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本ページでは…
本ページでは、複素場の理論において、連続的な無限小変換によって作用積分\(S\)が変わらない、つまり、物理法則が変わらないとき、ネーターカレント\(N^\mu\)
\begin{align*}N^\mu=\delta_Q \varPhi\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial _\mu \varPhi)}+\delta_Q \varPhi^*\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial _\mu \varPhi^*)}-K^\mu\end{align*}
における流れの保存
\begin{align*}\partial_\mu N^\mu=0\end{align*}
が成り立つことを表す｢複素場の理論におけるネーターの定理｣を導く。ここで、関数\(K^\mu\)は次の関係
\begin{align*}\delta_Q\mathscr L=\partial_\mu K^\mu\end{align*}
を満たすものである。
また、このとき、\(N^0\)の空間積分で表される物理量\(Q\)
\begin{align*}Q=\int d^3\boldsymbol x\ N^0\end{align*}
は次の関係式
\begin{align*}\frac{d}{dt}Q=0\end{align*}
を満たし、保存量となることを確認する。
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前ページでは、ハミルトン力学におけるネーターの定理を用いることにより、全角運動量保存則からローレンツ不変性が導かれることを確認し、角運動量\({\boldsymbol L}^{\lambda\nu}\)はローレンツ変換の生成子であることを確認した。
内容
ネーターの定理とネーターカレント
以前のページでは、場の理論において系に連続的な不変性(不変性ではなく、対称性ともいう)が存在するとき、ネーターカレント\(N^\mu\)
\begin{align*}N^\mu=\sum_{i=1}^n\delta_Q \phi_i\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial _\mu \phi_i)}-K^\mu\tag{1}\end{align*}
と呼ばれる物理量が流れの保存
\begin{align*}\partial_\mu N^\mu=0\tag{2}\end{align*}
を満たし、\(N^0\)の空間積分を物理量\(Q\)
\begin{align*}Q=\int d^3\boldsymbol x\ N^0\tag{3}\end{align*}
としたとき、次の関係式
\begin{align*}\frac{d}{dt}Q=0\tag{4}\end{align*}
を満たして物理量\(Q\)は保存量となることを確認した。
複素場の理論においても、次のネーターカレント
\begin{align*}N^\mu=\delta_Q \varPhi\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial _\mu \varPhi)}+\delta_Q \varPhi^*\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial _\mu \varPhi^*)}-K^\mu\tag{5}\end{align*}
は流れの保存の式(2)を満たし、\(N^0\)の空間積分した物理量\(Q\)は保存量となる。これが複素場の理論におけるネーターの定理である。場の理論における連続的な不変性には、時空並進不変性やローレンツ不変性などが存在したが、複素場の理論では加えて位相変換不変性なども存在する。
複素場の理論におけるネーターカレントにおいて\(K^\mu\)項を除く項が2つ現れたのは複素場に2つの自由度があるからであり、場の理論のネーターカレントにおいても自由度\(i\)の数だけ\(K^\mu\)項を除く項があった。
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次ページでは、複素場の理論におけるネーターの定理を用いることにより時空並進不変性から全エネルギー運動量保存則が導かれることを確認する。
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