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本ページでは、生成演算子\(\hat a^\dagger(\boldsymbol k)\)と消滅演算子\(\hat a(\boldsymbol k)\)が存在すれば、様々な粒子状態を表現できることをみる。また、エネルギー運動量演算子\(\hat P^\mu\)は生成演算子\(\hat a^\dagger(\boldsymbol k)\)と消滅演算子\(\hat a(\boldsymbol k)\)から構成されることが示唆され、場の量子論には様々な粒子数の状態を含んでいる可能性があることをみる。
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前ページでは、クライン-ゴルドン方程式を導くハミルトニアン\(H\)
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2+\frac{m^2}{2}\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\phi^4\right)\end{align*}
を第2量子化することによって、演算子となったハミルトニアン\(\hat H\)
\begin{align*}\hat H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\hat\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\hat\phi)^2+\frac{m^2}{2}\hat\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\hat\phi^4\right)\end{align*}
を求めた。
内容
粒子表現
量子力学から場の量子論に移行した際、場の量子論であれば粒子数の変化を扱えるのではかという期待があった(以前のページを参照)。もし、粒子数の変化を扱えるのなら、場の量子論には次のような様々な粒子数の状態を含んでいるはずである。
\begin{align*}|0\rangle&:0粒子状態(真空状態)\\|\boldsymbol{k}\rangle&:1粒子状態\\\vdots&\\|\boldsymbol{k}_1,\cdots,\boldsymbol k_n\rangle&:n粒子状態\end{align*}
本ページでは、これらの状態がどのようなものかを調べ、次のページからこれらの状態が実スカラー場の量子論に含まれていることを確認する。これまで 相互作用項を含んだスカラー場を考えていたが、以後、自由スカラー場を考える。
0粒子状態(真空状態)
粒子が存在しない\(0\)粒子状態\(|0\rangle\)は最低エネルギー準位であり、真空状態を表す。真空エネルギー\(E_0\)を\(0\)としたとき、真空状態\(\vert0\rangle\)はハミルトニアン\(\hat H\)を用いて
\begin{align*}\hat H\vert0\rangle&=E_0\vert0\rangle\\&=0\tag{1}\end{align*}
の関係を満たす。また、真空エネルギー\(E_0\)はハミルトニアン\(\hat H\)の最低固有値であるため、真空状態\(\vert0\rangle\)では運動量\(P^j(j=1,2,3)\)が\(0\)であり、運動量演算子\(\hat P^j\)を用いて次の関係
\begin{align*}\hat P^j\vert0\rangle&=P^j\vert0\rangle\\&=0\tag{2}\end{align*}
を満たす。エネルギー運動量演算子\(\hat P^\mu\)を用いると式(1)と式(2)はまとめることができ、
\begin{align*}\hat P^\mu\vert0\rangle=0\tag{3}\end{align*}
となる。以前のページで見たが、エネルギー運動量演算子\(\hat P^\mu\)は時空並進の生成子であり、時空座標の有限並進を引き起こすユニタリー演算子\(e^{ia_\mu P^\mu}\)を真空状態\(|0\rangle\)に作用させると
\begin{align}e^{ia_\mu P^\mu}|0\rangle=|0\rangle\tag{4}\end{align}
となって、真空状態\(|0\rangle\)が時空並進の下で不変であることを意味する。この式(4)は、ユニタリー演算子\(e^{ia_\mu P^\mu}\)をテイラー展開して式(3)を用いると成り立っていることがわかる。
次に、真空エネルギー\(E_0\)はハミルトニアン\(\hat H\)の最低固有値であるため、真空状態\(\vert0\rangle\)では角運動量\(J^{\mu\nu}\)が\(0\)であり、角運動量演算子\(\hat J^{\mu\nu}\)を用いて次の関係
\begin{align*}\hat J^{\mu\nu}\vert0\rangle&=J^{\mu\nu}\vert0\rangle\\&=0\tag{5}\end{align*}
を満たす。以前のページで見たが、角運動量演算子\(\hat J^{\mu\nu}\)はローレンツ変換の生成子であり、有限のローレンツ変換を引き起こすユニタリー演算子\(e^{i\omega_{\mu\nu}J^{\mu\nu}}\)を真空状態\(|0\rangle\)に作用させると
\begin{align}e^{i\omega_{\mu\nu}J^{\mu\nu}}|0\rangle=|0\rangle\tag{6}\end{align}
となって、真空状態\(|0\rangle\)が時空回転の下で不変であることを意味する。この式(6)も、ユニタリー演算子\(e^{i\omega_{\mu\nu}J^{\mu\nu}}\)をテイラー展開して式(5)を用いると成り立っていることがわかる。
