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本ページでは、純粋状態の合成系における密度行列の部分トレースをとると部分系の密度行列が得られ、量子もつれの状態のとき、部分系の密度行列は混合状態になることを確認する。
前ページまで…
前ページでは、合成系は複数の粒子が存在する系であることを確認し、複数の粒子が相互作用していない合成系における純粋状態および混合状態の密度行列は、テンソル積を用いて表せることをみた。
内容
合成系における演算子
部分系\(\varPsi\)の純粋状態\(\vert\varPsi_i\rangle\)において、古典物理量\(F\)に対応する演算子が\(\hat F\)であり、固有値方程式は
\begin{align*}\hat F\vert \varPsi_j\rangle=f_i\vert\varPsi_j\rangle\tag{1}\end{align*}
とする。このとき、合成系の純粋状態
\begin{align*}\vert\varPsi_j,\varPhi_j\rangle=\vert\varPsi_j\rangle\otimes\vert\varPhi_j\rangle\tag{2}\end{align*}
において、部分系\(\varPsi\)の古典物理量\(F\)に対応する演算子\(\hat F_\varPsi\)は
\begin{align*}\hat F_\varPsi=\hat F\otimes\boldsymbol I\tag{3}\end{align*}
と書ける。なぜなら、この演算子が合成系の純粋状態に作用すると、次のように部分系\(\varPsi\)の古典物理量\(F\)が得られるからである。
\begin{align*}\hat F_\varPsi\vert\varPsi_j,\varPhi_j\rangle&=(\hat F\otimes\boldsymbol I)(\vert\varPsi_j\rangle\otimes\vert\varPhi_j\rangle)\\&=\hat F\vert\varPsi_j\rangle\otimes\boldsymbol I\vert\varPhi_j\rangle\\&=f_j(\vert\varPsi_j\rangle\otimes\vert\varPhi_j\rangle)\\&=f_i\vert\varPsi_j,\varPhi_j\rangle\tag{4}\end{align*}
このとき、テンソル積の性質
\begin{align*}(\boldsymbol A\otimes\boldsymbol B)(\boldsymbol C\otimes\boldsymbol D)=\boldsymbol A\boldsymbol C\otimes\boldsymbol B\boldsymbol D\tag{5}\end{align*}
を用いた。
また同様に、部分系\(\varPhi\)の古典物理量\(F\)に対応する演算子\(\hat F_\varPhi\)は
\begin{align*}\hat F_\varPhi=\boldsymbol I\otimes\hat F\tag{6}\end{align*}
となる。
部分トレース
部分系\(\varPsi\)と\(\varPhi\)が量子もつれの状態である純粋状態の合成系において、部分系\(\varPsi\)における古典物理量\(F\)の期待値は、部分系\(\varPsi\)と\(\varPhi\)が量子もつれの状態である合成系の密度行列
\begin{align*}\rho’&=\sum_{i,k,l,m}c_{ik}c_{lm}^*\vert\varPsi_i\rangle\langle\varPsi_l\vert\otimes\vert\varPhi_k\rangle\langle\varPhi_m\vert\tag{7}\end{align*}
を用いて
\begin{align*}\langle F\rangle_\varPsi&=\text{tr}(\hat F_\varPsi\rho’)\\&=\text{tr}\left((\hat F\otimes\boldsymbol I)\left(\sum_{i,k,l,m}c_{ik}c_{lm}^*\vert\varPsi_i\rangle\langle\varPsi_l\vert\otimes\vert\varPhi_k\rangle\langle\varPhi_m\vert\right)\right)\\&=\text{tr}\left(\sum_{i,k,l,m}c_{ik}c_{lm}^*\hat F\vert\varPsi_i\rangle\langle\varPsi_l\vert\otimes\vert\varPhi_k\rangle\langle\varPhi_m\vert\right)\\&=\text{tr}\left(\sum_{i,k,l,m}c_{ik}c_{lm}^*\hat F\vert\varPsi_i\rangle\langle\varPsi_l\vert\right)\text{tr}\left(\vert\varPhi_k\rangle\langle\varPhi_m\vert\right)\\&=\text{tr}\left(\sum_{i,k,l,m}c_{ik}c_{lm}^*\hat F\vert\varPsi_i\rangle\langle\varPsi_l\vert\text{tr}\left(\vert\varPhi_k\rangle\langle\varPhi_m\vert\right)\right)\tag{8}\end{align*}
と表される。また、このとき、部分系\(\varPsi\)における古典物理量\(F\)の期待値は部分系\(\varPsi\)の密度行列\(\rho_\varPsi’\)を用いて
\begin{align*}\langle F\rangle_\varPsi&=\text{tr}(\hat F\rho_\varPsi’)\tag{9}\end{align*}
と表される。式(8)と式(9)それぞれの期待値は等しいはずのため、
