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本ページでは、時間順序積を用いることによって、複数の座標演算子の積を固有状態\({}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\)と\(\vert q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\)で挟んだ期待値を配位空間での経路積分表示(1自由度)で求める。
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前々ページでは、配位空間での経路積分表示(1自由度)を汎関数積分の形で求めた。
\begin{align*} &K(q_{\scriptsize{F}}, t_{\scriptsize{F}};q_{\scriptsize{I}}, t_{\scriptsize{I}}) \\&=\int dq_{\scriptsize{1}}\cdots dq_{\scriptsize{N-1}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert q_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\vert q_{\scriptsize{N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ \cdots {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{n+1}}, t_{\scriptsize{n+1}}\vert q_{\scriptsize{n}}, t_{\scriptsize{n}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\cdots \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{2}}, t_{\scriptsize{2}}\vert q_{\scriptsize{1}}, t_{\scriptsize{1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1}}, t_{\scriptsize{1}}\vert q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\\&={}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\\&=\int_{\substack{{}_{q(t_{\scriptsize{\text{I}}})=q_{\scriptsize{\text{I}}}}\\{}_{q(t_{\scriptsize{\text{F}}})=q_{\scriptsize{\text{F}}}}}} \mathcal{D}q(t)\ \exp\left\{\frac{i}{\hbar}\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}} dt\ L(q(t),\dot{q}(t))\right\} \tag{1}\end{align*}
内容
1つの演算子を固有状態で挟んだ期待値
初めに、1つの座標演算子\(\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}})\)を固有状態\({}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\)と\(\vert q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\)で挟んだ期待値を配位空間での経路積分(1自由度)で表示してみる。ここで、座標演算子\(\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}})\)はハイゼンベルク描像のため時間依存性があり、時刻\(t_{\scriptsize{l}}\)の固有状態のみに作用する。また、経路積分表示する際に、始状態\(\vert q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\)の右から終状態\({}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\)へ若い時刻での完全系を順に挿入するため、それぞれの時刻は\(t_{\scriptsize{\text{F}}}\text ＞t_{\scriptsize{l}}\text ＞t_{\scriptsize{\text{I}}}\)の関係を満たすとする。
\begin{align*}&{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}})\vert q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\\&=\int dq_{\scriptsize{1}}\cdots dq_{\scriptsize{N-1}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert q_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\vert q_{\scriptsize{N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ \cdots {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{l+1}}, t_{\scriptsize{l+1}}\vert\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}})\vert q_{\scriptsize{l}}, t_{\scriptsize{l}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\cdots \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{2}}, t_{\scriptsize{2}}\vert q_{\scriptsize{1}}, t_{\scriptsize{1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1}}, t_{\scriptsize{1}}\vert q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&=\int dq_{\scriptsize{1}}\cdots dq_{\scriptsize{N-1}}\ q_{\scriptsize{l}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert q_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\vert q_{\scriptsize{N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ \cdots\\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{2}}, t_{\scriptsize{2}}\vert q_{\scriptsize{1}}, t_{\scriptsize{1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1}}, t_{\scriptsize{1}}\vert q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&=\int_{\substack{{}_{q(t_{\scriptsize{\text{I}}})=q_{\scriptsize{\text{I}}}}\\{}_{q(t_{\scriptsize{\text{F}}})=q_{\scriptsize{\text{F}}}}}} \mathcal{D}q(t)\ q(t_{\scriptsize{l}})\exp\left\{\frac{i}{\hbar}\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}} dt\ L(q(t),\dot{q}(t))\right\} \tag{2}\end{align*}
※※※2番目の等号では
\begin{align*}\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}})\vert q_{\scriptsize{l}}, t_{\scriptsize{l}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}=q_{\scriptsize{l}}\vert q_{\scriptsize{l}}, t_{\scriptsize{l}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\tag{3}\end{align*}
を用い、3番目の等号では配位空間での経路積分表示(1自由度)式(\(1\))を用いた。※※※
式(\(2\))を解釈してみる。ファインマン核のときの被積分関数(式(\(1\)))と比較すると、被積分関数には時刻\(t_{\scriptsize{l}}\)での座標\(q(t_{\scriptsize{l}})\)が掛けられており、時間\(t\)の関数である座標\(q(t)\)を積分変数として、あらゆる関数形で積分している(ただし、位置\(p(t)\)の積分範囲は\(q(t_{\scriptsize{\text{I}}})=q_{\scriptsize{\text{I}}}\)と\(q(t_{\scriptsize{\text{F}}})=q_{\scriptsize{\text{F}}}\)の条件を満たす)。
2つの演算子を固有状態で挟んだ期待値
次に、2つの座標演算子\(\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}})\)と\(\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}})\)の積を固有状態\({}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\)と\(\vert q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\)で挟んだ期待値を配位空間での経路積分(1自由度)で表示してみる。
