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本ページでは…
本ページでは、ハミルトン力学における場の理論のネーターの定理を用いることにより、全エネルギー運動量保存則から時空並進不変性が導かれることを確認し、エネルギー運動量\(\hat{ P}^\nu\)は時空並進の生成子であることを確認する。
前ページまで…
前ページでは、ある保存量\(Q\)が存在するとき、物理量\(A\)が次の無限小変化量
\begin{align*}\delta_QA[\phi,\pi]&=-\{Q,A[\phi,\pi]\}\end{align*}
だけ変化する無限小変換で不変性が存在することを表すハミルトン力学における場の理論のネーターの定理を導いた。また、量子力学において、無限小変化量は
\begin{align*}\delta_QA[\phi,\pi]&=\frac{i}{\hbar}[\hat Q,\hat A[\hat \phi,\hat p]]\end{align*}
と表されることも確認した。
内容
全エネルギー運動量保存則と時空並進不変性
場の理論のネーターの定理(ラグランジュ力学)から、時空座標\(x\)を無限小定数\(\epsilon\)だけ(無限小)並進させても物理法則が変わらない時空並進不変性が系に存在するとき、次の保存量\(Q\)
\begin{align*}Q=\epsilon_\nu P^\nu\tag{1}\end{align*}
が保存し、全エネルギー運動量保存則の背景には時空並進不変性があることを以前のページで見た。
この逆の関係も成り立つことを見てみる。場の量子論のネーターの定理(ハミルトン力学)より、全エネルギー運動量\(P^\nu\)から構成される保存量\(Q\)が保存するとき、物理量\(A\)が次の無限小変化量
\begin{align*}\delta_PA&=-\{Q, A\}\\&=-\{\epsilon_\nu P^\nu, A\}\tag{2}\end{align*}
だけ変化する無限小変換で不変性が存在する。ここでは、計算をシンプルにするため物理量\(A\)として場\(\phi(t,\boldsymbol y)\)を考えると、無限小変化量\(\delta_P\phi\)は
\begin{align*}\delta_P\phi&=-\{Q, \phi\}\\&=-\{\epsilon_\nu P^\nu, \phi\}\\&=\epsilon_\nu\partial^\nu \phi\tag{3}\end{align*}
\begin{align*}\delta_P\phi&=-\{Q, \phi\}\\&=-\{\epsilon_\nu P^\nu, \phi(t,\boldsymbol y)\}\\&=-\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta (\epsilon_\nu P^\nu)}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}{\delta\pi(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta (\epsilon_\nu P^\nu)}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)} \frac{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}{\delta\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\\&=\int d \boldsymbol x^3\ \frac{\delta (\epsilon_\nu P^\nu)}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)} \delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\\&=\frac{\delta (\epsilon_\nu P^\nu)}{\delta \pi(t,\boldsymbol y)} \\&=\epsilon_\nu\int{d}^3\boldsymbol z\ \left\{\frac{\delta \pi(t,\boldsymbol z)}{\delta \pi(t,\boldsymbol y)}\pi(t,\boldsymbol z)+\frac{\delta \pi(t,\boldsymbol z)}{\delta \pi(t,\boldsymbol y)}\partial^j\phi(t,\boldsymbol z)\right\}\\&=\epsilon_\nu\int{d}^3\boldsymbol z\ \frac{\delta \pi(t,\boldsymbol z)}{\delta \pi(t,\boldsymbol y)}\partial^\nu\phi(t,\boldsymbol z)\\&=\epsilon_\nu\int{d}^3\boldsymbol z\ \delta^3(\boldsymbol y-\boldsymbol z)\partial^\nu\phi(t,\boldsymbol z)\\&=\epsilon_\nu\partial^\nu\phi(t,\boldsymbol y)\end{align*}
3行目への変形ではポアソン括弧の定義式
\begin{align}\left\{X,Y\right\}=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\delta X}{\delta \phi(t,\boldsymbol x)}\frac{\delta Y}{\delta\pi(t,\boldsymbol x)}-\frac{\delta X}{\delta \pi(t,\boldsymbol x)} \frac{\delta Y}{\delta\phi(t,\boldsymbol x)}\right)\end{align}
を用い、4行目と8行目への変形では次の関係式