\begin{align*}\rho_\varPsi’=\sum_{i,k,l,m}c_{ik}c_{lm}^*\vert\varPsi_i\rangle\langle\varPsi_l\vert\text{tr}\left(\vert\varPhi_k\rangle\langle\varPhi_m\vert\right)\tag{10}\end{align*}
の関係が成り立ち、部分系\(\varPsi\)の密度行列\(\rho_\varPsi’\)は、合成系の密度行列\(\rho’\)のテンソル積を構成する部分系\(\varPhi\)由来の行列をトレースしたものであることが分かる。
このように、2つの行列\(\boldsymbol A\),\(\boldsymbol B\)のテンソル積\(\boldsymbol A\otimes\boldsymbol B\)からなる行列において、行列\(\boldsymbol A\),\(\boldsymbol B\)のどちらかひとつだけのトレースを部分トレースといい、行列\(\boldsymbol A\)の部分トレースをとる操作を
\begin{align*}\text{tr}_A(\boldsymbol A\otimes\boldsymbol B)=\text{tr}(\boldsymbol A)\boldsymbol B\tag{11}\end{align*}
と表し、行列\(\boldsymbol B\)の部分トレースをとる操作を
\begin{align*}\text{tr}_B(\boldsymbol A\otimes\boldsymbol B)=\text{tr}(\boldsymbol B)\boldsymbol A\tag{12}\end{align*}
と表す。この表記を用いると、部分系\(\varPsi\)の密度行列\(\rho_\varPsi’\)と合成系の密度行列\(\rho’\)の関係は
\begin{align*}\rho_\varPsi’=\text{tr}_\varPhi(\rho’)\tag{13}\end{align*}
となり、部分系\(\varPhi\)の密度行列\(\rho_\varPhi’\)と合成系の密度行列\(\rho’\)の関係は
\begin{align*}\rho_\varPhi’=\text{tr}_\varPsi(\rho’)\tag{14}\end{align*}
となる。
密度行列の2乗のトレース
純粋状態の合成系における密度行列\(\rho’\)の式(7)の2乗のトレースをとると、
\begin{align*}\text{tr}(\rho’^2)&=\text{tr}\left(\left(\sum_{i,k,l,m}c_{ik}c_{lm}^*\vert\varPsi_i\rangle\langle\varPsi_l\vert\otimes\vert\varPhi_k\rangle\langle\varPhi_m\vert\right)\right.\\&\left.\left(\sum_{i’,k’,l’,m’}c_{i’k’}c_{l’m’}^*\vert\varPsi_{i’}\rangle\langle\varPsi_{l’}\vert\otimes\vert\varPhi_{k’}\rangle\langle\varPhi_{m’}\vert\right)\right)\\&=\text{tr}\left(\sum_{i,k,l,m}\sum_{i’,k’,l’,m’}c_{ik}c_{i’k’}c_{lm}^*c_{l’m’}^*\vert\varPsi_i\rangle\langle\varPsi_l\vert\varPsi_{i’}\rangle\langle\varPsi_{l’}\vert\otimes\vert\varPhi_k\rangle\langle\varPhi_m\vert\varPhi_{k’}\rangle\langle\varPhi_{m’}\vert\right)\\&=\sum_{i,k,l,m}\sum_{i’,k’,l’,m’}c_{ik}c_{i’k’}c_{lm}^*c_{l’m’}^*\text{tr}\left(\vert\varPsi_i\rangle\langle\varPsi_l\vert\varPsi_{i’}\rangle\langle\varPsi_{l’}\vert\right)\text{tr}\left(\vert\varPhi_k\rangle\langle\varPhi_m\vert\varPhi_{k’}\rangle\langle\varPhi_{m’}\vert\right)\\&=\sum_{i,k,l,m}\sum_{i’,k’,l’,m’}c_{ik}c_{i’k’}c_{lm}^*c_{l’m’}^*\langle\varPsi_l\vert\varPsi_{i’}\rangle\langle\varPsi_{l’}\vert\varPsi_i\rangle\langle\varPhi_m\vert\varPhi_{k’}\rangle\langle\varPhi_{m’}\vert\varPhi_k\rangle\\&=\sum_{i,k,l,m}\vert c_{ik}\vert^2\vert c_{lm}\vert^2\\&=\left(\sum_{i,k}\vert c_{ik}\vert^2\right)^2\\&=1\tag{15}\end{align*}
となり、\(1\)となる。これは、純粋状態の密度行列の性質であった。
※※※式(15)において、2つ目の等号では
\begin{align*}(\boldsymbol A\otimes\boldsymbol B)(\boldsymbol C\otimes\boldsymbol D)=\boldsymbol A\boldsymbol C\otimes\boldsymbol B\boldsymbol D\tag{5}\end{align*}
の関係を用い、3つ目の等号では
\begin{align*}\text{tr}(\boldsymbol A\otimes\boldsymbol B)=\text{tr}(\boldsymbol A)\text{tr}(\boldsymbol B)\tag{16}\end{align*}
の関係を用い、４つ目の等号では
\begin{align*}\text{tr}(\vert A\rangle\langle B\vert)=\langle B\vert A\rangle\tag{17}\end{align*}
