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本ページでは、ある物理量\(A(q,p)\)を連続的に無限小変換してハミルトニアン\(H\)が変わらない、つまり、物理法則が変わらないとき、その無限小変換において保存量であるネーター電荷\(N\)
\begin{align*}N=\sum_{i=1}^n\delta_N q_i\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}+\delta_N t\left\{L-\left(\sum_{i=1}^n\dot q_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right)\right\}\end{align*}
を用いて、その無限小変化量が
\begin{align*}\delta_NA(q,p)&=-\{N,A(q,p)\}\end{align*}
となることを表すハミルトン力学におけるネーターの定理を導く。また、量子力学において、無限小変化量は
\begin{align*}\delta_NA(q,p)&=\frac{i}{\hbar}[\hat N,\hat A(\hat q,\hat p)]\end{align*}
と表されることも確認する。
前ページまで…
前ページでは、ネーターの定理を用いることにより空間回転不変性から全角運動量保存則が導かれることを確認した。
内容
ハミルトン力学におけるネーターの定理
ある連続的な無限小変換において不変性が存在するとき、ラグランジュ力学におけるネーターの定理から、対応する保存量\(N\)(ネーター電荷)
\begin{align*}N=\sum_{i=1}^n\delta_N q_i\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}+\delta_N t\left\{L-\left(\sum_{i=1}^n\dot q_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right)\right\}\tag{1}\end{align*}
が導かれた。
実は、この逆の関係も成り立つ。ハミルトニアン\(H\)が変わらない、つまり、物理法則が変わらない連続的な無限小変換の下で、ある保存量\(N\)(ネーター電荷)が存在するとき、ハミルトン力学におけるネーターの定理から、その不変性に対応する無限小変化量
\begin{align*}\delta_NA(q,p)&=-\{N,A(q,p)\}\tag{2}\end{align*}
が得られる。ネーター電荷\(N\)は無限小変換を生み出しているため、無限小変換の生成子と呼ばれる。
ネーターの定理の導出
保存量と無限小変換の関係性を表すハミルトン力学におけるネーターの定理を導く。
一般化座標\(q_i\)と一般化運動量\(p_{i}\)が次のような無限小変換
\begin{align}q_i&\rightarrow q’_i=q_i+\delta_N q_i\tag{3}\\p_{i}&\rightarrow p’_{i}=p_{i}+\delta_Np_{i}\tag{4}\end{align}
するとき、ハミルトニアンの変化量\(\delta_N H\)は
\begin{align*}\delta_N H&=\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial H}{\partial q_i}\delta_N q_i+\frac{\partial H}{\partial p_i}\delta_N p_i\right)\tag{5}\end{align*}
となり、この無限小変換によって物理法則が変わらない、つまり、ハミルトニアン\(H\)が変わらないとき、
\begin{align*}\delta_N H&=\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial H}{\partial q_i}\delta_N q_i+\frac{\partial H}{\partial p_i}\delta_N p_i\right)\\&=0\tag{6}\end{align*}
が成り立つ。ここで、ネーター電荷\(N\)の時間微分を計算すると
\begin{align*}\frac{dN}{dt}&=\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial N}{\partial q_i}\frac{dq_i}{dt}+\frac{\partial N}{\partial p_i}\frac{dp_i}{dt}\right)+\frac{\partial N}{\partial t}\\&=\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial N}{\partial q_i}\dot q_i+\frac{\partial N}{\partial p_i}\dot p_i\right)+\frac{\partial N}{\partial t}\\&=\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial N}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial N}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\right)+\frac{\partial N}{\partial t}\\&=-\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial N}{\partial p_i}-\frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial N}{\partial q_i}\right)+\frac{\partial N}{\partial t}\tag{7}\end{align*}
となるが、ネーター電荷\(N\)は保存量であるため次式
