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本ページでは…
本ページでは、ハミルトン力学におけるネーターの定理を用いることにより、全運動量保存則から空間並進不変性が導かれることを確認し、運動量\(\hat{\boldsymbol P}\)は空間並進の生成子であることを確認する。
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前ページでは、ある物理量\(A(q,p)\)を連続的に無限小変換してハミルトニアン\(H\)が変わらない、つまり、物理法則が変わらないとき、その無限小変換において保存量であるネーター電荷\(N\)
\begin{align*}N=\sum_{i=1}^n\delta_N q_i\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}+\delta_N t\left\{L-\left(\sum_{i=1}^n\dot q_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right)\right\}\end{align*}
を用いて、その無限小変換が
\begin{align*}\delta_NA(q,p)&=-\{N,A(q,p)\}\end{align*}
となることを表すハミルトン力学におけるネーターの定理を導いた。また、量子力学において、無限小変換は
\begin{align*}\delta_NA(q,p)&=\frac{i}{\hbar}[\hat N,\hat A(\hat q,\hat p)]\end{align*}
と表されることも確認した。
内容
全運動量保存則と空間並進不変性
ラグランジュ力学におけるネーターの定理から、一般化座標\(\boldsymbol{q}_a\)を無限小定数\(\boldsymbol\epsilon\)だけ(無限小)並進させても物理法則が変わらない空間並進不変性が系に存在するとき、次のネーター電荷\(N\)
\begin{align*}N=\boldsymbol{\epsilon}\cdot\boldsymbol{P}\tag{1}\end{align*}
が保存し、全運動量保存則の背景には空間並進不変性があることを以前のページで見た。
この逆の関係も成り立つことを見てみる。ハミルトン力学におけるネーターの定理より、全運動量\(\boldsymbol P\)が保存するとき、物理量\(A\)が次の無限小変化量
\begin{align*}\delta_PA&=-\{N, A\}\\&=-\{\boldsymbol\epsilon\cdot {\boldsymbol P}, A\}\tag{2}\end{align*}
だけ変化する無限小変換で不変性が存在する。実際にこの量を計算すると
\begin{align*}\delta_PA&=\boldsymbol\epsilon\cdot\sum_{a=1}^n\frac{\partial A}{\partial \boldsymbol q_a}\tag{3}\end{align*}
\begin{align*}\delta_PA&=-\{\boldsymbol\epsilon\cdot {\boldsymbol P}, A\}\\&=-\boldsymbol\epsilon\cdot\sum_{a=1}^n\{{\boldsymbol p}_a,A\}\\&=-\boldsymbol\epsilon\cdot\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^n\left(\frac{\partial \boldsymbol p_a}{\partial \boldsymbol q_b}\frac{\partial A}{\partial \boldsymbol p_b}-\frac{\partial \boldsymbol p_a}{\partial \boldsymbol p_b}\frac{\partial A}{\partial \boldsymbol q_b}\right)\\&=\boldsymbol\epsilon\cdot\sum_{a=1}^n\frac{\partial A}{\partial \boldsymbol q_a}\end{align*}
2行目への変形では全運動量\(\boldsymbol P\)と運動量\(\boldsymbol p_a\)の関係
\begin{align*}\boldsymbol P=\sum_{a=1}^n\boldsymbol p_a\end{align*}
を用い、3行目への変形ではポアソン括弧の定義式
\begin{align}\left\{X,Y\right\}=\sum_{b=1}^n\left(\frac{\partial X}{\partial \boldsymbol q_b}\frac{\partial Y}{\partial \boldsymbol p_b}-\frac{\partial X}{\partial \boldsymbol p_b}\frac{\partial Y}{\partial \boldsymbol q_b}\right)\end{align}
を用い、4行目への変形では次の関係式
\begin{align*}\frac{\partial \boldsymbol p_a}{\partial \boldsymbol p_b}&=\delta_{ab}\\\frac{\partial \boldsymbol p_a}{\partial \boldsymbol q_b}&=0\end{align*}
を用いた。
と計算でき、この無限小変化量は座標\(\boldsymbol q_a\)が無限小定数\(\boldsymbol\epsilon\)だけズレた時の物理量\(A\)の変化量であることが分かる。よって、無限小変換は