の関係を用いた。また、5つ目の等号では、\(\vert\varPsi_j\rangle\)と\(\vert\varPhi_j\rangle\)とに規格直交系を用いれば、\(i=l’\)かつ\(l=i’\)かつ\(k=m’\)かつ\(m=k’\)の項のみ内積は\(1\)となり、それ以外の項は\(0\)になることを用いた。最後に7つ目の等号では、重ね合わせの係数の二乗\(\vert c_{ik}\vert^2\)はその状態が観測される確率を表しており、その確率の合計が\(1\)になることを用いた。※※※
次に、部分系における密度行列\(\rho’\)の式(10)の2乗のトレースをとると、
\begin{align*}\text{tr}(\rho_\varPsi’^2)&=\text{tr}\left(\left(\sum_{i,k,l,m}c_{ik}c_{lm}^*\vert\varPsi_i\rangle\langle\varPsi_l\vert\text{tr}(\vert\varPhi_k\rangle\langle\varPhi_m\vert)\right)\right.\\&\left.\left(\sum_{i’,k’,l’,m’}c_{i’k’}c_{l’m’}^*\vert\varPsi_{i’}\rangle\langle\varPsi_{l’}\vert\text{tr}(\vert\varPhi_{k’}\rangle\langle\varPhi_{m’}\vert)\right)\right)\\&=\text{tr}\left(\sum_{i,k,l,m}\sum_{i’,k’,l’,m’}c_{ik}c_{i’k’}c_{lm}^*c_{l’m’}^*\vert\varPsi_i\rangle\langle\varPsi_l\vert\varPsi_{i’}\rangle\langle\varPsi_{l’}\vert\text{tr}(\vert\varPhi_k\rangle\langle\varPhi_m\vert)\text{tr}(\vert\varPhi_{k’}\rangle\langle\varPhi_{m’}\vert)\right)\\&=\sum_{i,k,l,m}\sum_{i’,k’,l’,m’}c_{ik}c_{i’k’}c_{lm}^*c_{l’m’}^*\text{tr}\left(\vert\varPsi_i\rangle\langle\varPsi_l\vert\varPsi_{i’}\rangle\langle\varPsi_{l’}\vert\right)\text{tr}(\vert\varPhi_k\rangle\langle\varPhi_m\vert)\text{tr}(\vert\varPhi_{k’}\rangle\langle\varPhi_{m’}\vert)\\&=\sum_{i,k,l,m}\sum_{i’,k’,l’,m’}c_{ik}c_{i’k’}c_{lm}^*c_{l’m’}^*\langle\varPsi_l\vert\varPsi_{i’}\rangle\langle\varPsi_{l’}\vert\varPsi_i\rangle\langle\varPhi_m\vert\varPhi_{k}\rangle\langle\varPhi_{m’}\vert\varPhi_{k’}\rangle\\&=\sum_{i,k,i’,k’}c_{ik}c_{i’k’}c_{i’k}^*c_{ik’}^*\\&=\sum_{i,k,i’,k’}(c_{ik}c_{i’k’}c_{i’k}^*c_{ik’}^*-c_{ik}c_{i’k’}c_{ik}^*c_{i’k’}^*)+1\\&=\sum_{i,k,i’,k’}c_{ik}c_{i’k’}(c_{i’k}^*c_{ik’}^*-c_{ik}^*c_{i’k’}^*)+1\\&=\sum_{i\neq i’,k\neq k’}c_{ik}c_{i’k’}(c_{i’k}^*c_{ik’}^*-c_{ik}^*c_{i’k’}^*)+1\\&=\frac{1}{2}\sum_{i\neq i’,k\neq k’}\left\{(c_{ik}c_{i’k’}(c_{i’k}^*c_{ik’}^*-c_{ik}^*c_{i’k’}^*)+c_{ik}c_{i’k’}(c_{i’k}^*c_{ik’}^*-c_{ik}^*c_{i’k’}^*)\right\}+1\\&=\frac{1}{2}\sum_{i\neq i’,k\neq k’}\left\{(c_{ik}c_{i’k’}(c_{i’k}^*c_{ik’}^*-c_{ik}^*c_{i’k’}^*)+c_{i’k}c_{ik’}(c_{ik}^*c_{i’k’}^*-c_{i’k}^*c_{ik’}^*)\right\}+1\\&=\frac{1}{2}\sum_{i\neq i’,k\neq k’}(c_{ik}c_{i’k’}-c_{i’k}c_{ik’})(c_{i’k}^*c_{ik’}^*-c_{ik}^*c_{i’k’}^*)+1\\&=-\frac{1}{2}\sum_{i\neq i’,k\neq k’}\vert c_{ik}c_{i’k’}-c_{i’k}c_{ik’}\vert^2+1\\&\leqq 1\tag{18}\end{align*}
となり、\(1\)以下になることが分かる。
※※※式(18)において、3つ目の等号ではトレースがスカラーであるため次の関係
\begin{align*}\text{tr}(\boldsymbol A\text{tr}(\boldsymbol B))=\text{tr}(\boldsymbol A)\text{tr}(\boldsymbol B)\tag{19}\end{align*}
を用い、４つ目の等号では
\begin{align*}\text{tr}(\vert A\rangle\langle B\vert)=\langle B\vert A\rangle\tag{20}\end{align*}
の関係を用いた。5つ目の等号では、\(\vert\varPsi_j\rangle\)と\(\vert\varPhi_j\rangle\)とに規格直交系を用いれば、\(i=l’\)かつ\(l=i’\)かつ\(k=m\)かつ\(k’=m’\)の項のみ内積は\(1\)となり、それ以外の項は\(0\)になることを用いた。6つ目の等号では式(15)を変形した次の関係式
