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前ページでは、ネーターの定理を用いることにより時間並進不変性から全エネルギー保存則が導かれることを確認する。
内容
空間回転不変性
ここでは、3次元空間内の\(N\)個の粒子の運動を考え、それぞれの粒子の座標を\(\boldsymbol{x_a}(a=1,2,\cdots,N)\)としておく。
空間回転不変性は「空間座標を回転させても物理法則は変わらない」ことを意味する。
このことをグラフで考えてみよう。横軸を時間\(t\)、縦軸を一般化座標\(\boldsymbol{x_a}\)として運動方程式を描くと、この運動方程式の各点はラグランジアン\(L\)の値を持ち、その値は時間\(t\)と一般化座標\(\boldsymbol{x_a}\)、そして一般化速度\(\dot{\boldsymbol{x_a}}\)によって決まる。そして、時間\(t\)の向きである横軸に沿って時間\(t\)を無限小定数\(\epsilon\)だけ(無限小)並進させる。このとき、一般化座標は
そして、\(\boldsymbol{\theta}\)を回転軸方向として一般化座標\(\boldsymbol{x}_a\)を無限小定数\(\vert\boldsymbol\theta\vert\)だけ(無限小)回転させる。このとき、回転方向は回転軸方向\(\boldsymbol{\theta}\)にも座標ベクトル\(\boldsymbol{x_a}\)にも垂直となるため、外積を用いると、時間\(t\)と一般化座標\(\boldsymbol x_a(t)\)は
\begin{align}t&\rightarrow t’=t\tag{1}\\\boldsymbol{x}_a(t)&\rightarrow\boldsymbol x’_a(t)=\boldsymbol x_a(t)+\boldsymbol\theta×\boldsymbol x_a(t)=\boldsymbol x_a(t)+\delta_L\boldsymbol x_a\tag{2}\end{align}
となり、空間回転不変性はこの時に作用積分\(S\)が変わらないことに対応する。このとき、時間\(t\)と一般化座標\(\boldsymbol x_a\)の無限小変化量は
\begin{align*}\delta_Pt&=0\tag{3}\\\delta_P\boldsymbol x_a&=\boldsymbol\theta×\boldsymbol x_a(t)\tag{4}\end{align*}
となる。
空間回転不変性と全角運動量保存則
それでは、空間回転不変性が全角運動量保存則と関係していることをネーターの定理から導く。
式(3)と式(4)をネーター電荷の式(以前のページを参照)
\begin{align*}N=\sum_{a=1}^N\delta_H \boldsymbol x_a\cdot\frac{\partial L}{\partial \dot{\boldsymbol x}_a}+\delta_H t\left\{L-\left(\sum_{a=1}^N\dot {\boldsymbol x}_a\cdot\frac{\partial L}{\partial \dot {\boldsymbol x}_a}\right)\right\}\tag{5}\end{align*}
に代入すると
\begin{align}N&=\sum_{a=1}^N\delta_H \boldsymbol x_a\cdot\frac{\partial L}{\partial \dot{\boldsymbol x}_a}+\delta_H t\left\{L-\left(\sum_{a=1}^N\dot {\boldsymbol x}_a\cdot\frac{\partial L}{\partial \dot {\boldsymbol x}_a}\right)\right\}\\&=\sum_{a=1}^N(\boldsymbol\theta×\boldsymbol x_a)\cdot\boldsymbol p_a\\&=\boldsymbol\theta\cdot\left(\sum_{a=1}^N\boldsymbol x_a×\boldsymbol p_a\right)\\&=\boldsymbol\theta\cdot\sum_{a=1}^N\boldsymbol l_a\tag{6}\end{align}
となる。ここで、一般化運動量の定義式
\begin{align*}\boldsymbol p_a&=\frac{\partial L}{\partial \dot{\boldsymbol x_a}}\tag{7}\end{align*}
とベクトルの公式
\begin{align*}\boldsymbol a\cdot\left(\boldsymbol b×\boldsymbol c\right)=\boldsymbol b\cdot\left(\boldsymbol c×\boldsymbol a\right)\tag{8}\end{align*}
を用いた。式(6)より、ネーター電荷\(N\)として全角運動量が保存することがわかる。したがって、全角運動量保存則の起源は空間回転不変性であり、ラグランジアン\(L\)の具体的な表式は必要なく、必要なことは無限小変換で作用積分が不変であることだけである。
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