\begin{align*}A(\boldsymbol q,\boldsymbol p)\rightarrow A'(\boldsymbol q’,\boldsymbol p’)&=A(\boldsymbol q,\boldsymbol p)+\delta_P A\\&=A(\boldsymbol q,\boldsymbol p)+\boldsymbol\epsilon\cdot\sum_{a=1}^n\frac{\partial A}{\partial \boldsymbol q_a}\\&=A(\boldsymbol q+\boldsymbol\epsilon,\boldsymbol p)\tag{4}\end{align*}
となって、全運動量\(\boldsymbol P\)が保存するとき、座標\(\boldsymbol q\)が無限小定数\(\boldsymbol\epsilon\)だけ移動する空間並進における不変性が存在する。
以上より、空間並進不変性の背景には全運動量保存則があるとも言える。
運動量と空間並進の生成子
式(4)を量子力学における演算子表示にすると
\begin{align*}\hat A(\hat{\boldsymbol q},\hat{\boldsymbol p})\rightarrow \hat A'(\hat{\boldsymbol q}’,\hat{\boldsymbol p}’)&=\hat A(\hat{\boldsymbol q},\hat{\boldsymbol p})+\delta_P A\tag{5}\end{align*}
となり、この無限小変換を引き起こす演算子は
\begin{align*}\hat U_P(\boldsymbol\epsilon)&=e^{\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon\cdot \hat {\boldsymbol P}}\tag{6}\end{align*}
と表すことができる。このことは、次のように物理量\(\hat A\)に左右から演算子\(\hat U_P(\boldsymbol\epsilon)\)を作用させることで確認することができる。
\begin{align*}\hat U_P(\boldsymbol\epsilon)\hat A\hat U_P^{-1}(\boldsymbol\epsilon)=\hat A+\delta_P A\tag{7}\end{align*}
\begin{align*}\hat U_P(\boldsymbol\epsilon)\hat A\hat U_P^{-1}(\boldsymbol\epsilon)&=e^{\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon\cdot \hat {\boldsymbol P}}\hat Ae^{-\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon\cdot \hat {\boldsymbol P}}\\&=\left(1+\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon\cdot \hat {\boldsymbol P}+\cdots\right)\hat A\left(1-\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon\cdot \hat {\boldsymbol P}+\cdots\right)\\&\simeq\hat A+\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon\cdot\hat {\boldsymbol P}\hat A-\frac{i}{\hbar}\hat A\boldsymbol\epsilon\cdot\hat {\boldsymbol P}\\&=\hat A+\frac{i}{\hbar}[\boldsymbol\epsilon\cdot\hat {\boldsymbol P},\hat A]\\&=\hat A+\delta_P A\tag{7}\end{align*}
2行目への変形ではテイラー展開を行ない、3行目への変形では無限小定数\(\boldsymbol \epsilon\)の2次以上の項を無視し、4行目への変形では交換関係の記号を用い、5行目への変形では量子力学におけるネーターの定理(以前のページ参照)
\begin{align*}\delta_NA(q,p)&=\frac{i}{\hbar}[\hat N,\hat A(\hat q,\hat p)]\end{align*}
を用いた。
式(6)より、運動量\(P\)は空間並進の無限小変換を作り出しているため、空間並進の生成子と呼ばれる。
空間並進の有限変換
無限小変換を起こす演算子\(\hat U_P(\boldsymbol\epsilon)\)の無限小定数\(\boldsymbol\epsilon\)を有限定数\(\boldsymbol a\)に置き換えることにより有限変換を起こす演算子
\begin{align*}\hat U_P(\boldsymbol a)&=e^{\frac{i}{\hbar}\boldsymbol a\cdot \hat {\boldsymbol P}}\tag{8}\end{align*}
が得られる。このことは、物理量\(\hat A\)の左右から演算子\(\hat U_P(\boldsymbol a)\)を作用させることで確認することができる。
\begin{align*}\hat U_P(\boldsymbol a)\hat A\hat U_P^{-1}(\boldsymbol a)=\hat A+\boldsymbol a\cdot\sum_{a=1}^n\frac{\partial A}{\partial \boldsymbol q_a}\tag{9}\end{align*}
