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本ページでは、生成消滅演算子を用いてハミルトニアン\(\hat H\)と運動量演算子\(\hat{\boldsymbol P}\)が
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{E_k}{2}\left\{\hat a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})\right\}\\\hat{\boldsymbol{P}}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol{k}}{2}\left\{\hat a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})\right\}\end{align}
と表されることを見て、正規順序をとると
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ E_k\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})\\\hat{\boldsymbol{P}}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \boldsymbol{k}\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})\end{align}
となることを確認する。
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前ページでは、実スカラー場が
\begin{align}\hat\phi(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a(\boldsymbol{k})f_k^{+}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\end{align}
と表され、生成消滅演算子\(\hat a^\dagger(\boldsymbol k)\),\(\hat a(\boldsymbol k)\)から構成されることをみた。
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内容
生成消滅演算子の交換関係
実スカラー場のハミルトニアン\(\hat H\)と生成消滅演算子の関係を調べる際に必要となる｢生成消滅演算子の交換関係｣をはじめに求める。
実スカラー場\(\hat\phi\)
\begin{align}\hat\phi(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\hat a(\boldsymbol{k})f_k^{+}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})f_k^{-}\right\}\tag{1}\end{align}
と関数\(f_k^\pm\)
\begin{align*}f_k^\pm&=\frac{e^{\mp i(E_\boldsymbol{k}t-\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x})}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k}}}\\&=(f_k^\mp)^*\tag{2}\end{align*}
それぞれを直交させると
\begin{align}(f_k^{+}|\hat\phi)&=\hat a(\boldsymbol{k})\tag{3}\end{align}
\begin{align}(f_k^{+}|\hat\phi)&=\int\ \text{d}^3\boldsymbol{k’}\ \left\{\hat a(\boldsymbol{k’})(f_k^{+}|f_{k’}^{+})+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})(f_k^{+}|f_{k’}^{-})\right\}\\&=\int\ \text{d}^3\boldsymbol{k’}\ \hat a(\boldsymbol{k’})\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)\\&=\hat a(\boldsymbol{k})\end{align}
1行目の変形では実スカラー場
\begin{align}\hat\phi(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}’\ \left\{\hat a(\boldsymbol{k’})f_k’^{+}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})f_k’^{-}\right\}\end{align}
を代入し、2行目への変形では次の直交関係(以前のページを参照)
\begin{align*}(f_k^{+}|f_{k’}^{+})&=\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)\\(f_k^{+}|f_{k’}^{-})&=0\end{align*}
を用いた。
\begin{align}(f_k^{-}|\hat\phi)&=-\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\tag{4}\end{align}
\begin{align}\left(f_k^{-}|\phi\right)&=\int\ \text{d}^3\boldsymbol{k’}\ \left\{\hat a(\boldsymbol{k’})(f_k^{-}|f_{k’}^{+})+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})(f_k^{-}|f_{k’}^{-})\right\}\\&=-\int\ \text{d}^3\boldsymbol{k’}\ \hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)\\&=-\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\end{align}
1行目の変形では実スカラー場
\begin{align}\hat\phi(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}’\ \left\{\hat a(\boldsymbol{k’})f_k’^{+}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})f_k’^{-}\right\}\end{align}
を代入し、2行目への変形では次の直交関係(以前のページを参照)
\begin{align*}(f_k^{-}|f_{k’}^{-})&=-\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k’)\\(f_k^{-}|f_{k’}^{+})&=0\end{align*}
を用いた。
となって生成消滅演算子を抜き出すことができ、これらの関係を用いると生成消滅演算子の交換関係は
\begin{align}[\hat a(\boldsymbol{k}),\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})]&=\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\tag{5}\end{align}
\begin{align}[\hat a(\boldsymbol{k}),\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})]&=[(f_k^{+}|\hat\phi),-(f_{k’}^{-}|\hat\phi)]\\&=\left[\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \left(f_k^{+}(t,\boldsymbol{x})\right)^\ast i\overleftrightarrow{\partial}_{0}\hat\phi(t,\boldsymbol{x}),-\int\text{d}^3\boldsymbol{y}\ \left(f_{k’}^{-}(t,\boldsymbol{y})\right)^\ast i\overleftrightarrow{\partial}_{0}\hat\phi(t,\boldsymbol{y})\right]\\&=\left[\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \left\{\left(f_k^{+}(t,\boldsymbol{x})\right)^\ast i\hat\pi(t,\boldsymbol{x})-i\left(\partial_{0}f_k^{+}(t,\boldsymbol{x})\right)^\ast \hat\phi(t,\boldsymbol{x})\right\},-\int\text{d}^3\boldsymbol{y}\ \left\{\left(f_{k’}^{-}(t,\boldsymbol{y})\right)^\ast