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本ページでは、パウリ行列\(\boldsymbol\sigma^j\)
\begin{align}\boldsymbol{\sigma}^{1}&=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0\\
\end{pmatrix}\\\boldsymbol{\sigma}^{2}&=\begin{pmatrix}
0 & -i\\
i & 0\\
\end{pmatrix}\\\boldsymbol{\sigma}^{3}&=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1\\
\end{pmatrix}\end{align}
はエルミート行列かつユニタリ行列であり、次の関係
\begin{align}\left\{\boldsymbol{\sigma}^j,\ \boldsymbol{\sigma}^k\right\}&=\boldsymbol{\sigma}^j\boldsymbol{\sigma}^k+\boldsymbol{\sigma}^k\boldsymbol{\sigma}^j\\&=2\delta^{jk}\boldsymbol{I}_2\\ \\\left[\boldsymbol{\sigma}^j,\ \boldsymbol{\sigma}^k\right]&=\boldsymbol{\sigma}^j\boldsymbol{\sigma}^k-\boldsymbol{\sigma}^k\boldsymbol{\sigma}^j\\&=2i\sum_{l=1}^3\epsilon^{jkl}\boldsymbol{\sigma}^l\end{align}
を満たすことを調べる。
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前ページでは、スピン磁気モーメントを生むスピン角運動量演算子\(\hat{\boldsymbol s}\)の各成分が次の交換関係
\begin{align*}[\hat {\boldsymbol s}_y,\hat {\boldsymbol s}_z]&=i\hbar\hat {\boldsymbol s}_x\\ [\hat {\boldsymbol s}_z,\hat {\boldsymbol s}_x]&=i\hbar\hat {\boldsymbol s}_y\\ [\hat {\boldsymbol s}_x,\hat {\boldsymbol s}_y]&=i\hbar\hat {\boldsymbol s}_z\end{align*}
を満たす行列演算子であり、\(z\)成分の固有値\(\boldsymbol s_z\)はスピン磁気量子数\(m_s\)を用いて
\begin{align*}\boldsymbol s_z= m_s\hbar\ \ \ \left(m_s=-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\end{align*}
であることを、軌道角運動量\(\boldsymbol l\)の性質から類推した。
内容
パウリ行列とは
以下に記す3つの複素2次正方行列をパウリ行列と呼ぶ。
\begin{align}\boldsymbol{\sigma}^{1}&=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0\\
\end{pmatrix}\tag{1}\\\boldsymbol{\sigma}^{2}&=\begin{pmatrix}
0 & -i\\
i & 0\\
\end{pmatrix}\tag{2}\\\boldsymbol{\sigma}^{3}&=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1\\
\end{pmatrix}\tag{3}\end{align}
パウリ行列の性質
パウリ行列\(\boldsymbol\sigma^j\)は次の関係
\begin{align}\left(\boldsymbol{\sigma}^j\right)^\dagger=\boldsymbol{\sigma}^j\tag{4}\end{align}
を満たすためエルミート行列であり、パウリ行列\(\boldsymbol\sigma^j\)の自乗
\begin{align}\left(\boldsymbol{\sigma}^1\right)^2=\left(\boldsymbol{\sigma}^2\right)^2=\left(\boldsymbol{\sigma}^3\right)^2=\boldsymbol{I}_2\tag{5}\end{align}
は単位行列\(\boldsymbol I_2\)に等しいため、式(4)と式(5)より次の関係
\begin{align}\left(\boldsymbol{\sigma}^j\right)^\dagger\boldsymbol{\sigma}^j=\boldsymbol{\sigma}^j\left(\boldsymbol{\sigma}^j\right)^\dagger=\boldsymbol I_2\tag{6}\end{align}
を満たし、ユニタリ行列でもあることが分かる。
異なるパウリ行列\(\boldsymbol\sigma^j\)同士の積を計算すると
\begin{align}\boldsymbol{\sigma}^1\boldsymbol{\sigma}^2&=-\boldsymbol{\sigma}^2\boldsymbol{\sigma}^1=i\boldsymbol{\sigma}^3\tag{7}\\ \\\boldsymbol{\sigma}^2\boldsymbol{\sigma}^3&=-\boldsymbol{\sigma}^3\boldsymbol{\sigma}^2=i\boldsymbol{\sigma}^1\tag{8}\\ \\\boldsymbol{\sigma}^3\boldsymbol{\sigma}^1&=-\boldsymbol{\sigma}^1\boldsymbol{\sigma}^3=i\boldsymbol{\sigma}^2\tag{9}\end{align}
となり、クロネッカーのデルタ\(\delta^{jk}\)とエディントンのイプシロン\(\epsilon^{jkl}\)を用いると
\begin{align}\left\{\boldsymbol{\sigma}^j,\ \boldsymbol{\sigma}^k\right\}&=\boldsymbol{\sigma}^j\boldsymbol{\sigma}^k+\boldsymbol{\sigma}^k\boldsymbol{\sigma}^j\\&=2\delta^{jk}\boldsymbol{I}_2\tag{10}\\ \\\left[\boldsymbol{\sigma}^j,\ \boldsymbol{\sigma}^k\right]&=\boldsymbol{\sigma}^j\boldsymbol{\sigma}^k-\boldsymbol{\sigma}^k\boldsymbol{\sigma}^j\\&=2i\sum_{l=1}^3\epsilon^{jkl}\boldsymbol{\sigma}^l\tag{11}\end{align}
と表すことができる(\(j,k,l=1,2,3\))。ここで、エディントンのイプシロン\(\epsilon^{jkl}\)は3階の完全反対称テンソルであり、定義は次式で表される。
\begin{align}\epsilon^{jkl}=\begin{cases}+1\ \ \ (jkl)=(123)の偶置換\\ -1\ \ \ (jkl)=(123)の奇置換 \\ \ 0\ \ \ \ \ その他\end{cases}\tag{12}\end{align}
スピン角運動量とパウリ行列
\begin{align*} [\hat {\boldsymbol s}_j,\hat {\boldsymbol s}_k]&=i\hbar\sum_{l=1}^3\epsilon^{abc}\hat {\boldsymbol s}_l\tag{13}\end{align*}
\begin{align}\frac{\hbar^2}{4}\left[\boldsymbol{\sigma}^j,\ \boldsymbol{\sigma}^k\right]&=\frac{i\hbar^2}{2}\sum_{l=1}^3\epsilon^{jkl}\boldsymbol{\sigma}^l\\\left[\frac{\hbar}{2}\boldsymbol{\sigma}^j,\frac{\hbar}{2}\ \boldsymbol{\sigma}^k\right]&=i\hbar\sum_{l=1}^3\epsilon^{jkl}\frac{\hbar}{2}\boldsymbol{\sigma}^l\tag{11}\end{align}
\begin{align*}\hat{\boldsymbol s}&=(\hat{\boldsymbol s}_x,\hat{\boldsymbol s}_y,\hat{\boldsymbol s}_z)\\&=\frac{\hbar}{2}(\boldsymbol \sigma^1,\boldsymbol\sigma^2,\boldsymbol\sigma^3)\\&=\frac{\hbar}{2}\boldsymbol\sigma\end{align*}
\begin{align*}{\boldsymbol s}_z&=\frac{1}{2}\boldsymbol\sigma^3\\&=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1\
\end{pmatrix}\end{align*}
\begin{align*}\boldsymbol\psi=\begin{pmatrix}
\psi_1 \\
\psi_2 \
\end{pmatrix}\end{align*}
\begin{align*}\boldsymbol\psi=\begin{pmatrix}
\psi_1 \\
\psi_2 \
\end{pmatrix}\end{align*}
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