\begin{align*}\sum_{i,k,i’,k’}c_{ik}c_{i’k’}c_{ik}^*c_{i’k’}^*=1\tag{21}\end{align*}
を挿入し、8つ目の等号では\(i=i’\)または\(k=k’\)の項がゼロになることを用いた。また、10個目の等号では2つ目の項の添字\(i\)と\(i’\)を入れ替え、最後の不等号では\(\vert c_{ik}c_{i’k’}-c_{i’k}c_{ik’}\vert^2\)が常に\(0\)以上であることを用いた。※※※
式(18)の不等式で等号が成立するときは、
\begin{align*}\sum_{i\neq i’,k\neq k’}c_{ik}c_{i’k’}-c_{ik’}c_{i’k}=0\tag{22}\end{align*}
でなければならず、
\begin{align*}c_{ik}&=a_ia_k\tag{23}\\c_{i’k’}&=a_{i’}a_{k’}\tag{24}\\c_{ik’}&=a_ia_{k’}\tag{25}\\c_{i’k}&=a_{i’}a_k\tag{26}\end{align*}
が成り立てば良い。\(c_{ik}\),\(c_{i’k’}\),\(c_{ik’}\),\(c_{i’k}\)は合成系における純粋状態
\begin{align*}\vert\varPsi’_j,\varPhi’_j\rangle&=\sum_{i,k}c_{ik}\vert\varPsi_i\rangle\otimes\vert\varPhi_k\rangle\\&=\sum_{i,k}c_{ik}\vert\varPsi_i,\varPhi_k\rangle\tag{7}\end{align*}
の\(\vert\varPsi_i\rangle\otimes\vert\varPhi_k\rangle\),\(\vert\varPsi_{i’}\rangle\otimes\vert\varPhi_{k’}\rangle\),\(\vert\varPsi_i\rangle\otimes\vert\varPhi_{k’}\rangle\),\(\vert\varPsi_{i’}\rangle\otimes\vert\varPhi_k\rangle\)の係数であるため、式(23)~(26)が成り立つときには
\begin{align*}\vert\varPsi’_j,\varPhi’_j\rangle&=(a_1\vert\varPsi_i\rangle+a_2\vert\varPsi_i\rangle+\cdots)\otimes(a_1\vert\varPhi_k\rangle+a_2\vert\varPhi_k\rangle+\cdots)\tag{27}\end{align*}
となる。この状態は合成系の純粋状態がテンソル積で表せるときであり、量子もつれの状態ではない。よって、量子もつれ状態では部分トレースの密度行列の2乗のトレースは\(1\)未満になる。つまり、純粋状態の合成系において部分系に注目すると混合状態になる。
系の情報不足
以前のページで、混合状態は系に対する情報が不足している状態と述べたが、純粋状態の合成系において部分系に注目する行為は情報の不足を表しており、それによって純粋状態から混合状態になる。
部分系に注目する際に部分トレースをとったが、この行為によって系の情報不足になる。例えば、2行2列の行列\(\boldsymbol A\)と\(\boldsymbol B\)のテンソル積は
\begin{align*}\boldsymbol A\otimes\boldsymbol B&=\left(\begin{array}{c}a_{11}\boldsymbol B&a_{12}\boldsymbol B\\a_{21}\boldsymbol B&a_{22}\boldsymbol B\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}\textcolor{red}{a_{11}b_{11}}&a_{11}b_{12}&\textcolor{red}{a_{12}b_{11}}&a_{12}b_{12}\\a_{11}b_{21}&\textcolor{red}{a_{11}b_{22}}&a_{12}b_{21}&\textcolor{red}{a_{12}b_{22}}\\\textcolor{red}{a_{21}b_{11}}&a_{21}b_{12}&\textcolor{red}{a_{22}b_{11}}&a_{22}b_{12}\\a_{21}b_{21}&\textcolor{red}{a_{21}b_{22}}&a_{22}b_{21}&\textcolor{red}{a_{22}b_{22}}\end{array}\right)\tag{28}\end{align*}
となるが、行列\(\boldsymbol B\)の部分トレースをとると
\begin{align*}\text{tr}_B(\boldsymbol A\otimes\boldsymbol B)=\{b_{11}+b_{22}\}\left(\begin{array}{c}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right)\tag{29}\end{align*}
となって、重なりを表す行列\(\boldsymbol B\)のコヒーレント項(非対角成分)\(b_{12}\)と\(b_{21}\)の情報がなくなり、測定される確率を表す対角成分\(b_{11}\)と\(b_{22}\)のみが残る。ここで、行列\(\boldsymbol B\)の部分トレースは、テンソル積\(\boldsymbol A\otimes\boldsymbol B\)の式(28)において赤字部分のトレースに相当し、黒字部分の情報は無くなる。また、2行2列の行列\(\boldsymbol A\)と\(\boldsymbol B\)のテンソル積
