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本ページでは、あるハミルトニアン\(\hat H_{\scriptsize +}\)と\(\hat H_{\scriptsize -}\)
\begin{align*}\hat H_{\scriptsize +}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V_{\scriptsize +}(x)\tag{1}\\\hat H_{\scriptsize -}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V_{\scriptsize -}(x)\tag{2}\end{align*}
が与えられたとき、2つのハミルトニアンが超対称パートナーであるためにはどのようなポテンシャル\(V_{\scriptsize +}(x)\),\(V_{\scriptsize -}(x)\)でなければならないかを調べる。また、超対称パートナーを結びつける繋絡演算子\(\hat A\)が超ポテンシャルから構成され、ハミルトニアンが繋絡演算子から構成されることを見る。
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前ページでは、2つのハミルトニアン\(\hat H_{\scriptsize +}\),\(\hat H_{\scriptsize -}\)の固有値方程式
\begin{align*}\hat H_{\scriptsize +}\psi_{\scriptsize {E,+}}&=E\psi_{\scriptsize {E,+}}\tag{3}\\\hat H_{\scriptsize -}\psi_{\scriptsize {\tilde E,-}}&=\tilde E\psi_{\scriptsize {\tilde E ,-}}\tag{4}\end{align*}
があった時、それぞれのハミルトニアンが繋絡関係式
\begin{align*}\hat A\hat H_{\scriptsize +}&=\hat H_{\scriptsize -}\hat A\tag{5}\\\hat A^\dagger\hat H_{\scriptsize -}&=\hat H_{\scriptsize +}\hat A^\dagger\tag{6}\end{align*}
を満たすとき、2つのハミルトニアンが同じエネルギースペクトルを持ち、この2つのハミルトニアンを超対称パートナーと呼ぶことを見た。
また、2つのハミルトニアンの固有値方程式は、超ハミルトニアン\(\hat {\boldsymbol{H}}\)を用いて
\begin{align*}\hat {\boldsymbol{H}}\boldsymbol{\psi}=\boldsymbol{E}\boldsymbol{\psi}\tag{7}\end{align*}
と表せ、繋絡関係式は超電荷\(\boldsymbol{Q}\)を用いて
\begin{align*}[\hat{\boldsymbol H},\ \hat{\boldsymbol Q}]=0\tag{8}\end{align*}
と表せることを見た。
内容
繋絡演算子\(\hat A\)には様々な形が考えられるが、ここでは1階微分の演算子の形に絞って考える。超対称パートナーのハミルトニアンが
\begin{align*}\hat H_{\scriptsize +}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V_{\scriptsize +}(x)\tag{1}\\\hat H_{\scriptsize -}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V_{\scriptsize -}(x)\tag{2}\end{align*}
のとき、繋絡演算子\(\hat A\)が1階微分の演算子ならば繋絡演算子は次の形となる。
\begin{align*}\hat A&=\frac{1}{\sqrt{2m}}\left(-i\hbar\frac{d}{dx}-iW'(x)\right)\tag{9}\\\hat A^\dagger&=\frac{1}{\sqrt{2m}}\left(-i\hbar\frac{d}{dx}+iW'(x)\right)\tag{10}\end{align*}
繋絡関係式(5),(6)を満たす繋絡演算子\(\hat A\)の係数には任意性があるため、後の式計算を簡略化するために係数は\(\frac{1}{\sqrt{2m}}\)とする。また、\(-i\)が全体に掛かっているのは、1階微分の項\(\frac{d}{dc}\)が運動量演算子\(\hat p=-i\hbar\frac{d}{dx}\)と等しくなるようにするためである。そして、\(W(x)\)は実関数であり、超ポテンシャルと呼ばれ、超対称性において重要な役割を担う(プライム’は座標の1階微分を表す)。最後に、繋絡演算子\(\hat A^\dagger\)を求めるとき、運動量演算子\(\hat p\)がエルミート演算子\(\hat p=\hat p^\dagger\)であることを用いた(補足だが、1階微分項に関数\(v(x)\)が掛かっていて\(v(x)\frac{d}{dx}\)の形となると、繋絡関係式を満たすことはできず、繋絡演算子にはならない)。
はじめに、ハミルトニアンのポテンシャル\(V(x)_{\scriptsize +}\),\(V(x)_{\scriptsize -}\)と、繋絡演算子の超ポテンシャル\(W(x)\)との関係を求める。繋絡関係式(5)の両辺に繋絡演算子の式(9)を代入する際に、繋絡演算子\(\hat A\)の係数は無視できるため、係数の\(-\frac{1}{\sqrt{2m}}i\)を無視する。繋絡関係式(5)の左辺は