i\hat\pi(t,\boldsymbol{y})-i\left(\partial_{0}f_{k’}^{-}(t,\boldsymbol{y})\right)^\ast \hat\phi(t,\boldsymbol{y})\right\}\right]\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\text{d}^3\boldsymbol{y}\ \left\{-\left(f_k^{+}(t,\boldsymbol{x})\right)^\ast\left(\partial_{0}f_{k’}^{-}(t,\boldsymbol{y})\right)^\ast[\hat\pi(t,\boldsymbol{x}),\hat\phi(t,\boldsymbol{y})]-\left(\partial_{0}f_k^{+}(t,\boldsymbol{x})\right)^\ast\left(f_{k’}^{-}(t,\boldsymbol{y})\right)^\ast[\hat\phi(t,\boldsymbol{x}),\hat\pi(t,\boldsymbol{y})]\right\}\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \text{d}^3\boldsymbol{y}\ \left\{\left(f_k^{+}(t,\boldsymbol{x})\right)^\ast\partial_{0}f_{k’}^{+}(t,\boldsymbol{y})\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})-\left(\partial_{0}f_k^{+}(t,\boldsymbol{x})\right)^\ast f_{k’}^{+}(t,\boldsymbol{y})\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})\right\}\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \left\{\left(f_k^{+}(t,\boldsymbol{x})\right)^\ast\partial_{0}f_{k’}^{+}(t,\boldsymbol{x})-\left(\partial_{0}f_k^{+}(t,\boldsymbol{x})\right)^\ast f_{k’}^{+}(t,\boldsymbol{x})\right\}\\&=(f_k^{+}|f_{k’}^{+})\\&=\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\end{align}
2行目および3行目への変形では直交関係の定義
\begin{align*}(f\vert g)&=\int d^3\boldsymbol x\ f^*i\overleftrightarrow{\partial}_0g\\&=\int d^3\boldsymbol x\ f^*i(\partial_0 g)-i(\partial_0f^*)g\end{align*}
を用い、4行目への変形では正準交換関係
\begin{align}\left[\hat\phi(t,\boldsymbol x),\hat\phi(t,\boldsymbol y)\right]&=\left[\hat\pi(t,\boldsymbol x),\hat\pi(t,\boldsymbol y)\right]=0\end{align}
を用い、5行目への変形では正準交換関係
\begin{align}\left[\hat\phi(t,\boldsymbol x),\hat\pi(t,\boldsymbol y)\right]&=i\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\end{align}
と関数\(f_k^{(\pm)}(x)\)の関係式(以前のページを参照)
\begin{align}f_k^{\pm}(t,\boldsymbol x)&=\left(f_k^{\mp}(t,\boldsymbol x)\right)^\ast\end{align}
を用い、7行目への変形では直交関係の定義を再度用い、8行目への変形では関数\(f^+_k\)と\(f^+_{k’}\)の直交関係(以前のページを参照)
\begin{align*}(f_k^{+}|f_{k’}^{+})=\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\end{align*}
を用いた。
\begin{align}[\hat a(\boldsymbol{k}),\hat a(\boldsymbol{k’})]&=[\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}),\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})]=0\tag{6}\end{align}
\begin{align*}[\hat a(\boldsymbol{k}),\hat a(\boldsymbol{k’})]&=[(f_k^{+}|\hat\phi),(f_{k’}^{+}|\hat\phi)]\\ [\hat a^\dagger(\boldsymbol{k}),\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})]&=[(f_k^{-}|\hat\phi),(f_{k’}^{-}|\hat\phi)]\end{align*}
\begin{align}[(f_k^{\pm}|\hat\phi),(f_{k’}^{\pm}|\hat\phi)]&=\left[\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \left(f_k^{\pm}(t,\boldsymbol{x})\right)^\ast i\overleftrightarrow{\partial}_{0}\hat\phi(t,\boldsymbol{x}),\int\text{d}^3\boldsymbol{y}\ \left(f_{k’}^{\pm}(t,\boldsymbol{y})\right)^\ast i\overleftrightarrow{\partial}_{0}\hat\phi(t,\boldsymbol{y})\right]\\&=\left[\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \left\{\left(f_k^{\pm}(t,\boldsymbol{x})\right)^\ast i\hat\pi(t,\boldsymbol{x})-i\left(\partial_{0}f_k^{\pm}(t,\boldsymbol{x})\right)^\ast \hat\phi(t,\boldsymbol{x})\right\},\int\text{d}^3\boldsymbol{y}\ \left\{\left(f_{k’}^{\pm}(t,\boldsymbol{y})\right)^\ast i\hat\pi(t,\boldsymbol{y})-i\left(\partial_{0}f_{k’}^{\pm}(t,\boldsymbol{y})\right)^\ast \hat\phi(t,\boldsymbol{y})\right\}\right]\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\text{d}^3\boldsymbol{y}\ \left\{\left(f_k^{\pm}(t,\boldsymbol{x})\right)^\ast\left(\partial_{0}f_{k’}^{\pm}(t,\boldsymbol{y})\right)^\ast[\hat\pi(t,\boldsymbol{x}),\hat\phi(t,\boldsymbol{y})]+\left(\partial_{0}f_k^{\pm}(t,\boldsymbol{x})\right)^\ast\left(f_{k’}^{\pm}(t,\boldsymbol{y})\right)^\ast[\hat\phi(t,\boldsymbol{x}),\hat\pi(t,\boldsymbol{y})]\right\}\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\text{d}^3\boldsymbol{y}\left\{-f_k^{\mp}(t,\boldsymbol{x})\left(\partial_{0}f_{k’}^{\pm}(t,\boldsymbol{y})\right)^\ast \delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})+\partial_{0}f_k^{\mp}(t,\boldsymbol{x}) \left(f_{k’}^{\pm}(t,\boldsymbol{y})\right)^\ast \delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})\right\}\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \left\{-f_k^{\mp}(t,\boldsymbol{x})\left(\partial_{0}f_{k’}^{\pm}(t,\boldsymbol{x})\right)^\ast+\partial_{0}f_k^{\mp}(t,\boldsymbol{x})\left(f_{k’}^{\pm}(t,\boldsymbol{x})\right)^\ast \right\}\\&=(f_k^{\pm}|f_{k’}^{\mp})\\&=0\end{align}