真空状態\(\vert0\rangle\)は粒子が存在しない0粒子状態であるため、｢任意の運動量\(\boldsymbol k\)を持つ粒子の数を1だけ減らす演算子｣の消滅演算子\(\hat a(\boldsymbol k)\)を真空状態\(\vert0\rangle\)に作用させると
\begin{align*}\hat a(\boldsymbol k)\vert0\rangle=0\tag{7}\end{align*}
となる(もし、右辺がゼロにならず別の状態が現れるのなら、真空状態が1つも粒子が存在しない状態であることに反する)。この式(7)と式(3)や式(5)と比べると、エネルギー運動量演算子\(\hat P^\mu\)や角運動量演算子\(\hat J^{\mu\nu}\)には消滅演算子\(\hat a(\boldsymbol k)\)が含まれおり、消滅演算子\(\hat a(\boldsymbol k)\)は他の演算子よりも左に位置していることが示唆される。
1粒子状態
運動量\(\boldsymbol{k}\)を持つ粒子が1つ存在する1粒子状態\(|\boldsymbol{k}\rangle\)は、エネルギー運動量演算子\(\hat P^\mu\)の固有値方程式
\begin{align}P^\mu|\boldsymbol{k}\rangle=k^\mu|\boldsymbol{k}\rangle\tag{8}\end{align}
を満たす。ここで、粒子のエネルギー\(k^0\)と運動量\(\boldsymbol{k}\)との関係は次のアインシュタインの関係
\begin{align}k^0=\sqrt{\boldsymbol{k}^2+m^2}\tag{9}\end{align}
となる。
｢運動量\(\boldsymbol k\)を持つ粒子の数を1だけ増やす演算子｣の生成演算子\(\hat a^\dagger(\boldsymbol k)\)を真空状態\(\vert0\rangle\)に作用させると
\begin{align*}\hat a^\dagger(\boldsymbol k)\vert0\rangle=\vert\boldsymbol k\rangle\tag{10}\end{align*}
となって1粒子状態\(\vert\boldsymbol k\rangle\)が得られ、｢運動量\(\boldsymbol k\)を持つ粒子の数を1だけ減らす演算子｣の消滅演算子\(\hat a(\boldsymbol k)\)を1粒子状態\(\vert\boldsymbol k\rangle\)に作用させると
\begin{align*}\hat a(\boldsymbol k)\vert\boldsymbol k\rangle=\vert0\rangle\tag{11}\end{align*}
となって真空状態\(\vert0\rangle\)が得られる。つまり、真空状態\(\vert0\rangle\)や1粒子状態\(\vert\boldsymbol k\rangle\)を含む理論では生成演算子\(\hat a^\dagger(\boldsymbol k)\)と生滅演算子\(\hat a(\boldsymbol k)\)の両方が現れると予想される。
式(10)と式(11)から、次の関係
\begin{align*}\hat a^\dagger(\boldsymbol k)\hat a(\boldsymbol k)\vert\boldsymbol k’\rangle&=\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)\vert\boldsymbol k’\rangle\tag{12}\end{align*}
\begin{align*}\hat a^\dagger(\boldsymbol k)\hat a(\boldsymbol k)\vert\boldsymbol k’\rangle&=\hat a^\dagger(\boldsymbol k)\hat a(\boldsymbol k)\hat a^\dagger(\boldsymbol k’)\vert0\rangle\\&=\hat a^\dagger(\boldsymbol k)([\hat a(\boldsymbol k),\hat a^\dagger(\boldsymbol k’)]+a^\dagger(\boldsymbol k’)\hat a(\boldsymbol k))\vert0\rangle\\&=\hat a^\dagger(\boldsymbol k)[\hat a(\boldsymbol k),\hat a^\dagger(\boldsymbol k’)]\vert0\rangle\\&=\hat a^\dagger(\boldsymbol k)\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)\vert0\rangle\\&=\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)\vert\boldsymbol k’\rangle\end{align*}
1行目の等号では生成演算子\(\hat a^\dagger(\boldsymbol k’)\)を用いた式
\begin{align*}\vert\boldsymbol k’\rangle=\hat a^\dagger(\boldsymbol k’)\vert0\rangle\end{align*}
を使い、2行目への変形では交換関係
\begin{align*}[\hat a(\boldsymbol k),\hat a^\dagger(\boldsymbol k’)]=a(\boldsymbol k)\hat a^\dagger(\boldsymbol k’)-a^\dagger(\boldsymbol k’)\hat a(\boldsymbol k)\end{align*}
