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本ページでは、ネーターの定理を用いることにより空間回転不変性から全角運動量保存則が導かれることを確認する。
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前ページでは、ネーターの定理を用いることにより時間並進不変性から全エネルギー保存則が導かれることを確認する。
内容
空間回転不変性
ここでは、3次元空間内の\(N\)個の粒子の運動を考え、それぞれの粒子の座標を\(\boldsymbol{q_a}(a=1,2,\cdots,N)\)としておく。
空間回転不変性は「空間座標を回転させても物理法則は変わらない」ことを意味する。
このことをグラフで考えてみよう。横軸を時間\(t\)、縦軸を一般化座標\(\boldsymbol{q_a}\)として運動方程式を描くと、この運動方程式の各点はラグランジアン\(L\)の値を持ち、その値は時間\(t\)と一般化座標\(\boldsymbol{q_a}\)、そして一般化速度\(\dot{\boldsymbol{q_a}}\)によって決まる。そして、\(\boldsymbol{\epsilon}\)を回転軸方向として一般化座標\(\boldsymbol{q}_a\)を無限小定数\(\vert\boldsymbol\epsilon\vert\)だけ(無限小)回転させる。このとき、回転方向は回転軸方向\(\boldsymbol{\epsilon}\)にも座標ベクトル\(\boldsymbol{q_a}\)にも垂直となるため、外積を用いると、時間\(t\)と一般化座標\(\boldsymbol q_a(t)\)の無限小変換は
\begin{align}t&\rightarrow t’=t\tag{1}\\\boldsymbol{x}_a(t)&\rightarrow\boldsymbol q’_a(t)=\boldsymbol q_a(t)+\boldsymbol\epsilon×\boldsymbol q_a(t)=\boldsymbol q_a(t)+\delta_L\boldsymbol q_a\tag{2}\end{align}
となり、空間回転不変性はこの時に作用積分\(S\)が変わらないことに対応する。このとき、時間\(t\)と一般化座標\(\boldsymbol q_a\)の無限小変化量は
\begin{align*}\delta_Lt&=0\tag{3}\\\delta_L\boldsymbol q_a&=\boldsymbol\epsilon×\boldsymbol q_a(t)\tag{4}\end{align*}
となる。
空間回転不変性と全角運動量保存則
それでは、空間回転不変性が全角運動量保存則と関係していることをネーターの定理から導く。
式(3)と式(4)をネーター電荷の式(以前のページを参照)
\begin{align*}N=\sum_{a=1}^N\delta_L \boldsymbol q_a\cdot\frac{\partial L}{\partial \dot{\boldsymbol q}_a}+\delta_L t\left\{L-\left(\sum_{a=1}^N\dot {\boldsymbol q}_a\cdot\frac{\partial L}{\partial \dot {\boldsymbol q}_a}\right)\right\}\tag{5}\end{align*}
に代入すると
\begin{align}N&=\sum_{a=1}^N\delta_L \boldsymbol q_a\cdot\frac{\partial L}{\partial \dot{\boldsymbol q}_a}+\delta_L t\left\{L-\left(\sum_{a=1}^N\dot {\boldsymbol q}_a\cdot\frac{\partial L}{\partial \dot {\boldsymbol q}_a}\right)\right\}\\&=\sum_{a=1}^N(\boldsymbol\epsilon×\boldsymbol q_a)\cdot\boldsymbol p_a\\&=\boldsymbol\epsilon\cdot\left(\sum_{a=1}^N\boldsymbol q_a×\boldsymbol p_a\right)\\&=\boldsymbol\epsilon\cdot\sum_{a=1}^N\boldsymbol l_a\\&=\boldsymbol\epsilon\cdot\boldsymbol L\tag{6}\end{align}
となる。ここで、一般化運動量の定義式
\begin{align*}\boldsymbol p_a&=\frac{\partial L}{\partial \dot{\boldsymbol q_a}}\tag{7}\end{align*}
とベクトルの公式
\begin{align*}\boldsymbol a\cdot\left(\boldsymbol b×\boldsymbol c\right)=\boldsymbol b\cdot\left(\boldsymbol c×\boldsymbol a\right)\tag{8}\end{align*}
を用いた。式(6)より、ネーター電荷\(N\)として全角運動量\(\boldsymbol L\)が保存することがわかる。したがって、全角運動量保存則の起源は空間回転不変性であり、ラグランジアン\(L\)の具体的な表式は必要なく、必要なことは無限小変換で作用積分が不変であることだけである。
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次ページでは、ある物理量\(A(q,p)\)を連続的に無限小変換してハミルトニアン\(H\)が変わらない、つまり、物理法則が変わらないとき、その無限小変換において保存量であるネーター電荷\(N\)
\begin{align*}N=\sum_{i=1}^n\delta_N q_i\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}+\delta_N t\left\{L-\left(\sum_{i=1}^n\dot q_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right)\right\}\end{align*}
を用いて、その無限小変換が
\begin{align*}\delta_NA(q,p)&=-\{N,A(q,p)\}\end{align*}
となることを表すハミルトン力学におけるネーターの定理を導く。また、量子力学において、無限小変換は
\begin{align*}\delta_NA(q,p)&=\frac{i}{\hbar}[\hat N,\hat A(\hat q,\hat p)]\end{align*}
と表されることも確認する。
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