ここで注意点があり、2つの座標演算子\(\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}})\)と\(\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}})\)はどちらも時間依存性があり、順序が重要になってくる。そのため、これらの積である\(\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}})\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}})\)と\(\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}})\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}})\)は通常異なるものになる。
\begin{align*}&{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}})\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}})\vert q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\tag{4}\\&{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}})\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}})\vert q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\tag{5}\end{align*}
経路積分表示する際に、始状態\(\vert q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\)の右から終状態\({}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\)へ若い時刻での完全系を順に挿入するため、2つの座標演算子\(\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}})\)と\(\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}})\)の内、若い時刻の座標演算子が右になければならない。
時刻が\(t_{\scriptsize{\text{F}}}\text＞t_{\scriptsize{l}}\text＞t_{\scriptsize{m}}\text＞t_{\scriptsize{\text{I}}}\)の関係を満たすとき、式(\(5\))では経路積分表示できないが、式(\(4\))では経路積分表示することが出来る。
\begin{align*}&{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}})\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}})\vert q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\\&=\int dq_{\scriptsize{1}}\cdots dq_{\scriptsize{N-1}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert q_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\vert q_{\scriptsize{N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ \cdots {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{l+1}}, t_{\scriptsize{l+1}}\vert\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}})\vert q_{\scriptsize{l}}, t_{\scriptsize{l}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\cdots\\&\ \ \ \cdots {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{m+1}}, t_{\scriptsize{m+1}}\vert\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}})\vert q_{\scriptsize{m}}, t_{\scriptsize{m}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\cdots \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{2}}, t_{\scriptsize{2}}\vert q_{\scriptsize{1}}, t_{\scriptsize{1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1}}, t_{\scriptsize{1}}\vert q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&=\int dq_{\scriptsize{1}}\cdots dq_{\scriptsize{N-1}}\ q_{\scriptsize{l}}q_{\scriptsize{m}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert q_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\vert q_{\scriptsize{N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ \cdots\\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{2}}, t_{\scriptsize{2}}\vert q_{\scriptsize{1}}, t_{\scriptsize{1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1}}, t_{\scriptsize{1}}\vert q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&=\int_{\substack{{}_{q(t_{\scriptsize{\text{I}}})=q_{\scriptsize{\text{I}}}}\\{}_{q(t_{\scriptsize{\text{F}}})=q_{\scriptsize{\text{F}}}}}} \mathcal{D}q(t)\ q(t_{\scriptsize{l}})q(t_{\scriptsize{m}})\exp\left\{\frac{i}{\hbar}\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}} dt\ L(q(t),\dot{q}(t))\right\} \tag{6}\end{align*}
一方、時刻が\(t_{\scriptsize{\text{F}}}\text＞t_{\scriptsize{m}}\text＞t_{\scriptsize{l}}\text＞t_{\scriptsize{\text{I}}}\)の関係を満たすとき、式(\(4\))では経路積分表示できないが、式\((5)\)では経路積分表示することが出来る。
\begin{align*}&{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}})\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}})\vert q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\\&=\int dq_{\scriptsize{1}}\cdots dq_{\scriptsize{N-1}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert q_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\vert q_{\scriptsize{N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ \cdots {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{l+1}}, t_{\scriptsize{l+1}}\vert\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}})\vert q_{\scriptsize{l}}, t_{\scriptsize{l}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\cdots\\&\ \ \ \cdots {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{m+1}}, t_{\scriptsize{m+1}}\vert\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}})\vert q_{\scriptsize{m}}, t_{\scriptsize{m}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\cdots \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{2}}, t_{\scriptsize{2}}\vert q_{\scriptsize{1}}, t_{\scriptsize{1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1}}, t_{\scriptsize{1}}\vert