を用い、3行目への変形では消滅演算子\(\hat a(\boldsymbol k’)\)を用いた式
\begin{align*}\hat a(\boldsymbol k’)\vert0\rangle=0\end{align*}
を使い、4行目への変形では生成演算子と消滅演算子の交換関係(次ページを参照)
\begin{align*}[\hat a(\boldsymbol k),\hat a^\dagger(\boldsymbol k’)]=\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)\end{align*}
を用い、5行目への変形では生成演算子を用いた式
\begin{align*}\vert\boldsymbol k’\rangle=\hat a^\dagger(\boldsymbol k’)\vert0\rangle\end{align*}
を使った。
が成り立ち、\(\hat a^\dagger(\boldsymbol k)\hat a(\boldsymbol k)\)は運動量が\(\boldsymbol k\neq\boldsymbol k’\)の粒子が存在する状態\(\vert\boldsymbol k’\rangle\)に作用すると\(0\)になるが、運動量が\(\boldsymbol k=\boldsymbol k’\)の粒子が存在する状態\(\vert\boldsymbol k’\rangle\)に作用すると\(\delta^3(\boldsymbol 0)\)になることが分かる。そのため、あらゆる運動量\(\boldsymbol k\)における｢\(\hat a^\dagger(\boldsymbol k)\hat a(\boldsymbol k)\)にエネルギー運動量\(k^\mu\)を掛けたもの｣を足し合わせた
\begin{align*}\hat P^\mu=\int d^3\boldsymbol k\ k^\mu\hat a^\dagger(\boldsymbol k)\hat a(\boldsymbol k)\end{align*}
は、1粒子状態\(\vert\boldsymbol k’\rangle\)からエネルギー運動量\(k’^\mu\)を取り出すエネルギー運動量演算子\(\hat P^\mu\)になると予想される。実際に1粒子状態\(\vert\boldsymbol k’\rangle\)に作用させると
\begin{align*}\hat P^\mu\vert\boldsymbol k’\rangle&=\int d^3\boldsymbol k\ k^\mu\hat a^\dagger(\boldsymbol k)\hat a(\boldsymbol k)\vert\boldsymbol k’\rangle\\&=\int d^3\boldsymbol k\ k^\mu\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)\vert\boldsymbol k’\rangle\\&=\ k’^\mu\vert\boldsymbol k’\rangle\tag{13}\end{align*}
となることからもわかる。
n粒子状態
運動量\(\boldsymbol{k}_1^\mu,\boldsymbol{k}_2^\mu,\cdots\boldsymbol{k}_n^\mu\)を持つ粒子が\(n\)個存在する\(n\)粒子状態\(\vert\boldsymbol{k}_1,\boldsymbol{k}_2,\cdots,\boldsymbol{k}_n\rangle\)は、エネルギー運動量演算子\(\hat P^\mu\)の固有値方程式
\begin{align}P^\mu|\boldsymbol{k}_1,\boldsymbol{k}_2,\cdots,\boldsymbol{k}_n\rangle=(\boldsymbol{k}_1^\mu+\boldsymbol{k}_2^\mu+\cdots+\boldsymbol{k}_n^\mu)|\boldsymbol{k}_1,\boldsymbol{k}_2,\cdots,\boldsymbol{k}_n\rangle\tag{14}\end{align}
を満たす。ここで、それぞれの粒子のエネルギー\(k^0_i\)と運動量\(\boldsymbol{k}_i\)との関係は
\begin{align*}k^0_i=\sqrt{(\boldsymbol{k}_i)^2+m^2}\tag{15}\end{align*}
となる。
n粒子状態\(\vert\boldsymbol{k}_1,\boldsymbol{k}_2,\cdots,\boldsymbol{k}_n\rangle\)は真空状態\(\vert0\rangle\)にそれぞれの粒子における生成演算子 \(\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}_1)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}_2)\cdots \hat a^\dagger(\boldsymbol{k}_n)\)を掛けることによって作ることができる。
\begin{align}|\boldsymbol{k}_1,\boldsymbol{k}_2,\cdots\boldsymbol{k}_n\rangle=\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}_1)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}_2)\cdots, \hat a^\dagger(\boldsymbol{k}_n)|0\rangle\tag{16}\end{align}
よって、両辺にエネルギー運動量演算子\(\hat P^\mu\)を作用させると