\begin{align*}\boldsymbol A\otimes\boldsymbol B&=\left(\begin{array}{c}a_{11}\boldsymbol B&a_{12}\boldsymbol B\\a_{21}\boldsymbol B&a_{22}\boldsymbol B\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}\textcolor{blue}{a_{11}b_{11}}&\textcolor{blue}{a_{11}b_{12}}&a_{12}b_{11}&a_{12}b_{12}\\\textcolor{blue}{a_{11}b_{21}}&\textcolor{blue}{a_{11}b_{22}}&a_{12}b_{21}&a_{12}b_{22}\\a_{21}b_{11}&a_{21}b_{12}&\textcolor{blue}{a_{22}b_{11}}&\textcolor{blue}{a_{22}b_{12}}\\a_{21}b_{21}&a_{21}b_{22}&\textcolor{blue}{a_{22}b_{21}}&\textcolor{blue}{a_{22}b_{22}}\end{array}\right)\tag{28}\end{align*}
において、行列\(\boldsymbol A\)の部分トレースをとると
\begin{align*}\text{tr}_A(\boldsymbol A\otimes\boldsymbol B)=\{a_{11}+a_{22}\}\left(\begin{array}{c}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{array}\right)\tag{30}\end{align*}
となって、重なりを表す行列\(\boldsymbol A\)のコヒーレント項(非対角成分)\(a_{12}\)と\(a_{21}\)の情報がなくなり、測定される確率を表す対角成分\(a_{11}\)と\(a_{22}\)のみが残る。ここで、行列\(\boldsymbol A\)の部分トレースは、テンソル積\(\boldsymbol A\otimes\boldsymbol B\)の式(28)において青字部分のトレースに相当し、黒字部分の情報は無くなる。
部分トレースの例
部分トレースの例として、光子の偏光を取り上げる。
右円偏光の純粋状態\(\vert R\rangle\)と左円偏光の純粋状態\(\vert L\rangle\)を
\begin{align*}\vert R\rangle&=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\tag{31}\\\vert L\rangle&=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\tag{32}\end{align*}
と定義すると、縦偏光の純粋状態\(\vert +\rangle\)と横偏光の純粋状態\(\vert -\rangle\)は
\begin{align*}\vert +\rangle&=\frac{\vert R\rangle+\vert L\rangle}{\sqrt{2}}\\&=\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\1/\sqrt{2}\end{array}\right)\tag{33}\\\vert -\rangle&=\frac{\vert R\rangle-\vert L\rangle}{\sqrt{2}}\\&=\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\-1/\sqrt{2}\end{array}\right)\tag{34}\end{align*}
と表すことができる。
以下では、合成系を\(\boldsymbol A\otimes\boldsymbol B\)と表したとき、\(\boldsymbol A\)を部分系\(\varPsi\)の状態、\(\boldsymbol B\)を部分系\(\varPhi\)の状態とする。
例\(1\)
量子もつれによって、\(\vert R,L\rangle\)の状態と\(\vert L,R\rangle\)の状態が重なり合わさっている次の純粋状態
\begin{align*}\frac{\vert R,L\rangle+\vert L,R\rangle}{\sqrt{2}}&=\frac{\vert R\rangle\otimes\vert L\rangle+\vert L\rangle\otimes\vert R\rangle}{\sqrt{2}}\\&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\otimes\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)+\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\otimes\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\\&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\0\end{array}\right)+\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\\0\end{array}\right)\\&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}0\\1\\1\\0\end{array}\right)\tag{35}\end{align*}
の密度行列は