\begin{align*}\frac{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}{\delta\phi(t,\boldsymbol x)}&=\frac{\delta \pi(t,\boldsymbol y)}{\delta\pi(t,\boldsymbol x)}=\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\\\frac{\delta \phi(t,\boldsymbol y)}{\delta\pi(t,\boldsymbol x)}&=0\end{align*}
を用い、6行目への変形ではエネルギー運動量\(P^\nu\)(以前のページを参照)を変形した式
\begin{align*}\epsilon_\nu P^\nu&=\epsilon_\nu\int{d}^3\boldsymbol z\ \left\{\partial^0 \phi\partial^\nu\phi-\eta^{0\nu}\mathscr L\right\}\\&=\int{d}^3\boldsymbol z\ \left\{\epsilon_0\partial^0 \phi\partial^0\phi+\epsilon_j\partial^0 \phi\partial^j\phi-\epsilon_0\left(\frac{1}{2}\partial_\rho\phi\partial^\rho\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4\right)\right\}\\&=\int{d}^3\boldsymbol z\ \left\{\frac{1}{2}\epsilon_0\partial^0 \phi\partial^0\phi+\epsilon_j\partial^0 \phi\partial^j\phi-\frac{1}{2}\epsilon_0\partial_j\phi\partial^j\phi+\frac{m^2}{2}\epsilon_0\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\epsilon_0\phi^4\right\}\\&=\int{d}^3\boldsymbol z\ \left\{\frac{1}{2}\epsilon_0\pi^2+\epsilon_j\pi\partial^j\phi-\frac{1}{2}\epsilon_0\partial_j\phi\partial^j\phi+\frac{m^2}{2}\epsilon_0\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\epsilon_0\phi^4\right\}\end{align*}
を用いた。
と計算でき、この無限小変化量は時空座標\(x_\nu\)が無限小定数\(\epsilon_\nu\)だけズレた時の場\(\phi\)の変化量であることが分かる。よって、無限小変換は
\begin{align*}\phi(x)\rightarrow \phi(x’)&=\phi(x)+\delta_P \phi\\&=\phi(x)+\epsilon_\nu\partial^\nu \phi\\&=\phi(x+\epsilon)\tag{4}\end{align*}
となって、全エネルギー運動量\( P^\nu\)が保存するとき、時空座標\(x_\nu\)が無限小定数\(\epsilon_\nu\)だけ移動する時空並進における不変性が存在する。
以上より、時空並進不変性の背景には全エネルギー運動量保存則があるとも言える。
量子力学において、ある保存量\(Q\)が存在するときの物理量\(A\)の無限小変化量は演算子\(\hat Q\)と\(\hat A\)を用いて
\begin{align*}\delta_QA[\phi,\pi]&=\frac{i}{\hbar}[\hat Q,\hat A[\hat \phi,\hat p]]\tag{5}\end{align*}
と表される(前ページを参照)ため、今回のようなエネルギー運動量\(P^\nu\)から構成される量\(Q\)が保存するときの場\(\phi\)の無限小変化量は、演算子\(\hat Q\)と\(\hat \phi\)を用いて
\begin{align*}[\hat Q, \hat \phi]&=-i\hbar\delta_P\phi\\\rightarrow[\epsilon_\nu \hat P^\nu, \hat \phi]&=-i\hbar\epsilon_\nu\partial^\nu \hat\phi\\\rightarrow[ \hat P^\nu, \hat \phi]&=-i\hbar\partial^\nu \hat\phi\tag{6}\end{align*}
となり、後のページでこの関係式を使う(式(6)において、2行目への変形では演算子表示した式(3)を用いた)。
エネルギー運動量と時空並進の生成子
式(4)を量子力学における演算子表示にすると
\begin{align*}\hat \phi\rightarrow \hat \phi’&=\hat \phi+\delta_P \phi\tag{7}\end{align*}
となり、この無限小変換を引き起こす演算子は
\begin{align*}\hat U_P(\epsilon)&=e^{\frac{i}{\hbar}\epsilon_\nu \hat P^\nu}\tag{8}\end{align*}
と表すことができる。このことは、次のように場\(\hat \phi\)に左右から演算子\(\hat U_P(\epsilon)\)を作用させることで確認することができる。
\begin{align*}\hat U_P(\epsilon)\hat \phi\hat U_P^{-1}(\epsilon)=\hat \phi+\delta_P \phi\tag{9}\end{align*}
\begin{align*}\hat U_P(\epsilon)\hat \phi\hat U_P^{-1}(\epsilon)&=e^{\frac{i}{\hbar}\epsilon_\nu \hat P^\nu}\hat \phi e^{-\frac{i}{\hbar}\epsilon_\nu \hat P^\nu}\\&=\left(1+\frac{i}{\hbar}\epsilon_\nu \hat P^\nu+\cdots\right)\hat \phi\left(1-\frac{i}{\hbar}\epsilon_\nu \hat P^\nu+\cdots\right)\\&\simeq\hat \phi+\frac{i}{\hbar}\epsilon_\nu \hat P^\nu\hat \phi-\frac{i}{\hbar}\hat \phi\epsilon_\nu \hat P^\nu\\&=\hat \phi+\frac{i}{\hbar}[\epsilon_\nu \hat P^\nu,\hat \phi]\\&=\hat \phi+\delta_P \phi\end{align*}