\begin{align}\hat P^\mu|\boldsymbol{k}_1,\boldsymbol{k}_2,\cdots\boldsymbol{k}_n\rangle&=(\boldsymbol{k}_1^\mu+\boldsymbol{k}_2^\mu+\cdots\boldsymbol{k}_n^\mu)|\boldsymbol{k}_1,\boldsymbol{k}_2,\cdots\boldsymbol{k}_n\rangle\tag{14}\end{align}
\begin{align}\hat P^\mu|\boldsymbol{k}_1,\boldsymbol{k}_2,\cdots\boldsymbol{k}_n\rangle&=\hat P^\mu \hat a^\dagger(\boldsymbol{k}_1)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}_2)\cdots \hat a^\dagger(\boldsymbol{k}_n)|0\rangle\
\\&=([\hat P^\mu,\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}_1)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}_2)\cdots \hat a^\dagger(\boldsymbol{k}_n)]-\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}_1)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}_2)\cdots \hat a^\dagger(\boldsymbol{k}_n)\hat P^\mu)|0\rangle\\&=[\hat P^\mu,\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}_1)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}_2)\cdots \hat a^\dagger(\boldsymbol{k}_n)]|0\rangle\\&=\sum_{j=1}^n\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}_1)\cdots \hat a^\dagger(\boldsymbol{k}_{j-1})[\hat P^\mu,\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}_j)]\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}_{j+1})\cdots \hat a^\dagger(\boldsymbol{k}_n)|0\rangle\\&=(\boldsymbol{k}_1^\mu+\boldsymbol{k}_2^\mu+\cdots+\boldsymbol{k}_n^\mu)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}_1)\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}_2)\cdots \hat a^\dagger(\boldsymbol{k}_n)|0\rangle\\&=(\boldsymbol{k}_1^\mu+\boldsymbol{k}_2^\mu+\cdots\boldsymbol{k}_n^\mu)|\boldsymbol{k}_1,\boldsymbol{k}_2,\cdots\boldsymbol{k}_n\rangle\end{align}
5行目への変形では交換関係(次ページを参照)
\begin{align*}[\hat P^\mu,\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})]&=k^\mu \hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\end{align*}
を用いた。
となって、式(14)が成り立つことが分かる。
粒子表現のまとめ
以上をまとめると、生成演算子\(\hat a^\dagger(\boldsymbol k)\)と消滅演算子\(\hat a(\boldsymbol k)\)が存在すれば、様々な粒子状態を表現できることが分かる。また、エネルギー運動量演算子\(\hat P^\mu\)は生成演算子\(\hat a^\dagger(\boldsymbol k)\)と消滅演算子\(\hat a(\boldsymbol k)\)から構成されることが示唆された。前ページで見たがエネルギー運動量演算子\(\hat P^\mu\)は実スカラー場演算子\(\hat \phi\)からなるため、実スカラー場演算子\(\hat \phi\)も生成演算子\(\hat a^\dagger(\boldsymbol k)\)と消滅演算子\(\hat a(\boldsymbol k)\)から構成されると予想でき、このことは次のページで確かめる。
次ページから…
次ページでは、実スカラー場が
\begin{align}\hat\phi(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a(\boldsymbol{k})f_k^{+}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\end{align}
と表され、生成消滅演算子\(\hat a^\dagger(\boldsymbol k)\),\(\hat a(\boldsymbol k)\)から構成されることをみる。
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