\begin{align*}&\hat A\hat H_{\scriptsize +}\\&=\left(\hbar\frac{d}{dx}+W'(x)\right)\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V_{\scriptsize +}(x)\right)\\&=-\frac{\hbar^3}{2m}\frac{d^3}{dx^3}+\hbar\frac{d}{dx}V_{\scriptsize +}(x)-\frac{\hbar^2}{2m}W'(x)\frac{d^2}{dx^2}+W'(x)V_{\scriptsize +}(x)\\&=-\frac{\hbar^3}{2m}\frac{d^3}{dx^3}+\hbar V’_{\scriptsize +}(x)+\hbar V_{\scriptsize +}(x)\frac{d}{dx}-\frac{\hbar^2}{2m}W'(x)\frac{d^2}{dx^2}+W'(x)V_{\scriptsize +}(x)\tag{11}\end{align*}
と変形することができ、右辺は
\begin{align*}&\hat H_{\scriptsize -}\hat A\\&=\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V_{\scriptsize -}(x)\right)\left(\hbar\frac{d}{dx}+W'(x)\right)\\&=-\frac{\hbar^3}{2m}\frac{d^3}{dx^3}-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}W'(x)+\hbar V_{\scriptsize -}(x)\frac{d}{dx}+W'(x)V_{\scriptsize -}(x)\\&=-\frac{\hbar^3}{2m}\frac{d^3}{dx^3}-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d}{dx}W^{”}(x)-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d}{dx}W'(x)\frac{d}{dx}+\hbar V_{\scriptsize -}(x)\frac{d}{dx}+W'(x)V_{\scriptsize -}(x)\\&=-\frac{\hbar^3}{2m}\frac{d^3}{dx^3}-\frac{\hbar^2}{2m}W^{”}{}'(x)-\frac{\hbar^2}{2m}W^{”}(x)\frac{d}{dx}\\&\ \ \ -\frac{\hbar^2}{2m}W^{”}(x)\frac{d}{dx}-\frac{\hbar^2}{2m}W'(x)\frac{d^2}{dx^2}+\hbar V_{\scriptsize -}(x)\frac{d}{dx}+W'(x)V_{\scriptsize -}(x)\\&=-\frac{\hbar^3}{2m}\frac{d^3}{dx^3}-\frac{\hbar^2}{2m}W^{”}{}'(x)-\frac{\hbar^2}{m}W^{”}(x)\frac{d}{dx}\\&\ \ \ -\frac{\hbar^2}{2m}W'(x)\frac{d^2}{dx^2}+\hbar V_{\scriptsize -}(x)\frac{d}{dx}+W'(x)V_{\scriptsize -}(x)\tag{12}\end{align*}
変形することができる。両辺は等しいことから
\begin{align*}&\hbar V’_{\scriptsize +}(x)+\hbar V_{\scriptsize +}(x)\frac{d}{dx}+W'(x)V_{\scriptsize +}(x)\\&=-\frac{\hbar^2}{2m}W^{”’}(x)-\frac{\hbar^2}{m}W^{”}(x)\frac{d}{dx}\\&\ \ \ +\hbar V_{\scriptsize -}(x)\frac{d}{dx}+W'(x)V_{\scriptsize -}(x)\tag{13}\end{align*}
であり、変形させると
\begin{align*}&\left\{\hbar \left(V_{\scriptsize +}(x)-V_{\scriptsize -}(x)\right)+\frac{\hbar^2}{m}W^{”}(x)\right\}\frac{d}{dx}\\&+W'(x)\left(V_{\scriptsize +}(x)-V_{\scriptsize -}(x)\right)+\hbar V’_{\scriptsize +}(x)+\frac{\hbar^2}{2m}W^{”}{}'(x)=0\tag{14}\end{align*}
と表せる。どのような関数に作用させても上式(14)が成り立つためには
\begin{align*}&\hbar \left(V_{\scriptsize +}(x)-V_{\scriptsize -}(x)\right)+\frac{\hbar^2}{m}W^{”}(x)=0\tag{15}\\&W'(x)\left(V_{\scriptsize +}(x)-V_{\scriptsize -}(x)\right)+\hbar V’_{\scriptsize +}(x)+\frac{\hbar^2}{2m}W^{”}{}'(x)=0\tag{16}\end{align*}
が成り立たなければならない。式(14)を変形させると
\begin{align*}&\left(V_{\scriptsize +}(x) -V_{\scriptsize -}(x)\right)=-\frac{\hbar}{m}W^{”}(x)\tag{17}\end{align*}