1行目および2行目への変形では直交関係の定義
\begin{align*}(f\vert g)&=\int d^3\boldsymbol x\ f^*i\overleftrightarrow{\partial}_0g\\&=\int d^3\boldsymbol x\ f^*i(\partial_0 g)-i(\partial_0f^*)g\end{align*}
を用い、3行目への変形では正準交換関係
\begin{align}\left[\hat\phi(t,\boldsymbol x),\hat\phi(t,\boldsymbol y)\right]&=\left[\hat\pi(t,\boldsymbol x),\hat\pi(t,\boldsymbol y)\right]=0\end{align}
を用い、4行目への変形では正準交換関係
\begin{align}\left[\hat\phi(t,\boldsymbol x),\hat\pi(t,\boldsymbol y)\right]&=i\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\end{align}
と関数\(f_k^{(\pm)}(x)\)の関係式(以前のページを参照)
\begin{align}f_k^{\pm}(t,\boldsymbol x)&=\left(f_k^{\mp}(t,\boldsymbol x)\right)^\ast\end{align}
を用い、6行目への変形では直交関係の定義を再度用い、7行目への変形では関数\(f^\pm_k\)と\(f^\mp_{k’}\)の直交関係(以前のページを参照)
\begin{align*}(f_k^{\pm}|f_{k’}^{\mp})=0\end{align*}
を用いた。
と表される。
実スカラー場のハミルトニアンと生成消滅演算子
以前のページで、相互作用項の\(\hat\phi^4\)項を含んだハミルトニアン
\begin{align*}\hat H&=\int \text d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\hat\pi^2+\frac{1}{2}(\boldsymbol\nabla\hat\phi)^2+\frac{m^2}{2}\hat\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\hat\phi^4\right)\tag{7}\end{align*}
を求めたが、以後、相互作用項のない自由粒子のハミルトニアン
\begin{align*}\hat H&=\int d\boldsymbol x^3\ \left(\frac{1}{2}\hat\pi^2+\frac{1}{2}(\boldsymbol\nabla\hat\phi)^2+\frac{m^2}{2}\hat\phi^2\right)\tag{8}\end{align*}
で考える。
ハミルトニアン\(\hat H\)を生成消滅演算子で表してみよう。ハミルトニアンの式(8)にスカラー場の式(1)を代入すると第1項は
\begin{align}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{1}{2}(\hat\pi(t,\boldsymbol{x}))^2&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{E_k}{4} (\hat a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})-\hat a(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{-k})e^{-2iE_kt}-\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{-k})e^{2iE_kt})\tag{9}\end{align}
\begin{align}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\frac{1}{2}(\hat\pi(t,\boldsymbol{x}))^2&=\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\frac{1}{2}(\partial^0\hat\phi(t,\boldsymbol{x}))^2\\&=\frac{1}{2}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k}}}\left\{\hat a(\boldsymbol{k})(-iE_k)e^{-ik\cdot x}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})(iE_k)e^{ ik\cdot x}\right\}\\&\ \ \ \ ×\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k’}}}\left\{\hat a(\boldsymbol{k’})(-iE_k)e^{-ik’\cdot x}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})(iE_k)e^{ ik’\cdot x}\right\}\\&=\frac{1}{2}\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{(2\pi)^3}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{\sqrt{E_kE_{k’}}}{2} (\hat a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k-E_{k’})t+i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ +\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k-E_{k’})t-i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ -\hat a(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k+E_{k’})t+i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ -\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k+E_{k’})t-i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}})\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}\ \frac{\sqrt{E_kE_{k’}}}{4} (\hat a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k-E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ +\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k-E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ -\hat a(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k+E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ -\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k+E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’}))\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{E_k}{4} (\hat a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})-\hat a(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{-k})e^{-2iE_kt}-\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{-k})e^{2iE_kt})\end{align}
4つ目の等号ではデルタ関数の積分表示
\begin{align}\int\ \text{d}^3\boldsymbol{x}\ e^{\pm i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}=(2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol{k})\end{align}
を用い、5つ目の等号では次の関係式
\begin{align}E_{{k}}=E_{-{k}}=\sqrt{\boldsymbol k^2+m^2}\end{align}