\begin{align*}\rho&=\frac{1}{2}(\vert R,L\rangle+\vert L,R\rangle)(\langle R,L\vert+\langle L,R\vert)\\&=\frac{1}{2}(\vert R\rangle\otimes\vert L\rangle+\vert L\rangle\otimes\vert R\rangle)(\langle R\vert\otimes\langle L\vert+\langle L\vert\otimes\langle R\vert)\\&=\frac{1}{2}(\vert R\rangle\langle R\vert\otimes\vert L\rangle\langle L\vert+\vert R\rangle\langle L\vert\otimes\vert L\rangle\langle R\vert+\vert L\rangle\langle R\vert\otimes\vert R\rangle\langle L\vert+\vert L\rangle\langle L\vert\otimes\vert R\rangle\langle R\vert)\\&=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}0&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&0\end{array}\right)\tag{36}\end{align*}
となる。部分系\(\varPhi\)の部分トレースをとって、部分系\(\varPsi\)の密度行列\(\rho_\varPsi\)を求めると
\begin{align*}\rho_\varPsi&=\text{tr}_\varPhi(\rho)\\&=\frac{1}{2}(\vert R\rangle\langle R\vert\text{tr}(\vert L\rangle\langle L\vert)+\vert R\rangle\langle L\vert\text{tr}(\vert L\rangle\langle R\vert)+\vert L\rangle\langle R\vert\text{tr}(\vert R\rangle\langle L\vert)+\vert L\rangle\langle L\vert\text{tr}(\vert R\rangle\langle R\vert))\\&=\frac{1}{2}(\vert R\rangle\langle R\vert\langle L\vert\vert L\rangle+\vert R\rangle\langle L\vert\langle R\vert L\rangle+\vert L\rangle\langle R\vert\langle L\vert R\rangle+\vert L\rangle\langle L\vert\langle R\vert R\rangle)\\&=\frac{1}{2}(\vert R\rangle\langle R\vert+\vert L\rangle\langle L\vert)\\&=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1&0\\0&1\end{array}\right)\tag{37}\end{align*}
となって、部分系\(\varPsi\)は\(\vert R\rangle\)と\(\vert L\rangle\)が等確率で測定される混合状態であることが分かる。
例\(2\)
量子もつれによって、\(\vert +,-\rangle\)の状態と\(\vert -,+\rangle\)の状態が重なり合わさっている次の純粋状態
\begin{align*}\frac{\sqrt{3}}{2}\vert +,-\rangle+\frac{1}{2}\vert -,+\rangle&=\frac{\sqrt{3}}{2}\vert +\rangle\otimes\vert -\rangle+\frac{1}{2}\vert -\rangle\otimes\vert +\rangle\\&=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)\otimes\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\-1\end{array}\right)+\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\-1\end{array}\right)\otimes\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)\\&=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\begin{array}{c}1\\-1\\1\\-1\end{array}\right)+\frac{1}{4}\left(\begin{array}{c}1\\1\\-1\\-1\end{array}\right)\\&=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{c}\sqrt{3}+1\\-\sqrt{3}+1\\\sqrt{3}-1\\-\sqrt{3}-1\end{array}\right)\tag{38}\end{align*}
の密度行列は
\begin{align*}\rho&=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\vert +,-\rangle+\frac{1}{2}\vert -,+\rangle\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\langle +,-\vert+\langle -,+\vert\right)\\&=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\vert +\rangle\otimes\vert -\rangle+\frac{1}{2}\vert -\rangle\otimes\vert +\rangle\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\langle +\vert\otimes\langle -\vert+\frac{1}{2}\langle -\vert\otimes\langle +\vert\right)\\&=\frac{3}{4}\vert +\rangle\langle +\vert\otimes\vert -\rangle\langle -\vert+\frac{\sqrt{3}}{4}\vert +\rangle\langle -\vert\otimes\vert -\rangle\langle +\vert+\frac{\sqrt{3}}{4}\vert -\rangle\langle +\vert\otimes\vert +\rangle\langle -\vert+\frac{1}{4}\vert -\rangle\langle -\vert\otimes\vert +\rangle\langle +\vert\\&=\frac{1}{8}\left(\begin{array}{c}\sqrt{3}+2&-1&1&-\sqrt{3}-2\\-1&-\sqrt{3}+2&\sqrt{3}-2&1\\1&\sqrt{3}-2&-\sqrt{3}+2&-1\\-\sqrt{3}-2&1&-1&\sqrt{3}+2\end{array}\right)\tag{39}\end{align*}
となる。\(\varPhi\)の部分トレースをとって、部分系\(\varPsi\)の密度行列\(\rho_\varPsi\)を求めると
\begin{align*}\rho_\varPsi&=\text{tr}_\varPhi(\rho)\\&=\frac{3}{4}\vert +\rangle\langle +\vert\text{tr}(\vert -\rangle\langle -\vert)+\frac{\sqrt{3}}{4}\vert +\rangle\langle -\vert\text{tr}(\vert -\rangle\langle +\vert)+\frac{\sqrt{3}}{4}\vert -\rangle\langle +\vert\text{tr}(\vert +\rangle\langle -\vert)+\frac{1}{4}\vert -\rangle\langle -\vert\text{tr}(\vert +\rangle\langle +\vert)\\&=\frac{3}{4}\vert +\rangle\langle +\vert\langle -\vert -\rangle+\frac{\sqrt{3}}{4}\vert +\rangle\langle -\vert\langle +\vert -\rangle+\frac{\sqrt{3}}{4}\vert -\rangle\langle +\vert\langle -\vert +\rangle+\frac{1}{4}\vert -\rangle\langle +\vert\langle +\vert R\rangle\\&=\frac{1}{4}(3\vert +\rangle\langle +\vert+\vert -\rangle\langle -\vert)\\&=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{c}2&1\\1&2\end{array}\right)\tag{40}\end{align*}
となって、部分系\(\varPsi\)は\(\vert R\rangle\)と\(\vert L\rangle\)が等確率で測定される混合状態であることが分かる。
例\(3\)
量子もつれによって、\(\vert R,L\rangle\)の状態と\(\vert L,+\rangle\)の状態が重なり合わさっている次の純粋状態
\begin{align*}\frac{\vert R,L\rangle+\vert L,+\rangle}{\sqrt{2}}&=\frac{\vert R\rangle\otimes\vert L\rangle+\vert L\rangle\otimes\vert +\rangle}{\sqrt{2}}\\&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\otimes\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)+\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\otimes\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)\\&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\0\end{array}\right)+\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\\1\end{array}\right)\\&=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}0\\\sqrt{2}\\1\\1\end{array}\right)\tag{41}\end{align*}
の密度行列は
\begin{align*}\rho&=\frac{1}{2}(\vert R,L\rangle+\vert L,+\rangle)(\langle R,L\vert+\langle L,+\vert)\\&=\frac{1}{2}(\vert R\rangle\otimes\vert L\rangle+\vert L\rangle\otimes\vert +\rangle)(\langle R\vert\otimes\langle L\vert+\langle L\vert\otimes\langle +\vert)\\&=\frac{1}{2}(\vert R\rangle\langle R\vert\otimes\vert L\rangle\langle L\vert+\vert R\rangle\langle L\vert\otimes\vert L\rangle\langle +\vert+\vert L\rangle\langle R\vert\otimes\vert +\rangle\langle L\vert+\vert L\rangle\langle L\vert\otimes\vert +\rangle\langle +\vert)\\&=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{c}0&0&0&0\\0&2&\sqrt{2}&\sqrt{2}\\0&\sqrt{2}&1&1\\0&\sqrt{2}&1&1\end{array}\right)\tag{42}\end{align*}
