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本ページでは、ハミルトン力学におけるネーターの定理を用いることにより、全電荷保存則から位相変換不変性が導かれることを確認し、電荷\(\hat{ \mathcal Q}\)は位相変換の生成子であることを確認する。
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前ページでは、ハミルトン力学における複素場の理論のネーターの定理を用いることにより、全エネルギー運動量保存則から時空並進不変性が導かれることを確認し、エネルギー運動量\(\hat{ P}^\nu\)は時空並進の生成子であることを確認した。
内容
不変性と保存量の関係から、\(Q\)は保存量であると同時に、無限小\(U(1)\)変換の生成子でもある。したがって、\(Q\)は
$$
\begin{align}\delta_{Q}\Phi=i\theta[Q,\Phi]\tag{12}\end{align}
$$
$$
\begin{align}\delta_{Q}\Phi^\dagger=i\theta[Q,\Phi^\dagger]\tag{13}\end{align}
$$
の関係も満たす。これらの式を式\((8)\)、\((9)\)で与えられている\(\delta_{Q}\Phi\)と\(\delta_{Q}\Phi^\dagger\)の定義を使って書き直しておくと次のように物理的意味がより明確になる。
$$
\begin{align}[Q,\Phi]=-q\Phi\tag{14}\end{align}
$$
$$
\begin{align}[Q,\Phi^\dagger]=+q\Phi^\dagger\tag{15}\end{align}
$$
これらの式は、エルミート演算子\(A\)と生成演算子\(a\)や消滅演算子\(a^\dagger\)の関係
$$
\begin{align}[A,a]=-\alpha a\tag{16}\end{align}
$$
$$
\begin{align}[A,a^\dagger]=+\alpha a^\dagger\tag{17}\end{align}
$$
と同じタイプであり、この保存量\(Q\)を\(U(1)\)電荷と呼び、\(\Phi\)と\(\Phi^\dagger\)はぞれぞれ\(-q\)と\(+q\)の\(U(1)\)電荷を生成する演算子ということができる。
全電荷保存則と位相変換不変性
複素場の理論のネーターの定理(ラグランジュ力学)から、位相を無限小定数\(\theta\)だけずらしても物理法則が変わらない位相変換不変性が系に存在するとき、次の保存量\(Q\)
\begin{align}Q&=\theta\mathcal Q\tag{1}\end{align}
が保存し、全電荷保存則の背景には位相変換不変性があることを以前のページで見た。
この逆の関係も成り立つことを見てみる。複素場の量子論のネーターの定理(ハミルトン力学)より、全電荷\(\mathcal Q\)から構成される保存量\(Q\)が保存するとき、物理量\(A\)が次の無限小変化量
\begin{align*}\delta_{\mathcal Q}A&=-\{Q, A\}\\&=-\{\theta\mathcal Q,A\}\tag{2}\end{align*}
だけ変化する無限小変換で不変性が存在する。ここでは、計算をシンプルにするため物理量\(A\)として場\(\varPhi(t,\boldsymbol y)\)を考えると、無限小変化量\(\delta_{\mathcal Q}\varPhi\)は
\begin{align*}\delta_{\mathcal Q}\varPhi&=-\{Q, \varPhi\}\\&=-\{\theta\mathcal Q,\varPhi\}\\&=-iq\theta\varPhi\tag{3}\end{align*}
\begin{align*}\delta_P\varPhi&=-\{Q, \varPhi\}\\&=-\{\theta\mathcal Q,\varPhi\}\\&=-\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta (\theta\mathcal Q)}{\delta \varPhi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta \varPhi(t,\boldsymbol y)}{\delta\varPi(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta (\theta\mathcal Q)}{\delta \varPi(t,\boldsymbol x)} \frac{\delta \varPhi(t,\boldsymbol y)}{\delta\varPhi(t,\boldsymbol x)}\right)\\&\ \ \ \ -\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta (\theta\mathcal Q)}{\delta \varPhi^*(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta \varPhi(t,\boldsymbol y)}{\delta\varPi^*(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta (\theta\mathcal Q)}{\delta \varPi^*(t,\boldsymbol x)} \frac{\delta \varPhi(t,\boldsymbol y)}{\delta\varPhi^*(t,\boldsymbol x)}\right)\\&=\int d \boldsymbol x^3\ \frac{\delta (\theta\mathcal Q)}{\delta \varPi(t,\boldsymbol x)} \delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\\&=\frac{\delta (\theta\mathcal Q)}{\delta \varPi(t,\boldsymbol y)} \\&=-iq\theta\int{d}^3\boldsymbol z\ \left\{\frac{\delta \varPi(t,\boldsymbol z)}{\delta \varPi(t,\boldsymbol y)}\varPhi(t,\boldsymbol z)\right\}\\&=-iq\theta\int{d}^3\boldsymbol z\ \delta^3(\boldsymbol y-\boldsymbol z)\varPhi(t,\boldsymbol z)\\&=-iq\theta\varPhi(t,\boldsymbol y)\end{align*}