を用いた。
となり、第2項は
\begin{align}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{1}{2}(\boldsymbol{\nabla}\hat\phi(t,\boldsymbol{x}))^2&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol{k}^2}{4E_k} (\hat a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})+\hat a(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{-k})e^{-2iE_kt}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{-k})e^{2iE_kt})\tag{10}\end{align}
\begin{align}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{1}{2}(\boldsymbol{\nabla}\hat \phi(t,\boldsymbol{x}))^2&=\frac{1}{2}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k}}}\left\{\hat a(\boldsymbol{k})(i\boldsymbol{k})e^{-ik\cdot x}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})(-i\boldsymbol{k})e^{ ik\cdot x}\right\}\\&\ \ \ \ ×\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k’}}}\left\{\hat a(\boldsymbol{k’})(i\boldsymbol{k’})e^{-ik’\cdot x}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})(-i\boldsymbol{k’})e^{ ik’\cdot x}\right\}\\&=\frac{1}{2}\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{(2\pi)^3}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{k’}}{2\sqrt{E_kE_{k’}}} (\hat a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k-E_{k’})t+i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ +\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k-E_{k’})t-i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ -\hat a(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k+E_{k’})t+i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ -\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k+E_{k’})t-i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}})\\&=\frac{1}{2}\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}\ \frac{\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{k’}}{2\sqrt{E_kE_{k’}}}(\hat a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k-E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ +\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k-E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ -\hat a(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k+E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ -\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k+E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’}))\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol{k}^2}{4E_k} (\hat a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})+\hat a(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{-k})e^{-2iE_kt}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{-k})e^{2iE_kt})\end{align}
3つ目の等号ではデルタ関数の積分表示
\begin{align}\int\ \text{d}^3\boldsymbol{x}\ e^{\pm i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}=(2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol{k})\end{align}
を用い、4つ目の等号では次の関係式
\begin{align}E_{{k}}=E_{-{k}}=\sqrt{\boldsymbol k^2+m^2}\end{align}
を用いた。
となり、第3項は
\begin{align}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{m^2}{2}(\hat\phi(t,\boldsymbol{x}))^2&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{m^2}{4E_k} (\hat a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})+\hat a(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{-k})e^{-2iE_kt}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{-k})e^{2iE_kt})\tag{11}\end{align}
\begin{align}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{m^2}{2}(\hat\phi(t,\boldsymbol{x}))^2&=\frac{m^2}{2}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k}}}\left\{\hat a(\boldsymbol{k})e^{-ik\cdot x}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})e^{ ik\cdot x}\right\}\\&\ \ \ \ ×\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k’}}}\left\{\hat a(\boldsymbol{k’})e^{-ik’\cdot x}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{ ik’\cdot x}\right\}\\&=\frac{1}{2}\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{(2\pi)^3}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{m^2}{2\sqrt{E_kE_{k’}}} (\hat a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k-E_{k’})t+i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ +\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k-E_{k’})t-i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ +\hat a(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k+E_{k’})t+i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ +\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k+E_{k’})t-i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}})\\&=\frac{1}{2}\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}\ \frac{m^2}{2\sqrt{E_kE_{k’}}}(\hat a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k-E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ +\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k-E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ +\hat a(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k+E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ +\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k+E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’}))\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{m^2}{4E_k} (\hat a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})+\hat a(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{-k})e^{-2iE_kt}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{-k})e^{2iE_kt})\end{align}
3つ目の等号ではデルタ関数の積分表示
\begin{align}\int\ \text{d}^3\boldsymbol{x}\ e^{\pm i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}=(2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol{k})\end{align}
を用い、4つ目の等号では次の関係式
\begin{align}E_{{k}}=E_{-{k}}=\sqrt{\boldsymbol k^2+m^2}\end{align}
を用いた。
となるため、3つの項を足し合わせると
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{E_k}{2}\left\{\hat a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})\right\}\tag{12}\end{align}
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \left\{\frac{1}{2}\hat\pi^2+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\nabla}\hat\phi\right)^2+\frac{m^2}{2}\hat\phi^2\right\}\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \left\{\left(\frac{E_k^2+\boldsymbol{k}^2+m^2}{4E_k}\right)(\hat a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k}))\\+\left(\frac{-E_k^2+\boldsymbol{k}^2+m^2}{4E_k}\right)(\hat a(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{-k})e^{-2iE_kt}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{-k})e^{2iE_kt})\right\}\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{E_k}{2}\left\{(\hat a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k}))\right\}\end{align}
と生成消滅演算子で表したハミルトニアン\(\hat H\)を求めることができる。ここで、ハミルトニアンから時間\(t\)が消えたのは、ハミルトニアン\(H\)が保存量であることを表している。
実スカラー場の運動量と生成消滅演算子
次に、運動量演算子\(\hat{\boldsymbol P}\)を生成消滅演算子で表してみよう。以前のページで求めた運動量演算子の式
\begin{align}\hat{\boldsymbol{P}}=-\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{1}{2}\left\{\hat\pi\boldsymbol{\nabla}\hat\phi+(\boldsymbol{\nabla}\hat\phi)\hat\pi\right\}\tag{13}\end{align}
にスカラー場の式(1)を代入すると第1項は
\begin{align}-\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{1}{2}\hat\pi(t,\boldsymbol{x})\boldsymbol{\nabla}\hat\phi(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol{k}}{4} (\hat a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})+\hat a(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{-k})e^{-2iE_kt}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{-k})e^{2iE_kt})\tag{14}\end{align}
\begin{align}-\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{1}{2}\hat\pi(t,\boldsymbol{x})\boldsymbol{\nabla}\hat\phi(t,\boldsymbol{x})&=-\frac{1}{2}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k}}}\left\{\hat a(\boldsymbol{k})(-iE_k)e^{-ik\cdot x}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})(iE_k)e^{ ik\cdot x}\right\}\\&\ \ \ \ ×\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k’}}}\left\{\hat a(\boldsymbol{k’})(i\boldsymbol{k’})e^{-ik’\cdot x}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})(-i\boldsymbol{k’})e^{ ik’\cdot x}\right\}\\&=\frac{1}{2}\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{(2\pi)^3}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{E_k\boldsymbol{k’}}{2\sqrt{E_kE_{k’}}} (\hat a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k-E_{k’})t+i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ +\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k-E_{k’})t-i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ -\hat a(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k+E_{k’})t+i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ -\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k+E_{k’})t-i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}})\\&=\frac{1}{2}\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \text{d}^3\boldsymbol{k’}\ \frac{E_k\boldsymbol{k’}}{2\sqrt{E_kE_{k’}}}(\hat a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k-E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ +\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k-E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ -\hat a(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k+E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ -\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k+E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’}))\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol{k}}{4} (a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})+\hat a(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{-k})e^{-2iE_kt}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{-k})e^{2iE_kt})\end{align}
3つ目の等号ではデルタ関数の積分表示
\begin{align}\int\ \text{d}^3\boldsymbol{x}\ e^{\pm i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}=(2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol{k})\end{align}
を用い、4つ目の等号では次の関係式
\begin{align}E_{{k}}=E_{-{k}}=\sqrt{\boldsymbol k^2+m^2}\end{align}
を用いた。
となり、第2項は
\begin{align}-\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\frac{1}{2}(\boldsymbol{\nabla}\hat\phi(t,\boldsymbol{x}))\hat\pi(t,\boldsymbol{x})&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol{k}}{4} (\hat a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})-\hat a(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{-k})e^{-2iE_kt}-\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{-k})e^{2iE_kt})\tag{15}\end{align}
\begin{align}-\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\frac{1}{2}(\boldsymbol{\nabla}\hat\phi(t,\boldsymbol{x}))\hat\pi(t,\boldsymbol{x})&=-\frac{1}{2}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k}}}\left\{\hat a(\boldsymbol{k})(i\boldsymbol{k})e^{-ik\cdot x}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})(-i\boldsymbol{k})e^{ ik\cdot x}\right\}\\&\ \ \ \ ×\int\ \frac{\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{\sqrt{(2\pi)^32E_\boldsymbol{k’}}}\left\{\hat a(\boldsymbol{k’})(-iE_{k’})e^{-ik’\cdot x}+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})(iE_{k’})e^{ ik’\cdot x}\right\}\\&=\frac{1}{2}\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}}{(2\pi)^3}\int\text{d}^3\boldsymbol{x}\ \frac{E_{k’}\boldsymbol{k}}{2\sqrt{E_kE_{k’}}} (\hat a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k-E_{k’})t+i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ +\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k-E_{k’})t-i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ -\hat a(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k+E_{k’})t+i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}}\\&\ \ \ \ -\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k+E_{k’})t-i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\cdot \boldsymbol{x}})\\&=\frac{1}{2}\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\text{d}^3\boldsymbol{k’}\ \frac{E_{k’}\boldsymbol{k}}{2\sqrt{E_kE_{k’}}}(\hat a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k-E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ +\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k-E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ -\hat a(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k’})e^{-i(E_k+E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’})\\&\ \ \ \ -\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k’})e^{i(E_k+E_{k’})t}\delta^3(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k’}))\\&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol{k}}{4} (a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})-\hat a(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{-k})e^{-2iE_kt}-\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{-k})e^{2iE_kt})\end{align}
3つ目の等号ではデルタ関数の積分表示
\begin{align}\int\ \text{d}^3\boldsymbol{x}\ e^{\pm i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}=(2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol{k})\end{align}
を用い、4つ目の等号では次の関係式
\begin{align}E_{{k}}=E_{-{k}}=\sqrt{\boldsymbol k^2+m^2}\end{align}
を用いた。
となるため、2つの項を足し合わせると
\begin{align}\hat{\boldsymbol{P}}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol{k}}{2}\left\{\hat a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})\right\}\tag{16}\end{align}