となる。部分系\(\varPhi\)の部分トレースをとって、部分系\(\varPsi\)の密度行列\(\rho_\varPsi\)を求めると
\begin{align*}\rho_\varPsi&=\text{tr}_\varPhi(\rho)\\&=\frac{1}{2}(\vert R\rangle\langle R\vert\text{tr}(\vert L\rangle\langle L\vert)+\vert R\rangle\langle L\vert\text{tr}(\vert L\rangle\langle +\vert)+\vert L\rangle\langle R\vert\text{tr}(\vert +\rangle\langle L\vert)+\vert L\rangle\langle L\vert\text{tr}(\vert +\rangle\langle +\vert))\\&=\frac{1}{2}(\vert R\rangle\langle R\vert\langle L\vert L\rangle+\vert R\rangle\langle L\vert\langle +\vert L\rangle+\vert L\rangle\langle R\vert\langle L\vert +\rangle+\vert L\rangle\langle L\vert\langle +\vert +\rangle)\\&=\frac{1}{2}\left(\vert R\rangle\langle R\vert+\frac{1}{\sqrt{2}}\vert R\rangle\langle L\vert+\frac{1}{\sqrt{2}}\vert L\rangle\langle R\vert+\vert L\rangle\langle L\vert\right)\\&=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{c}2&\sqrt{2}\\\sqrt{2}&2\end{array}\right)\tag{43}\end{align*}
となって、部分系\(\varPsi\)は\(\vert R\rangle\)と\(\vert L\rangle\)が等確率で測定される混合状態であることが分かる。
例4
\(\vert R,R\rangle\)の状態と\(\vert R,L\rangle\)の状態と\(\vert L,R\rangle\)の状態と\(\vert L,L\rangle\)の状態が重なり合わさっている次の純粋状態
\begin{align*}&\frac{\vert R,R\rangle+\vert R,L\rangle+\vert L,R\rangle+\vert L,L\rangle}{2}\\&=\frac{\vert R\rangle\otimes\vert R\rangle+\vert R\rangle\otimes\vert L\rangle+\vert L\rangle\otimes\vert R\rangle+\vert L\rangle\otimes\vert L\rangle}{2}\\&=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right)\tag{44}\end{align*}
の密度行列は
\begin{align*}\rho&=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{c}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{array}\right)\tag{45}\end{align*}
となる。部分系\(\varPhi\)の部分トレースをとって、部分系\(\varPsi\)の密度行列\(\rho_\varPsi\)を求めると
\begin{align*}\rho_\varPsi&=\text{tr}_\varPhi(\rho)\\&=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1&1\\1&1\end{array}\right)\tag{46}\end{align*}
となって、部分系\(\varPsi\)は\(\vert R\rangle\)と\(\vert L\rangle\)が等確率で測定される純粋状態であることが分かる。なぜ、ほかの例と違い混合状態にならないのかというと、今回の重ね合わせの状態は次のようにテンソル積だけで表すことができ、量子もつれの状態ではないからである。
\begin{align*}&\frac{\vert R,R\rangle+\vert R,L\rangle+\vert L,R\rangle+\vert L,L\rangle}{2}\\&=\frac{\vert R\rangle\otimes\vert R\rangle+\vert R\rangle\otimes\vert L\rangle+\vert L\rangle\otimes\vert R\rangle+\vert L\rangle\otimes\vert L\rangle}{2}\\&=\frac{(\vert R\rangle+\vert L\rangle)\otimes(\vert R\rangle+\vert L\rangle)}{2}\tag{47}\end{align*}
次ページから…
次ページでは、純粋状態で表される複数の部分系が合成系を構成し、ユニタリ変換で表される相互作用を起こして量子もつれとなると、部分系は混合状態となり、部分系において純粋状態から混合状態への変換は非ユニタリ変換となることを確認する。また、純粋状態から混合状態への移行は、重ね合わせ状態から古典的な確率分布への移行であり、この現象が量子デコヒーレンスであることをみる。
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