q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&=\int dq_{\scriptsize{1}}\cdots dq_{\scriptsize{N-1}}\ q_{\scriptsize{l}}q_{\scriptsize{m}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert q_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\vert q_{\scriptsize{N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ \cdots\\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{2}}, t_{\scriptsize{2}}\vert q_{\scriptsize{1}}, t_{\scriptsize{1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1}}, t_{\scriptsize{1}}\vert q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&=\int_{\substack{{}_{q(t_{\scriptsize{\text{I}}})=q_{\scriptsize{\text{I}}}}\\{}_{q(t_{\scriptsize{\text{F}}})=q_{\scriptsize{\text{F}}}}}} \mathcal{D}q(t)\ q(t_{\scriptsize{l}})q(t_{\scriptsize{m}})\exp\left\{\frac{i}{\hbar}\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}} dt\ L(q(t),\dot{q}(t))\right\} \tag{7}\end{align*}
式(\(6\))と式(\(7\))は同じ結果になっており、この結果を解釈してみる。ファインマン核のときの被積分関数(式(\(1\)))と比較すると、被積分関数には時刻\(t_{\scriptsize{l}}\)での座標\(q(t_{\scriptsize{l}})\)と時刻\(t_{\scriptsize{m}}\)での座標\(q(t_{\scriptsize{m}})\)が掛けられており、時間\(t\)の関数である座標\(q(t)\)を積分変数として、あらゆる関数形で積分している(ただし、位置\(p(t)\)の積分範囲は\(q(t_{\scriptsize{\text{I}}})=q_{\scriptsize{\text{I}}}\)と\(q(t_{\scriptsize{\text{F}}})=q_{\scriptsize{\text{F}}}\)の条件を満たす)。
時刻に条件が付いている式(\(6\))と式(\(7\))は時間順序積(T積)を用いることによりひとつの式にまとめることが出来る。時間順序積とは、時刻の順序に従って演算子の積を並び替えた積(ここでは、時刻が若い演算子を右から並べる)をいい、定義は
\begin{align*}\text T[\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}})\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}})]=\theta(t_{\scriptsize{l}}-t_{\scriptsize{m}})\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}})\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}})+\theta(t_{\scriptsize{m}}-t_{\scriptsize{l}})\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}})\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}})\tag{8}\end{align*}
となる。ここで、\(\theta\)はヘビィサイドの階段関数であり、次のように定義されている。
\begin{align*}\theta(a)&=1\ \ \ \ \ (a\text ＞0)\tag{9}\\\theta(a)&=0\ \ \ \ \ (a\text＜0)\tag{10}\end{align*}
そのため、\(t_{\scriptsize{l}}\text＞t_{\scriptsize{m}}\)の時はヘビィサイドの階段関数により式(8)の右辺第一項のみ残り、\(t_{\scriptsize{m}}\text＞t_{\scriptsize{l}}\)の時はヘビィサイドの階段関数により式(8)の右辺第二項のみ残る。
式(\(6\))と式(\(7\))を時間順序積(T積)を用いてひとつの式にまとめると次のようになる。
\begin{align*}&{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\text T[\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}})\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}})]\vert q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\\&={}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\theta(t_{\scriptsize{l}}-t_{\scriptsize{m}})\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}})\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}})+\theta(t_{\scriptsize{l}}-t_{\scriptsize{l}})\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}})\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}})\vert q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\\&=\int_{\substack{{}_{q(t_{\scriptsize{\text{I}}})=q_{\scriptsize{\text{I}}}}\\{}_{q(t_{\scriptsize{\text{F}}})=q_{\scriptsize{\text{F}}}}}} \mathcal{D}q(t)\ q(t_{\scriptsize{l}})q(t_{\scriptsize{m}})\exp\left\{\frac{i}{\hbar}\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}} dt\ L(q(t),\dot{q}(t))\right\} \tag{11}\end{align*}
2番目の等号では、時刻が\(t_{\scriptsize{\text{F}}}\text＞t_{\scriptsize{l}}\text＞t_{\scriptsize{m}}\text＞t_{\scriptsize{\text{I}}}\)なら一項目が残り、時刻が\(t_{\scriptsize{\text{F}}}\text＞t_{\scriptsize{m}}\text＞t_{\scriptsize{l}}\text＞t_{\scriptsize{\text{I}}}\)なら二項目が残ることから、時間順序積を用いることによって、条件\(t_{\scriptsize{\text{F}}}\text＞t_{\scriptsize{m}},t_{\scriptsize{l}}\text＞\ t_{\scriptsize{\text{I}}}\)を満たせばひとつの式にまとめられることが分かる。
複数の演算子を固有状態で挟んだ期待値
これまでの議論は、何個の座標演算子の積でも成り立ち、時間順序積を用いることによって、複数の座標演算子の積を固有状態\({}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\)と\(\vert q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\)で挟んだ期待値を配位空間での経路積分表示(1自由度)で求めることができる。
\begin{align*}&{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\text T[\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{m}})\cdots\hat{q}_{\scriptsize{\text{H}}}(t_{\scriptsize{l}})]\vert q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\\&=\int_{\substack{{}_{q(t_{\scriptsize{\text{I}}})=q_{\scriptsize{\text{I}}}}\\{}_{q(t_{\scriptsize{\text{F}}})=q_{\scriptsize{\text{F}}}}}} \mathcal{D}q(t)\ q(t_{\scriptsize{l}})\cdots q(t_{\scriptsize{m}})\exp\left\{\frac{i}{\hbar}\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}} dt\ L(q(t),\dot{q}(t))\right\} \tag{12}\end{align*}
次ページから⋯
次ページでは、2つの座標演算子の積を真空状態\({}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle 0\vert\)と\(\vert 0\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\)で挟んだ期待値を配位空間での経路積分表示(1自由度)で求める。
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