} x^\nu\partial^\lambda\phi\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu\phi)}\left(\frac{1}{2}\eta^{\rho\kappa}\partial_\rho\phi\partial_\kappa\phi\right)-\eta^{\mu\lambda}\Delta\omega_{\lambda\nu} x^\nu\mathscr L\\&=\Delta\omega_{\lambda\nu} x^\nu\partial^\lambda\phi\frac{1}{2}\eta^{\rho\kappa}\left\{\frac{\partial\left(\partial_\rho\phi\right)}{\partial (\partial_\mu\phi)}\partial_\kappa\phi+\partial_\rho\phi\frac{\partial\left(\partial_\kappa\phi\right)}{\partial (\partial_\mu\phi)}\right\}-\eta^{\mu\lambda}\Delta\omega_{\lambda\nu} x^\nu\mathscr L\\&=\Delta\omega_{\lambda\nu} x^\nu\partial^\lambda\phi\frac{1}{2}\eta^{\rho\kappa}\left(\delta_\rho{}^\mu\partial_\kappa\phi+\partial_\rho\phi\delta_\kappa{}^\mu\right)-\eta^{\mu\lambda}\Delta\omega_{\lambda\nu} x^\nu\mathscr L\\&=\Delta\omega_{\lambda\nu} x^\nu\partial^\lambda\phi\partial^\mu\phi-\eta^{\mu\lambda}\Delta\omega_{\lambda\nu} x^\nu\mathscr L\\&=\Delta\omega^\mu{}_\nu x^\nu(\partial^\mu\phi\partial^\lambda\phi-\eta^{\mu\lambda}\mathscr L)\\&=\Delta\omega_{\lambda\nu} x^\nu T^{\mu\lambda}\\&=\frac{1}{2}\Delta\omega_{\lambda\nu} (x^\nu T^{\mu\lambda}+ x^\lambda T^{\mu\nu})+\frac{1}{2}\Delta\omega_{\lambda\nu}( x^\nu T^{\mu\lambda}- x^\lambda T^{\mu\nu})\\&=\frac{1}{2}\Delta\omega_{\lambda\nu}( x^\nu T^{\mu\lambda}- x^\lambda T^{\mu\nu})\end{align}
3行目への変形では計量テンソル\(\eta^{\rho\kappa}\)を用いて上付き添字を下付き添字に変え(以前のページを参照)、4行目への変形では積の微分公式を用い、8行目への変形ではエネルギー運動量テンソル\(T ^{\mu\nu}\)
\begin{align}T ^{\mu\nu}=\partial^\mu \phi\partial^\nu\phi-\eta^{\mu\nu}\mathscr{L}\end{align}
を用いて表わし、10行目への変形では
\begin{align*}\frac{1}{2}\Delta\omega_{\lambda\nu}( x^\nu T^{\mu\lambda}+ x^\lambda T^{\mu\nu})=0\end{align*}
を用いた。この式が成り立つことは、添字\(\lambda\)と\(\nu\)を入れ替えると
\begin{align*}\frac{1}{2}\Delta\omega_{\lambda\nu}( x^\nu T^{\mu\lambda}+ x^\lambda T^{\mu\nu})&=\frac{1}{2}\Delta\omega_{\nu\lambda}( x^\lambda T^{\mu\nu}+ x^\nu T^{\mu\lambda})\\&=-\frac{1}{2}\Delta\omega_{\lambda\nu}( x^\nu T^{\mu\lambda}+ x^\lambda T^{\mu\nu})\end{align*}
となることから分かる(最後の変形では無限小ローレンツ定数\(\omega_{\lambda\nu}\)が反対称\(\omega_{\lambda\nu}=-\omega_{\nu\lambda}\)であることを用いた)。
となり、ネーターカレント\(N^\mu\)は流れの保存
\begin{align*}\partial_\mu N^\mu=0\tag{10}\end{align*}
を満たす。ここで、次のようなテンソル\(\mathscr{M}^{\mu\lambda\nu}\)
\begin{align}\mathscr{M}^{\mu\lambda\nu}=x^\lambda T^{\mu\nu}-x^\nu T^{\mu\lambda}\tag{11}\end{align}
を定義すると、ネーターカレントは
\begin{align*}N^\mu=\frac{1}{2}\Delta\omega_{\lambda\nu}\mathscr{M}^{\mu\lambda\nu}\tag{12}\end{align*}
となる。場の理論におけるネーターの定理より、このネーターカレント\(N^\mu\)の時間成分(\(\mu=0\))を空間積分した量\(Q\)
\begin{align}Q&=\frac{1}{2}\Delta\omega_{\lambda\nu}\int{d}^3x\ \mathscr{M}^{0\lambda\nu}\\&=\Delta\omega_{\lambda\nu}\int{d}^3x\ \left(x^\lambda T^{0\nu}-x^\nu T^{0\lambda}\right)\tag{13}\end{align}
が保存量となり、角運動量\(J^{\lambda\nu}\)
\begin{align}J^{\lambda\nu}&=\int{d}^3x\ \left(x^\lambda T^{0\nu}-x^\nu T^{0\lambda}\right)\tag{14}\end{align}
を定義して保存量\(Q\)を表すと
\begin{align*}Q=\frac{1}{2}\Delta\omega_{\lambda\nu}J^{\lambda\nu}\tag{15}\end{align*}
となる。よって、全角運動量保存則の背景にはローレンツ不変性があり、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)の具体的な表式は必要なく、必要なことは無限小変換で作用積分が不変であることだけである。
ここで、角運動量\(J^{ij}(i,j=1,2,3)\)を計算すると
\begin{align}J^{ij}&=\int{d}^3x\ \mathscr{M}^{0ij}\\&=\int{d}^3x\ \left(x^i T^{0j}-x^j T^{0i}\right)\\&=\int{d}^3x\ \left\{x^i (\partial^0 \phi\partial^j\phi-\eta^{0j}\mathscr{L})-x^j (\partial^0 \phi\partial^i\phi-\eta^{0i}\mathscr{L})\right\}\\&=\int{d}^3x\ \left\{x^i (\pi\partial^j\phi)-x^j (\pi \phi\partial^i\phi)\right\}\\&=\int{d}^3x\ \pi\left(x^i\partial^j-x^j\partial^i\right)\phi\tag{16}\end{align}
となる。ここで、正準共役運動量の定義式
\begin{align}\pi=\partial^0\phi\tag{17}\end{align}
を用いており、後ほどのページで角運動量\(J^{ij}(i,j=1,2,3)\)が空間回転の生成子になることを確認する。
次ページから⋯
次ページでは、ネーターの定理を用いることにより時間並進不変性から全エネルギー保存則が導かれることを確認する。
【前ページ】 【次ページ】
HOME ＞ 解析力学 ＞ 不変性と保存量 ＞ ローレンツ不変性と全角運動量保存
