汎関数積分で表した配位空間での経路積分(スカラー場)

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 本ページでは、スカラー場を連続変数と捉えることで、配位空間での経路積分表示(スカラー場)を汎関数積分の形で求める。

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前ページでは、位相空間での経路積分表示(スカラー場)に具体的なハミルトニアンを代入し、フレネル積分を行なうことにより、配位空間での経路積分表示を求めた。

\begin{align*}&K(\phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}};\phi_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}})\\&=\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N-1}_{n=1}\int d\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\right)\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N}_{n=1}\sqrt{\frac{ \varDelta V}{2\pi\hbar i\varDelta t}}\right) \\&\ \ \ ×\exp\left[\frac{i}{\hbar}\sum^{N}_{n=1}\varDelta t\sum_{\boldsymbol{x}}\varDelta V\left\{\frac{1}{2}\left(\frac{\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)-\phi_{\scriptsize{n-1}}(\boldsymbol x)}{\varDelta t}\right)^2-\frac{1}{2}(\nabla\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x))^2-\frac{m^2}{2}\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x){}^2-V(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x))\right\}\right]\tag{7}\end{align*}

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内容

汎関数積分で表した配位空間での経路積分表示

 前回求めた(\(1\))では、\(N\rightarrow\infty\)の極限をとっていることから、位相空間での経路積分表示のときと同様に、汎関数積分の形で表すこともできる。このとき、次の変換を行なう。

\begin{align*} \phi_{\scriptsize {n}}(\boldsymbol x)=\phi(t_{\scriptsize n},\boldsymbol x)&\rightarrow \phi(t,\boldsymbol x)\tag{2} \\\sum_{n=1}^{N}\varDelta t&\rightarrow\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}} dt \tag{3}\\\frac{\phi_{\scriptsize {n}}-\phi_{\scriptsize {n-1}}(\boldsymbol x)}{\varDelta t}=\frac{\phi(t_{\scriptsize n},\boldsymbol x)-\phi(t_{\scriptsize {n-1}},\boldsymbol x)}{\varDelta t}&\rightarrow\frac{d\phi(t,\boldsymbol x)}{dt}=\dot \phi(t,\boldsymbol x)\tag{4}\end{align*}

\begin{align*}&\left(\prod_{\boldsymbol x}\prod^{N-1}_{n=1}\int d\phi_{\scriptsize {n}}(\boldsymbol x)\right)\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N}_{n=1}\sqrt{\frac{ \varDelta V}{2\pi\hbar i\varDelta t}}\right)\\=&\left(\prod_{\boldsymbol x}\prod^{N-1}_{n=1}\int d\phi(t_{\scriptsize{n}},\boldsymbol x)\right)\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N}_{n=1}\sqrt{\frac{ \varDelta V}{2\pi\hbar i\varDelta t}}\right)\\&\rightarrow \prod_{\boldsymbol x}\int_{\substack{{}_{\phi(t_{\scriptsize{\text{I}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize {\text I}}(\boldsymbol x)}\\{}_{\phi(t_{\scriptsize{\text{F}}},\boldsymbol x )=\phi_{\scriptsize {\text F}}(\boldsymbol x)}}} \mathcal{D}\phi(t,\boldsymbol x)\\&\rightarrow \int_{\substack{{}_{\phi(t_{\scriptsize{\text{I}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize {\text I}}(\boldsymbol x)}\\{}_{\phi(t_{\scriptsize{\text{F}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize {\text F}}(\boldsymbol x)}}}\mathcal{D}\phi\tag{5}\end{align*}

位相空間での経路積分表示(スカラー場)のときと同様に、式(\(2\))において、スカラー場\(\phi_{\scriptsize {n}}(\boldsymbol x)\)は積分変数だが、時刻を表す添字\(n\)が付いている。また、\(N\rightarrow\infty\)の極限をとると、時刻を表す添字\(n\)および時間\(t_{\scriptsize n}\)は連続変数になるため、スカラー場\(\phi_{\scriptsize {n}}(\boldsymbol x)\)は時間\(t\)の関数と見なすことができる。また、式(\(3\))では総和を積分表示にしており、式(\(4\))では微分表示を用いた。

最後に、式(\(2\))から式(\(4\))の変換によって、被積分関数に含まれるスカラー場\(\phi_{\scriptsize {n}}(\boldsymbol x)\)は単なる変数ではなくなり、\(\phi(t,\boldsymbol x)\)のように空間座標\(\boldsymbol x\)に対してだけでなく時間\(t\)に対しても関数の形になってしまった。また、\(N\rightarrow\infty\)の極限をとることによって、積分変数である\(\prod d\phi_{\scriptsize {n}}(\boldsymbol x)\)も連続変数となってしまった。そこで、式(\(5\))のように、積分変数を関数として表記する。今回のように積分変数が関数の場合、\(d\)ではなく\(\mathcal D\)を用いる。また、スカラー場\(\phi(t,\boldsymbol x)\)の積分範囲は\(\phi(t_{\scriptsize{\text{I}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize {\text I}}(\boldsymbol x)\)と\(\phi(t_{\scriptsize{\text{F}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize {\text F}}(\boldsymbol x)\)の条件を満たす関数形になる。