3つ目の等号ではポアソン括弧の定義式
\begin{align}\left\{X,Y\right\}&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta X}{\delta \varPhi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta Y}{\delta\varPi(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta X}{\delta \varPi(t,\boldsymbol x)} \frac{\delta Y}{\delta\varPhi(t,\boldsymbol x)}\right)\\&\ \ \ \ +\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta X}{\delta \varPhi^*(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta Y}{\delta\varPi^*(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta X}{\delta \varPi^*(t,\boldsymbol x)} \frac{\delta Y}{\delta\varPhi^*(t,\boldsymbol x)}\right)\end{align}
を用い、4つ目と7つ目の等号では次の関係式
\begin{align*}\frac{\delta \varPhi(t,\boldsymbol y)}{\delta\varPhi(t,\boldsymbol x)}&=\frac{\delta \varPi(t,\boldsymbol y)}{\delta\varPi(t,\boldsymbol x)}=\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\\\frac{\delta \varPhi(t,\boldsymbol y)}{\delta\varPhi^*(t,\boldsymbol x)}&=\frac{\delta \varPhi(t,\boldsymbol y)}{\delta\varPi^*(t,\boldsymbol x)}=\frac{\delta \varPhi(t,\boldsymbol y)}{\delta\varPi(t,\boldsymbol x)}=\frac{\delta \varPhi^*(t,\boldsymbol y)}{\delta\varPi(t,\boldsymbol x)}=\frac{\delta \varPi^*(t,\boldsymbol y)}{\delta\varPi(t,\boldsymbol x)}=0\end{align*}
を用い、6つ目の等号では電荷\(\mathcal Q\)(以前のページを参照)を変形した式
\begin{align}\theta\mathcal Q&=iq\theta\int{d}^3\boldsymbol x\ (\varPhi^*\partial^0\varPhi-(\partial^0 \varPhi^*)\varPhi)\\&=iq\theta\int{d}^3\boldsymbol x\ (\varPhi^*\varPi^*-\varPi\varPhi)\end{align}
を用いた。
と計算でき、この無限小変化量は位相が無限小定数\(\theta\)だけズレた時の場\(\varPhi\)の変化量であることが分かる。よって、無限小変換は
\begin{align*}\varPhi(x)\rightarrow \varPhi(x’)&=\varPhi(x)+\delta_{\mathcal Q} \varPhi\\&=\varPhi(x)-iq\theta \varPhi\\&\simeq e^{-iq\theta}\varPhi(x)\tag{4}\end{align*}
となって、全電荷が保存するとき、位相が無限小定数\(\theta\)だけ移動する位相変換における不変性が存在する。
以上より、位相変換不変性の背景には全電荷保存則があるとも言える。
量子力学において、ある保存量\(Q\)が存在するときの物理量\(A\)の無限小変化量は演算子\(\hat Q\)と\(\hat A\)を用いて
\begin{align*}\delta_{ Q}A&=\frac{i}{\hbar}[\hat Q,\hat A]\tag{5}\end{align*}
と表される(前ページを参照)ため、保存量\(Q\)が保存するときの場\(\varPhi\)の無限小変化量は、演算子\(\hat Q\)と\(\hat \varPhi\)を用いて
\begin{align*}[\hat Q, \hat \varPhi]&=-i\hbar\delta_{\mathcal Q}\varPhi\\\rightarrow[ \theta\hat {\mathcal Q}, \hat \varPhi]&=-\hbar q\theta \hat\varPhi\\\rightarrow[ \hat {\mathcal Q}, \hat \varPhi]&=-\hbar q \hat\varPhi\tag{6}\end{align*}
となる(式(6)において、2行目への変形では演算子表示した式(3)を用いた)。
電荷と位相変換の生成子
式(4)を量子力学における演算子表示にすると
\begin{align*}\hat \varPhi\rightarrow \hat \varPhi’&=\hat \varPhi+\delta_{\mathcal Q} \varPhi\tag{7}\end{align*}
となり、この無限小変換を引き起こす演算子は
\begin{align*}\hat U_{\mathcal Q}(\theta)&=e^{\frac{i}{\hbar}\theta \hat{\mathcal Q}}\tag{8}\end{align*}
と表すことができる。このことは、次のように複素場\(\hat \varPhi\)に左右から演算子\(\hat U_{\mathcal Q}(\theta)\)を作用させることで確認することができる。
\begin{align*}\hat U_{\mathcal Q}(\theta)\hat \varPhi\hat U_{\mathcal Q}^{-1}(\theta)=\hat \varPhi+\delta_{\mathcal Q} \varPhi\tag{9}\end{align*}