\begin{align*}\frac{dN}{dt}=0\tag{8}\end{align*}
が成り立ち、また、ネーター電荷が陽に時間\(t\)に依存していない(直接的に時間\(t\)を含んでいない)とき
\begin{align*}\frac{\partial N}{\partial t}=0\tag{9}\end{align*}
となるから、式(7)は
\begin{align*}\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial N}{\partial p_i}-\frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial N}{\partial q_i}\right)=0\tag{10}\end{align*}
となる。式(6)と式(10)を見比べると
\begin{align*}\delta_N q_i&=\frac{\partial N}{\partial p_i}\tag{11}\\\delta_N p_i&=-\frac{\partial N}{\partial q_i}\tag{12}\end{align*}
が成り立つことが分かり、それぞれ式変形を続けていくと不変性に対応する無限小変化量がポアソン括弧を用いて次のように得られる。
\begin{align*}\delta_Nq_i&=\frac{\partial N}{\partial p_i}\\&=-\sum_{j=1}^n\left(\frac{\partial N}{\partial q_j}\frac{\partial q_i}{\partial p_j}-\frac{\partial N}{\partial p_j}\frac{\partial q_i}{\partial q_j}\right)\\&=-\{N,q_i\}\tag{13}\\\delta_Np_i&=-\frac{\partial N}{\partial q_i}\\&=-\sum_{j=1}^n\left(\frac{\partial N}{\partial q_j}\frac{\partial p_i}{\partial p_j}-\frac{\partial N}{\partial p_j}\frac{\partial p_i}{\partial q_j}\right)\\&=-\{N,p_i\}\tag{14}\end{align*}
ここで、式(13)と式(14)において2行目への変形では次の関係式
\begin{align*}\frac{\partial q_i}{\partial q_j}&=\frac{\partial p_i}{\partial p_j}=\delta_{ij}\tag{15}\\\frac{\partial q_i}{\partial p_j}&=\frac{\partial p_i}{\partial q_j}=0\tag{16}\end{align*}
を用い、3行目への変形ではポアソン括弧の定義式
\begin{align}\left\{A,B\right\}=\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial B}{\partial q_i}\right)\tag{17}\end{align}
を用いた。
式(13)と式(14)はまとめることができ、\(q_i\)と\(p_i\)から成る関数\(A(q,p)\)の無限小変化量を計算すると
\begin{align*}\delta_N A(q,p)&=\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial A(q,p)}{\partial q_i}\delta_N q_i+\frac{\partial A(q,p)}{\partial p_i}\delta_N p_i\right)\\&=\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial A(q,p)}{\partial q_i}\frac{\partial N}{\partial p_i}-\frac{\partial A(q,p)}{\partial p_i}\frac{\partial N}{\partial q_i}\right)\\&=-\{N,A(q,p)\}\tag{18}\end{align*}
となり、ネーター電荷\(N\)は無限小変換を生み出しているため、無限小変換の生成子と呼ばれる。ここで、式(18)において、2行目への変形では式(11)と式(12)を用い、3行目への変形ではポアソン括弧の定義式(17)を用いた。
この式(18)が表すことは、ある物理量\(A(q,p)\)を連続的に無限小変換して物理法則が変わらないとき、｢その無限小変換において保存量であるネーター電荷\(N\)｣と｢物理量\(A(q,p)\))｣とのポアソン括弧から物理量\(A(q,p)\)の無限小変換が得られるということである。
量子力学におけるネーターの定理
正準量子化を行なうと、次のようにポアソン括弧を交換関係に変形できることを以前のページで見た。
\begin{align*}\{A,B\}=\frac{1}{i\hbar}[\hat A,\hat B]\tag{19}\end{align*}
ここで、無限小変化量の式(18)を正準量子化すると量子力学における無限小変化量の式
\begin{align*}\delta_NA(q,p)&=-\{N,A(q,p)\}\\&=\frac{i}{\hbar}[\hat N,\hat A(\hat q,\hat p)]\tag{20}\end{align*}
が得られる。この式が表すことは、ある物理量\(A(q,p)\)を連続的に無限小変換して物理法則が変わらないとき、｢その無限小変換において保存量であるネーター電荷の演算子\(\hat N\)｣と｢物理量\(A(q,p)\)の演算子\(\hat A(\hat q,\hat p)\)｣との交換関係から物理量\(A(q,p)\)の無限小変換が得られるということである。
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