2行目への変形ではテイラー展開を行ない、3行目への変形では無限小定数\( \epsilon_\nu\)の2次以上の項を無視し、4行目への変形では交換関係の記号を用い、5行目への変形では量子力学における場の理論のネーターの定理(以前のページ参照)
\begin{align*}\delta_QA[\phi,\pi]&=\frac{i}{\hbar}[\hat Q,\hat A[\phi,\pi]]\end{align*}
を用いた。
式(8)より、エネルギー運動量\(P^\nu\)は時空並進の無限小変換を作り出しているため、時空並進の生成子と呼ばれる。
空間並進の有限変換
無限小変換を起こす演算子\(\hat U_P(\epsilon)\)の無限小定数\(\epsilon_\nu\)を有限定数\( a_\nu\)に置き換えることにより有限変換を起こす演算子
\begin{align*}\hat U_P( a)&=e^{\frac{i}{\hbar} a_\nu \hat P^\nu}\tag{10}\end{align*}
が得られる。このことは、場\(\hat \phi\)の左右から演算子\(\hat U_P( a)\)を作用させることで確認することができる。
\begin{align*}\hat U_P( a)\hat \phi\hat U_P^{-1}( a)=\hat \phi+ a_\nu \partial^\nu\hat\phi\tag{11}\end{align*}
\begin{align*}\hat U_P( a)\hat \phi\hat U_P^{-1}( a)&=e^{\frac{i}{\hbar} a_\nu \hat P^\nu}\hat \phi e^{-\frac{i}{\hbar}a_\nu \hat P^\nu}\\&=\underbrace{e^{\frac{i}{\hbar}\epsilon_\nu \hat P^\nu}\cdots e^{\frac{i}{\hbar}\epsilon_\nu \hat P^\nu}}_{m}\hat \phi\underbrace{e^{-\frac{i}{\hbar}\epsilon_\nu \hat P^\nu}\cdots e^{-\frac{i}{\hbar}\epsilon_\nu \hat P^\nu}}_m\\&=\underbrace{e^{\frac{i}{\hbar}\epsilon_\nu\hat P^\nu}\cdots e^{\frac{i}{\hbar}\epsilon_\nu \hat P^\nu}}_{m-1}\left(\hat \phi+\epsilon_\nu \partial^\nu\hat\phi\right)\underbrace{e^{-\frac{i}{\hbar}\epsilon_\nu \hat P^\nu}\cdots e^{-\frac{i}{\hbar}\epsilon_\nu \hat P^\nu}}_{m-1}\\&=\underbrace{e^{\frac{i}{\hbar}\epsilon_\nu \hat P^\nu}\cdots e^{\frac{i}{\hbar}\epsilon_\nu \hat P^\nu}}_{m-2}\left(\hat \phi+2\epsilon_\nu \hat \partial^\nu\hat\phi\right)\underbrace{e^{-\frac{i}{\hbar}\epsilon_\nu P^\nu}\cdots e^{-\frac{i}{\hbar}\epsilon_\nu \hat P^\nu}}_{m-2}\\&=\cdots\\&=\hat \phi+m\epsilon_\nu \partial^\nu\hat\phi\\&=\hat \phi+a_\nu \partial^\nu\hat\phi\end{align*}
2行目への変形では次のように定義
\begin{align*} a_\nu=m\epsilon_\nu\end{align*}
した\(m\)を用いて展開し、3行目への変形では式(9)と式(3)を用い、4行目への変形では無限小定数\( \epsilon_\nu\)の2次以上の項を無視し、7行目への変形では再度
\begin{align*} a_\nu=m\epsilon_\nu\end{align*}
を用いた。
時空並進の演算子
以上より、｢\(i/\hbar\)｣と｢\(\epsilon_\nu\)や\( a_\nu\)などの変換のパラメーター｣と｢時空並進の生成子\(\hat{ P}^\nu\)｣の積を指数関数の肩に上げたものは、時空並進を引き起こす演算子\(\hat U_P\)
\begin{align*}\hat U_P( \epsilon)&=e^{\frac{i}{\hbar}\epsilon_\nu \hat P^\nu}\tag{8}\\\hat U_P( a)&=e^{\frac{i}{\hbar}a_\nu \hat P^\nu}\tag{10}\end{align*}
となることが分かる。
エネルギー運動量演算子\(\hat{ P}^\nu\)は次の関係
\begin{align*}(\hat{ P}^\nu)^\dagger=\hat{ P}^\nu\tag{12}\end{align*}
を満たすエルミート演算子であるため、時空並進を引き起こす演算子\(\hat U_P\)は次の関係
\begin{align*}\hat U_P^\dagger=\hat U_P^{-1}\tag{13}\end{align*}
を満たすユニタリ演算子となる。
次ページから⋯
次ページでは、ハミルトン力学における場の理論のネーターの定理を用いることにより、全角運動量保存則から空間回転不変性が導かれることを確認し、角運動量\(\hat{J}^{ij}\)は空間回転の生成子であることを確認する。
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