\begin{align*}\hat U_{\mathcal Q}(\theta)\hat \phi\hat U_{\mathcal Q}^{-1}(\theta)&=e^{\frac{i}{\hbar}\theta \hat {\mathcal Q}}\hat \varPhi e^{-\frac{i}{\hbar}\theta \hat {\mathcal Q}}\\&=\left(1+\frac{i}{\hbar}\theta \hat {\mathcal Q}+\cdots\right)\hat \varPhi\left(1-\frac{i}{\hbar}\theta \hat {\mathcal Q}+\cdots\right)\\&\simeq\hat \varPhi+\frac{i}{\hbar}\theta \hat{\mathcal Q} \hat \varPhi-\frac{i}{\hbar}\hat \varPhi\theta \hat{\mathcal Q} \\&=\hat \varPhi+\frac{i}{\hbar}[\theta\hat{\mathcal Q} ,\hat \varPhi]\\&=\hat \varPhi+\delta_{\mathcal Q} \varPhi\end{align*}
2行目への変形ではテイラー展開を行ない、3行目への変形では無限小定数\( \theta\)の2次以上の項を無視し、4行目への変形では交換関係の記号を用い、5行目への変形では量子力学における複素場の理論のネーターの定理(以前のページ参照)
\begin{align*}\delta_QA&=\frac{i}{\hbar}[\hat Q,\hat A]\end{align*}
を用いた。
式(8)より、電荷\(\mathcal Q\)は位相変換の無限小変換を作り出しているため、位相変換の生成子と呼ばれる。
位相変換の有限変換
無限小変換を起こす演算子\(\hat U_{\mathcal Q}(\theta)\)の無限小定数\(\theta\)を有限定数\( a\)に置き換えることにより有限変換を起こす演算子
\begin{align*}\hat U_{\mathcal Q}( a)&=e^{\frac{i}{\hbar} a \hat {\mathcal Q}}\tag{10}\end{align*}
が得られる。このことは、複素場\(\hat \varPhi\)の左右から演算子\(\hat U_{\mathcal Q}( a)\)を作用させることで確認することができる。
\begin{align*}\hat U_{\mathcal Q}( a)\hat \varPhi\hat U_{\mathcal Q}^{-1}( a)=\hat \varPhi-iqa\hat\varPhi\tag{11}\end{align*}
\begin{align*}\hat U_{\mathcal Q}( a)\hat \varPhi\hat U_{\mathcal Q}^{-1}( a)&=e^{\frac{i}{\hbar} a \hat {\mathcal Q}}\hat \varPhi e^{-\frac{i}{\hbar} \hat {\mathcal Q}}\\&=\underbrace{e^{\frac{i}{\hbar}\theta \hat {\mathcal Q}}\cdots e^{\frac{i}{\hbar}\theta \hat {\mathcal Q}}}_{m}\hat \varPhi\underbrace{e^{-\frac{i}{\hbar}\theta \hat {\mathcal Q}}\cdots e^{-\frac{i}{\hbar}\theta \hat {\mathcal Q}}}_m\\&=\underbrace{e^{\frac{i}{\hbar}\theta\hat {\mathcal Q}}\cdots e^{\frac{i}{\hbar}\theta \hat {\mathcal Q}}}_{m-1}\left(\hat \varPhi-iq\theta \hat\varPhi\right)\underbrace{e^{-\frac{i}{\hbar}\theta \hat {\mathcal Q}}\cdots e^{-\frac{i}{\hbar}\theta\hat {\mathcal Q}}}_{m-1}\\&=\underbrace{e^{\frac{i}{\hbar}\theta \hat {\mathcal Q}}\cdots e^{\frac{i}{\hbar}\theta \hat {\mathcal Q}}}_{m-2}\left(\hat \varPhi-2iq\theta \hat\varPhi\right)\underbrace{e^{-\frac{i}{\hbar}\theta\hat {\mathcal Q}}\cdots e^{-\frac{i}{\hbar}\theta \hat {\mathcal Q}}}_{m-2}\\&=\cdots\\&=\hat \varPhi-iqm\theta\hat\varPhi\\&=\hat \varPhi-iqa \hat\varPhi\end{align*}
2行目への変形では次のように定義
\begin{align*} a=m\theta\end{align*}
した\(m\)を用いて展開し、3行目への変形では式(9)と式(3)を用い、4行目への変形では無限小定数\( \epsilon_\nu\)の2次以上の項を無視し、7行目への変形では再度
\begin{align*} a=m\theta\end{align*}
を用いた。
位相変換の演算子
以上より、｢\(i/\hbar\)｣と｢\(\theta\)や\( a\)などの変換のパラメーター｣と｢位相変換の生成子\(\hat{\mathcal Q}\)｣の積を指数関数の肩に上げたものは、位相変換を引き起こす演算子\(\hat U_{\mathcal Q}\)
\begin{align*}\hat U_{\mathcal Q}( \theta)&=e^{\frac{i}{\hbar}\theta \hat {\mathcal Q}}\tag{8}\\\hat U_{\mathcal Q}( a)&=e^{\frac{i}{\hbar}a \hat {\mathcal Q}}\tag{10}\end{align*}
となることが分かる。
電荷演算子\(\hat{\mathcal Q}\)は次の関係
\begin{align*}(\hat{\mathcal Q})^\dagger=\hat{\mathcal Q}\tag{12}\end{align*}
を満たすエルミート演算子であるため、位相変換を引き起こす演算子\(\hat U_{\mathcal Q}\)は次の関係
\begin{align*}\hat U_{\mathcal Q}^\dagger=\hat U_{\mathcal Q}^{-1}\tag{13}\end{align*}
を満たすユニタリ演算子となる。
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