となるため、式(15)に代入すると
\begin{align*}-\frac{\hbar}{m}W^{”}(x)W'(x)+\hbar V’_{\scriptsize +}(x)+\frac{\hbar^2}{2m}W^{”}{}'(x)=0\tag{18}\end{align*}
が得られる。この微分方程式を解くと、ポテンシャル\(V_{\scriptsize +}(x)\)は積分定数\(\epsilon\)を用いて
\begin{align*}V_{\scriptsize +}(x)=\frac{1}{2m}(W'(x))^2-\frac{\hbar}{2m}W^{”}(x)+\epsilon\tag{19}\end{align*}
と解くことができ、式(17)に代入するとポテンシャル\(V_{\scriptsize -}(x)\)
\begin{align*}V_{\scriptsize -}(x)=\frac{1}{2m}(W'(x))^2+\frac{\hbar}{2m}W^{”}(x)+\epsilon\tag{20}\end{align*}
が得られる。これらの関係が、2つのハミルトニアンが超対称パートナーであるために、はポテンシャル\(V_{\scriptsize +}(x)\),\(V_{\scriptsize -}(x)\)が満たさなければならない関係である。この2つのポテンシャルも超対称パートナーと呼ばれる。
最後に、繋絡演算子\(\hat A\),\(\hat A^\dagger\)の積を計算すると
\begin{align*}&\hat A^\dagger\hat A\\&=\frac{1}{2m}\left(-i\hbar\frac{d}{dx}+iW'(x)\right)\left(-i\hbar\frac{d}{dx}-iW'(x)\right)\\&=\frac{1}{2m}\left(-\hbar^2\frac{d^2}{dx^2}-\hbar\frac{d}{dx}W'(x)+\hbar W'(x)\frac{d}{dx}+(W'(x))^2\right)\\&=\frac{1}{2m}\left(-\hbar^2\frac{d^2}{dx^2}-\hbar W^{”}(x)-\hbar W'(x)\frac{d}{dx}+\hbar W'(x)\frac{d}{dx}+(W'(x))^2\right)\\&=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{1}{2m}(W'(x))^2-\frac{\hbar}{2m}W^{”}(x)\\&=\hat H_{\scriptsize +}-\epsilon\tag{21}\end{align*}
\begin{align*}&\hat A\hat A^\dagger\\&=\frac{1}{2m}\left(-i\hbar\frac{d}{dx}-iW'(x)\right)\left(-i\hbar\frac{d}{dx}+iW'(x)\right)\\&=\frac{1}{2m}\left(-\hbar^2\frac{d^2}{dx^2}+\hbar\frac{d}{dx}W'(x)-\hbar W'(x)\frac{d}{dx}+(W'(x))^2\right)\\&=\frac{1}{2m}\left(-\hbar^2\frac{d^2}{dx^2}+\hbar W^{”}(x)+\hbar W'(x)\frac{d}{dx}-\hbar W'(x)\frac{d}{dx}+(W'(x))^2\right)\\&=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{1}{2m}(W'(x))^2+\frac{\hbar}{2m} W^{”}(x)\\&=\hat H_{\scriptsize -}-\epsilon\tag{22}\end{align*}
となり、ハミルトニアン\(\hat H_{\scriptsize +}\),\(\hat H_{\scriptsize -}\)が繋絡演算子\(\hat A\),\(\hat A^\dagger\)から構成されていることが分かる。
\begin{align*}\hat A^\dagger\hat A&=\hat H_{\scriptsize +}-\epsilon\tag{23}\\\hat A\hat A^\dagger&=\hat H_{\scriptsize -}-\epsilon\tag{24}\end{align*}
これらのハミルトニアンを繋絡関係式(5),(6)に代入すると、繋絡関係式が成り立つことは自明である。そして、これらの関係は超ハミルトニアン\(\hat{\boldsymbol H}\)
\begin{align*}\hat{\boldsymbol H}=\left(\begin{array}{c}\hat H_{\scriptsize +}&0\\0&\hat H_{\scriptsize -}\end{array}\right)\tag{25}\end{align*}
と超電荷\(\hat{\boldsymbol Q}\)
\begin{align*}\hat{\boldsymbol Q}=\left(\begin{array}{c}0&\hat A^\dagger\\\hat A&0\end{array}\right)\tag{26}\end{align*}
を用いると
\begin{align*}\hat{\boldsymbol Q}^2=\hat{\boldsymbol H}-\epsilon\boldsymbol I\tag{27}\end{align*}
と表せる。
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