と生成消滅演算子で表した運動量演算子を求めることができる。ハミルトニアンと同様、運動量演算子\(\hat{\boldsymbol P}\)から時間\(t\)が消えたのは、運動量\(\boldsymbol P\)が保存量であることを表している。
正規順序
ハミルトニアンと運動量演算子
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{E_k}{2}\left\{\hat a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})\right\}\tag{12}\\\hat{\boldsymbol{P}}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol{k}}{2}\left\{\hat a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})+\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})\right\}\tag{16}\end{align}
において、生成消滅演算子の交換関係
\begin{align*}[\hat a(\boldsymbol{k}),\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})]=\hat a(\boldsymbol{k})\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})-\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})\tag{17}\end{align*}
を用いて表すと
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{E_k}{2}\left\{2\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})+[\hat a(\boldsymbol{k}),\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})]\right\}\tag{18}\\\hat{\boldsymbol{P}}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \frac{\boldsymbol{k}}{2}\left\{2\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})+[\hat a(\boldsymbol{k}),\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\right\}\tag{19}\end{align}
となり、次の交換関係
\begin{align}[a(\boldsymbol{k}),a^\dagger(\boldsymbol{k})]&=\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{x}}{(2\pi)^3}\tag{20}\end{align}
\begin{align}[a(\boldsymbol{k}),a^\dagger(\boldsymbol{k})]&=[a(\boldsymbol{k}),a^\dagger(\boldsymbol{k})]_{k’\rightarrow k}\\&=\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)|_{k’\rightarrow k}\\&=\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{x}}{(2\pi)^3}e^{i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot\boldsymbol{x}}|_{k’\rightarrow k}\\&=\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{x}}{(2\pi)^3}\end{align}
2行目への変形では交換関係
\begin{align*}[a(\boldsymbol{k}),a^\dagger(\boldsymbol{k})]=\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)\end{align*}
を用い、3行目への変形ではデルタ関数の定義式
\begin{align*}\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{x}}{(2\pi)^3}e^{i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k’})\cdot\boldsymbol{x}}=\delta^3(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)\end{align*}
を用いた。
を用いると
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ E_k\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})+\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{x}\text{d}^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^3}\frac{E_k}{2}\tag{21}\\\hat{\boldsymbol{P}}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \boldsymbol{k}\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})+\int\frac{\text{d}^3\boldsymbol{x}\text{d}^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^3}\frac{\boldsymbol k}{2}\tag{22}\end{align}
と表される。式(21)において、空間体積は無限であるため第2項は発散量であるが定数であるため、この発散量を真空エネルギー\(E_0\)とおき、ハミルトニアン\(\hat H\)からこのシンクエネルギー\(E_0\)を引いた量を新たにハミルトニアン\(\hat H\)として定義すれば
\begin{align}\hat H&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ E_k\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})\tag{23}\end{align}
となる。また、式(22)において、第2項の被積分関数\(\boldsymbol{k}\)は奇関数であるため積分すると\(0\)となり運動量演算子は
\begin{align}\hat{\boldsymbol{P}}&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ \boldsymbol{k}\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})\tag{24}\end{align}
となる。
式(12),(16)から式(23),(24)への変形のように、生成演算子\(a^\dagger(\boldsymbol{k})\)を消滅演算子\(a(\boldsymbol{k})\)の左に持ってくる作業を正規順序と呼ぶ。運動量における正規順序は単なる式変形に過ぎないが、ハミルトニアンにおける正規順序は発散量である真空エネルギー\(E_0\)を無視する操作に等しい。
式(23)と式(24)をまとめると
\begin{align}\hat{{P}}^\mu&=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ {k}^\mu\hat a^\dagger(\boldsymbol{k})\hat a(\boldsymbol{k})\tag{24}\end{align}
となり、これは以前のページで予想したエネルギー運動量演算子\(\hat P^\mu\)と一致する。そして、このエネルギー運動量演算子\(\hat P^\mu\)を真空状態\(\vert 0\rangle\)に作用させると、次の関係
\begin{align}a(\boldsymbol{k})|0\rangle=0\tag{25}\end{align}
より
\begin{align*}\hat P^\mu\vert0\rangle=\int\text{d}^3\boldsymbol{k}\ {k}^\mu a^\dagger(\boldsymbol{k})a(\boldsymbol{k})|0\rangle=0\tag{26}\end{align*}
となって真空状態\(\vert0\rangle\)のエネルギー\(H\)や運動量\(\boldsymbol P\)は0となることが分かる。
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