\begin{align*}\hat U_P(\boldsymbol a)\hat A\hat U_P^{-1}(\boldsymbol a)&=e^{\frac{i}{\hbar}\boldsymbol a\cdot \hat {\boldsymbol P}}\hat Ae^{-\frac{i}{\hbar}\boldsymbol a \cdot\hat {\boldsymbol P}}\\&=\underbrace{e^{\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon \cdot\hat {\boldsymbol P}}\cdots e^{\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon \cdot\hat {\boldsymbol P}}}_{m}\hat A\underbrace{e^{-\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon\cdot \hat {\boldsymbol P}}\cdots e^{-\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon\cdot \hat {\boldsymbol P}}}_m\\&=\underbrace{e^{\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon \cdot\hat {\boldsymbol P}}\cdots e^{\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon \cdot\hat {\boldsymbol P}}}_{m-1}\left(\hat A+\boldsymbol\epsilon\cdot\sum_{a=1}^n\frac{\partial A}{\partial \boldsymbol q_a}\right)\underbrace{e^{-\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon\cdot \hat {\boldsymbol P}}\cdots e^{-\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon\cdot \hat {\boldsymbol P}}}_{m-1}\\&=\underbrace{e^{\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon \cdot\hat {\boldsymbol P}}\cdots e^{\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon \cdot\hat {\boldsymbol P}}}_{m-2}\left(\hat A+2\boldsymbol\epsilon\cdot\sum_{a=1}^n\frac{\partial A}{\partial \boldsymbol q_a}\right)\underbrace{e^{-\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon\cdot \hat {\boldsymbol P}}\cdots e^{-\frac{i}{\hbar}\boldsymbol\epsilon\cdot \hat {\boldsymbol P}}}_{m-2}\\&=\cdots\\&=\hat A+m\boldsymbol\epsilon\cdot\sum_{a=1}^n\frac{\partial A}{\partial \boldsymbol q_a}\\&=\hat A+\boldsymbol a\cdot\sum_{a=1}^n\frac{\partial A}{\partial \boldsymbol q_a}\end{align*}
2行目への変形では次のように定義
\begin{align*}\boldsymbol a=m\boldsymbol\epsilon\end{align*}
した\(m\)を用いて展開し、3行目への変形では式(7)と式(3)を用い、4行目への変形では無限小定数\(\boldsymbol \epsilon\)の2次以上の項を無視し、7行目への変形では再度
\begin{align*}\boldsymbol a=m\boldsymbol\epsilon\end{align*}
を用いた。
空間並進の演算子
以上より、｢\(i/\hbar\)｣と｢\(\boldsymbol\epsilon\)や\(\boldsymbol a\)などの変換のパラメーター｣と｢空間並進の生成子\(\hat{\boldsymbol P}\)｣の積を指数関数の肩に上げたものは、空間並進を引き起こす演算子\(\hat U_P\)
\begin{align*}\hat U_P(\boldsymbol \epsilon)&=e^{\frac{i}{\hbar}\boldsymbol \epsilon\cdot \hat {\boldsymbol P}}\tag{6}\\\hat U_P(\boldsymbol a)&=e^{\frac{i}{\hbar}\boldsymbol a\cdot \hat {\boldsymbol P}}\tag{8}\end{align*}
となることが分かる。
運動量演算子\(\hat{\boldsymbol P}\)は次の関係
\begin{align*}\hat{\boldsymbol P}^\dagger=\hat{\boldsymbol P}\tag{10}\end{align*}
を満たすエルミート演算子であるため、空間並進を引き起こす演算子\(\hat U_P\)は次の関係
\begin{align*}\hat U_P^\dagger=\hat U_P^{-1}\tag{11}\end{align*}
を満たすユニタリ演算子となる。
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次ページでは、ハミルトン力学におけるネーターの定理を用いることにより、全エネルギー保存則から時間並進不変性が導かれることを確認し、ハミルトニアン\(\hat{ H}\)は時間並進の生成子であることを確認する。
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