※※※

 式(\(2\))から式(\(5\))の変換を、式(\(1\))の配位空間での経路積分表示(スカラー場)に行なうと、

\begin{align*}&K(\phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}};\phi_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}})\\&=\lim_{N\rightarrow\infty}\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N-1}_{n=1}\int d\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\right)\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N}_{n=1}\sqrt{\frac{ \varDelta V}{2\pi\hbar i\varDelta t}}\right) \\&\ \ \ ×\exp\left[\frac{i}{\hbar}\sum^{N}_{n=1}\varDelta t\sum_{\boldsymbol{x}}\varDelta V\left\{\frac{1}{2}\left(\frac{\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)-\phi_{\scriptsize{n-1}}(\boldsymbol x)}{\varDelta t}\right)^2-\frac{1}{2}(\nabla\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x))^2-\frac{m^2}{2}\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x){}^2-V(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x))\right\}\right]\\&=\int_{\substack{{}_{\phi(t_{\scriptsize{\text{I}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize {\text I}}(\boldsymbol x)}\\{}_{\phi(t_{\scriptsize{\text{F}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize {\text F}}(\boldsymbol x)}}}\mathcal{D}\phi\ \exp\left[\frac{i}{\hbar}\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}} dt \int d^3\boldsymbol{x}\ \left\{\frac{1}{2}\dot{\phi}(t,\boldsymbol{x})^2-\frac{1}{2}(\nabla\phi(t,\boldsymbol{x}))^2-\frac{m^2}{2}\phi(t,\boldsymbol{x})^2-V(\phi(t,\boldsymbol{x}))\right\}\right]\tag{6}\end{align*}

となる。ここで、

\begin{align*}\sum_{\boldsymbol{x}}\varDelta V\rightarrow \int d^3\boldsymbol x\end{align*}

の表現を用いた。2番目の等号では、被積分関数部分はスカラー場\(\phi(t,\boldsymbol x)\)の関数の形から値が決まるため、被積分関数部分は汎関数であり、関数を積分変数として汎関数を積分しているためこれも汎関数積分である。よって、式(6)が汎関数積分で表した配位空間での経路積分表示(スカラー場)である。

式(\(6\))を解釈してみる。1番目の等号では、各時刻\(t_{\scriptsize{n}}\)におけるスカラー場\(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\)を積分変数として、時刻\(t_{\scriptsize{\text{I}}}\)から時刻\(t_{\scriptsize{\text{F}}}\)の間であらゆるスカラー場\(\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\)で積分している。一方、2番目の等号では、 時間\(t\)の関数であるスカラー場\(\phi(t,\boldsymbol x)\)を積分変数として、あらゆる関数形で積分している(ただし、スカラー場\(\phi(t,\boldsymbol x)\)の積分範囲は\(\phi(t_{\scriptsize{\text{I}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize{\text I}}(\boldsymbol x)\)と\(\phi(t_{\scriptsize{\text{F}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize{b \text F}}(\boldsymbol x)\)の条件を満たす)。以上から分かるように、等号でも結ばれているため当然の結果であるが、1番目の等号でも2番目の等号でも同じ作業を意味している。

経路積分と作用積分の関数性

 式(\(6\))には、ラグランジアン密度\(\mathcal L\)

\begin{align}
\mathcal L(\phi(t,\boldsymbol x),\partial_\mu\phi(t,\boldsymbol x))&=\frac{1}{2}\dot{\phi}(t,\boldsymbol{x})^2-\frac{1}{2}(\nabla\phi(t,\boldsymbol{x}))^2-\frac{m^2}{2}\phi(t,\boldsymbol{x})^2-V(\phi(t,\boldsymbol{x}))\tag{7}
\end{align}

が現れており、ラグランジアン密度\(\mathcal L\)で表すと次のように変形できる。

\begin{align} &{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert \phi _{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&=\int_{\substack{{}_{\phi(t_{\scriptsize{\text{I}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize {\text I}}(\boldsymbol x)}\\{}_{\phi(t_{\scriptsize{\text{F}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize {\text F}}(\boldsymbol x)}}}\mathcal{D}\phi\ \exp\left[\frac{i}{\hbar}\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}} dt \int d^3\boldsymbol{x}\ \left\{\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu\phi)\right\}\right] \\&=\int_{\substack{{}_{\phi(t_{\scriptsize{\text{I}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize {\text I}}(\boldsymbol x)}\\{}_{\phi(t_{\scriptsize{\text{F}}},\boldsymbol x)=\phi_{\scriptsize {\text F}}(\boldsymbol x)}}}\mathcal{D}\phi\ \exp\left[\frac{i}{\hbar}S[\phi(t,\boldsymbol x)]\right]\tag{8}\end{align}

最後の等号では、次の作用積分\(S\)の定義を用いた。

\begin{align} S[\phi(t,\boldsymbol x)]=\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}} dt\ \int d^3\boldsymbol x\mathcal L(\phi(t,\boldsymbol x),\dot \phi(t,\boldsymbol x)) \tag{9}\end{align}

以上より、配位空間での経路積分表示スカラー場)でも、汎関数積分の形で表した際に作用積分が現れることが分かる。

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次ページでは、時間順序積を用いることによって、複数のスカラー場の演算子の積を固有状態\({}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\)と\(\vert \phi_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\)で挟んだ期待値を配位空間での経路積分表示(スカラー場)で求める。


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