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本ページでは…
本ページでは、E-B対応において電流から磁束が生じ、次の式を満たす磁束密度\(\boldsymbol B\)が磁束から生じると定義する。
前ページまで…
前ページでは、E-B対応において自由電流から磁気力線が生じ、次のアンペールの法則を満たす磁場\(\boldsymbol H\)が磁気力線から生じると定義した。
内容
源場と力場
E-B対応(以前のページを参照)において、離れた2つの電流の間に力が働くとき、電磁気学では直接的に力が働くと考えるのではなく、「①電流が源場を作る」、｢②源場から力場が生じる｣、「③力場が電流に力を与える」という3ステップで力が働くと考える。
前ページでは｢①電流が源場を作る｣ステップについて｢自由電流が源場である磁場を作る｣ことを見たが、本ページでは「③力場が電流に力を与える」ステップについて考え、｢②源場から力場が生じる｣ステップについては次ページで述べる。
電流に力を与える力場を磁束密度\(\boldsymbol B\)といい、電流\( I\)が流れる長さ\(\vert \boldsymbol L\vert\)の導線が受ける力\(\boldsymbol F\)を用いて次式
を満たすように定義する。また、自由電流と磁化電流からは磁束という仮想的な線が出て、力場である磁束密度を作ると考える。式(1)より、磁束密度の単位は\(\text N\cdot\text A^{-1} \text m^{-1}\)である。
なぜ、磁束密度\(\boldsymbol B\)を上記の式のように定義するかというと、後のページで見るが、実験で確かめられたアンペールの法則がこの定義から導かれるようにするためである。
最も注意すべきことは、磁場\(\boldsymbol H\)は自由電流のみを考えるが、磁束密度\(\boldsymbol B\)は自由電流と磁化電流の両方を考えることである。磁場\(\boldsymbol H\)と磁束密度\(\boldsymbol B\)で対象とする電流が異なっているため、一見、磁場\(\boldsymbol H\)と磁束密度\(\boldsymbol B\)は無関係と思うかもしれないが、次ページでは透磁率\(\mu\)でこの2つの物理量が結びつくことを見る。
磁束
磁気力線のルールと似た以下のルールを磁束は満たす。
ルール①
磁束に湧き出し源はない。
ルール②
磁気力線は途切れたり、別の磁気力線と交わったりしない。
ルール③
電流(自由電流と磁化電流)の向きを右ねじが進む向きとしたとき、電流から生じる磁束の向きはねじが回転する向きとなる。
ルール④
磁束の量を透磁率\(\mu\)で割ると磁気力線の量となる。
※このことは、磁束および磁気力線それぞれの密度である磁束密度\(\boldsymbol B\)と磁場\(\boldsymbol H\)とが次の関係
を満たすこと(次ページを参照)から分かる。
ルール⑤
磁束の単位は\(\text N\text m\cdot\text A^{-1}\)である。
※磁場のルール①およびルール③から導出できる。
磁束密度
磁場のルールと似た以下のルールを磁束密度は満たす。
ルール①
向きが磁束の向きであり、大きさが単位面積当たりの磁束である｢磁束密度\(\boldsymbol B\)｣を定義できる。磁束密度は力場である。
ルール②
電流に弱い力が働く場所では磁束の密度は疎に、電流に強い力が働く場所では密となる。つまり、磁束の密度である磁束密度\(\boldsymbol B\)は電流に作用する場の強さを表す。
ルール③
電流\( I\)が流れる長さ\(\vert \boldsymbol L\vert\)の導線が受ける力\(\boldsymbol F\)を用いて、磁束密度\(\boldsymbol B\)は次の式を満たすように定義される。
ルール④
自由電流が作る磁束密度\(\boldsymbol B_0\)・磁化電流が作る磁束密度\(\boldsymbol B_{\text m}\)・全電流が作る磁場\(\boldsymbol B\)と面積素\(d\boldsymbol S\)との内積を閉曲線\(C\)上で足し合わせたものは、閉曲線\(C\)を縁とした曲面\(S\)を貫く自由電流の総和\(I_{\text f}\)・磁化電流の総和\(I_{\text b}\)・全電流の総和\(I\)に透磁率\(\mu_0\)を掛けたで値となる。
※これはアンペールの法則である。式(3)が成り立つことは、磁場が満たすアンペールの法則(前ページを参照)
と、真空状態における磁束密度\(\boldsymbol B_0\)と磁場\(\boldsymbol H\)との関係(次ページを参照)
から成り立つことが分かる。式(4)と式(5)は磁化電流と全電流に拡張したものでありる。
※線素\(d\boldsymbol l\)はベクトルであり、大きさは微小距離\(dl\)の値に等しく、向きは微小距離\(dl\)の接線の向きに等しい。
※アンペールの法則は、電流\(I\)の周りをどのような経路で周っても磁束密度\(\boldsymbol B\)の線素方向成分を足し合わせた値は電流\(I\)の大きさに透磁率\(\mu_0\)を掛けた値になることを示している。そのため、アンペールの法則では磁束密度\(\boldsymbol B\)と線素\(d\boldsymbol l\)との内積をとる。
ルール⑤
磁束密度\(\boldsymbol B\)と面積素\(d\boldsymbol S\)との内積を閉曲面\(S\)上で足し合わせたものは、ゼロとなる。
※これはガウスの法則であり、磁束のルール①とルール②とルール③を数式で表したものである。
※面積素\(d\boldsymbol S\)はベクトルであり、大きさは微小面積\(dS\)の値に等しく、向きは微小面積\(dS\)の法線の向きに等しい。
※磁束密度\(\boldsymbol B\)と面積素\(d\boldsymbol S\)の内積をとる理由は、面積素\(d\boldsymbol S\)の向きが磁束密度\(\boldsymbol B\)の向きから傾けば傾くほど微小面積\(dS\)を貫く磁束の量が減るからである。
※閉曲面をただ貫くような電気力線は閉曲面内の電荷とは無関係である。
※全ての磁束は閉曲面をただ貫くだけである。
ルール⑥
磁束密度\(\boldsymbol B\)の単位は\(\text N\cdot\text A^{-1} \text m^{-1}\)である。
次ページから…
次ページでは、源場である磁場\(\boldsymbol H\)と力場である磁束密度\(\boldsymbol B\)が透磁率\(\mu\)を用いて次の関係
があり、特に真空状態では真空の透磁率\(\mu_0\)を用いて
となることを見る。
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