HOME ＞ 解析力学 ＞ 不変性と保存量 ＞ 位相変換不変性と全電荷保存
【前ページ】 【次ページ】
本ページでは…
本ページでは、複素場の理論におけるネーターの定理を用いることにより位相変換不変性から全電荷保存則が導かれることを確認する。
前ページまで…
前ページでは、複素場の理論におけるネーターの定理を用いることにより時空並進不変性から全エネルギー運動量保存則が導かれることを確認した。
内容
位相変換不変性
位相変換不変性は「位相をずらしても物理法則は変わらない」ことを意味する。
複素場の理論において、このことを考えてみる。無限小定数\(\theta\)だけ位相をずらすと、複素場\(\varPhi\),\(\varPhi^*\)の無限小変換は
\begin{align}\varPhi(x)&\rightarrow e^{-iq\theta}\varPhi(x)\simeq\varPhi(x)-iq\theta\varPhi(x)=\varPhi(x)+\delta_{\mathcal Q}\varPhi\tag{1}\\\varPhi^*(x)&\rightarrow e^{iq\theta}\varPhi^*(x)\simeq\varPhi^*(x)+iq\theta\varPhi^*(x)=\varPhi^*(x)+\delta_{\mathcal Q}\varPhi^*\tag{2}\end{align}
となり、位相変換不変性はこの時に作用積分\(S\)が変わらないことに対応する(\(q\)はただの定数であるが、後ほど、粒子の電荷に相当することが分かる)。このとき、複素場\(\varPhi\),\(\varPhi^*\)の無限小変化量は
\begin{align*}\delta_{\mathcal Q}\varPhi&=-iq\theta\varPhi\tag{3}\\\delta_{\mathcal Q}\varPhi^*&=iq\theta\varPhi^*\tag{4}\end{align*}
となる。
ハミルトニアン(エネルギー)\(H\)が実数となるためにはラグランジアン密度\(\mathscr L\)も実数とならなければならないため、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)は位相変換において不変であり、ラグランジアン密度の微小変化はゼロ
\begin{align}\delta_{\mathcal Q}\mathscr L&=0\tag{5}\end{align}
となる。そのため、次の関係(前ページを参照)
\begin{align*}\delta_{\mathcal Q}\mathscr L=\partial_\mu K^\mu\tag{6}\end{align*}
を満たす関数\(K^\mu\)は
\begin{align*}K^\mu=0\tag{7}\end{align*}
とする。
位相変換不変性と全電荷保存
それでは、位相変換不変性が全電荷保存則と関係していることをネーターの定理から導く。
ラグランジアン密度として次の形(以前のページを参照)
\begin{align}\mathscr{L}=\partial_\mu\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-m^2\varPhi^*\varPhi-\frac{\lambda}{4}(\varPhi^*\varPhi)^2\tag{8}\end{align}
を仮定したとき、式(3),(4)と式(7)をネーターカレントの式(前ページを参照)
\begin{align*}N^\mu=\delta_{\mathcal Q} \varPhi\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial _\mu \varPhi)}+\delta_{\mathcal Q} \varPhi^*\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial _\mu \varPhi^*)}-K^\mu\tag{9}\end{align*}
に代入するとネーターカレントは
\begin{align}N^\mu&=iq\theta(\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-(\partial^\mu \varPhi^*)\varPhi)\tag{10}\end{align}
\begin{align}N^\mu&=\delta_{\mathcal Q} \varPhi\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial_\mu \varPhi)}+\delta_{\mathcal Q} \varPhi^*\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial \mu \varPhi^*)}\\&=-iq\theta\varPhi\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu\varPhi)}\left(\partial_\tau\varPhi^*\partial^\tau\varPhi\right)+iq\theta\varPhi^*\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu\varPhi^*)}\left(\partial_\tau\varPhi^*\partial^\tau\varPhi\right)\\&=-iq\theta\varPhi\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu\varPhi)}\left(\eta^{\tau\rho}\partial_\tau\varPhi^*\partial_\rho\varPhi\right)+iq\theta\varPhi^*\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu\varPhi^*)}\left(\eta^{\tau\rho}\partial_\tau\varPhi^*\partial_\rho\varPhi\right)-\\&=-iq\theta\varPhi\eta^{\tau\rho}\partial_\tau\varPhi^*\frac{\partial\left(\partial_\rho\varPhi\right)}{\partial (\partial_\mu\varPhi)}+iq\theta\varPhi^*\eta^{\tau\rho}\frac{\partial\left(\partial_\tau\varPhi^*\right)}{\partial (\partial_\mu\varPhi^*)}\partial_\rho\varPhi-\\&=-iq\theta\varPhi\eta^{\tau\rho}\partial_\tau\varPhi^*\delta_\rho{}^\mu+iq\theta\varPhi^*\eta^{\tau\rho}\delta_\tau{}^\mu\partial_\rho\varPhi\\&=iq\theta(\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-(\partial^\mu \varPhi^*)\varPhi)\end{align}
3行目への変形では計量テンソル\(\eta^{\nu\rho}\)を用いて上付き添字を下付き添字に変えた(以前のページを参照)。
となり、ネーターカレント\(N^\mu\)は流れの保存
\begin{align*}\partial_\mu N^\mu=0\tag{11}\end{align*}
を満たす。ここで、4元確率流密度\(j^\mu\)(以前のページを参照)は
\begin{align*}j^\mu=\frac{i\hbar}{2m}(\varPhi^*\partial^\mu\varPhi-(\partial^\mu \varPhi^*)\varPhi)\tag{12}\end{align*}
であるから、ネーターカレント\(N^\mu\)は
\begin{align}N^\mu&=\frac{2mq\theta}{\hbar}j^\mu\tag{13}\end{align}
となる。このことから、クライン-ゴルドン方程式において流れの保存を満たす4元確率流密度\(j^\mu\)は、位相変換不変性に対応するネーターカレントであったことが分かる。
複素場の理論におけるネーターの定理より、このネーターカレント\(N ^{\mu}\)の時間成分(\(\mu=0\))を空間積分した量\(Q\)
\begin{align}Q&=\int{d}^3\boldsymbol x\ N^{0}\\&=\frac{2mq\theta}{\hbar}\int{d}^3\boldsymbol x\ j^0\tag{14}\end{align}
が保存量となり、4元確率流密度\(j^\mu\)と確率密度\(\rho\)の関係
\begin{align*}j^0=\rho c\tag{15}\end{align*}
を用いて保存量\(Q\)を表すと
\begin{align}Q&=\frac{2mc\theta}{\hbar}\int{d}^3\boldsymbol x\ q\rho\tag{16}\end{align}
となる。\(q\)を粒子の電荷と解釈すると\(q\rho\)は以前のページで求めた電荷密度となるため、電荷密度\(q\rho\)の全空間積分を電荷\(\mathcal Q\)
\begin{align*}\mathcal Q&=\frac{2mc}{\hbar}\int{d}^3\boldsymbol x\ q\rho\\&=\int{d}^3\boldsymbol x\ iq(\varPhi^*\partial^0\varPhi-(\partial^0 \varPhi^*)\varPhi)\tag{17}\end{align*}
と定義すると保存量\(Q\)は
\begin{align*}Q=\theta\mathcal Q\tag{18}\end{align*}
となる。よって、全電荷保存則の背景には位相変換不変性があり、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)の具体的な表式は必要なく、必要なことは無限小変換で作用積分が不変であることだけである。
次ページから⋯
次ページでは、ある保存量\(Q\)が存在するとき、物理量\(A\)が次の無限小変化量
\begin{align*}\delta_QA&=-\{Q,A\}\end{align*}
だけ変化する無限小変換で不変性が存在することを表すハミルトン力学における複素場の理論のネーターの定理を導く。また、量子力学において、無限小変化量は
\begin{align*}\delta_QA&=\frac{i}{\hbar}[\hat Q,\hat A]\end{align*}
と表されることも確認する。
【前ページ】 【次ページ】
HOME ＞ 解析力学 ＞ 不変性と保存量 ＞ 位相変換不変性と全電荷保存
