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本ページでは、ネーターの定理を用いることにより時間並進不変性から全エネルギー保存則が導かれることを確認する。
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前ページでは、ネーターの定理を用いることにより空間並進不変性から全運動量保存則が導かれることを確認した。
内容
時間並進不変性
ここでは、3次元空間内の\(N\)個の粒子の運動を考え、それぞれの粒子の座標を\(\boldsymbol{q_a}(a=1,2,\cdots,N)\)としておく。
時間並進不変性は「時間座標をずらしても物理法則は変わらない」、言い換えると、「現在成り立っている物理法則は、過去そして未来においても同様に成り立つ」ことを意味する。
このことをグラフで考えてみよう。横軸を時間\(t\)、縦軸を一般化座標\(\boldsymbol{q_a}\)として運動方程式を描くと、この運動方程式の各点はラグランジアン\(L\)の値を持ち、その値は時間\(t\)と一般化座標\(\boldsymbol{q_a}\)、そして一般化速度\(\dot{\boldsymbol{q_a}}\)によって決まる。そして、時間\(t\)の向きである横軸に沿って時間\(t\)を無限小定数\(\epsilon\)だけ(無限小)並進させる。このとき、一般化座標\(\boldsymbol q_a(t)\)の無限小変換は
\begin{align}\boldsymbol{q}_a(t)&\rightarrow\boldsymbol q_a(t’)=\boldsymbol q_a(t+\epsilon)=\boldsymbol q_a(t)+\epsilon\frac{\text d\boldsymbol q_a(t)}{\text dt}=\boldsymbol q_a(t)+\epsilon\dot{\boldsymbol q}_a(t)=\boldsymbol q_a(t)+\delta_H\boldsymbol q_a\tag{1}\end{align}
となり、時間並進不変性はこの時に作用積分\(S\)が変わらないことに対応する。このとき、一般化座標\(\boldsymbol q_a\)の無限小変化量は
\begin{align*}\delta_H\boldsymbol q_a&=\epsilon\dot{\boldsymbol q}_a(t)\tag{2}\end{align*}
となる。
今回、ラグランジアンの変化量\(\delta_HL\)は
\begin{align*}\delta_HL&=L(t+\epsilon)-L(t)\\&=\epsilon\frac{\text d L}{\text dt}\tag{3}\end{align*}
であるため、次の関係(前ページを参照)
\begin{align*}\delta_HL=\frac{\text d}{\text dt}K\tag{5}\end{align*}
を満たす関数\(K\)は
\begin{align*}K=\epsilon L\tag{6}\end{align*}
となる。
時間並進不変性と全エネルギー保存則
それでは、時間並進不変性が全エネルギー保存則と関係していることをネーターの定理から導く。
式(2)と式(6)をネーター電荷の式(前々ページを参照)
\begin{align*}N=\sum_{a=1}^N\delta_H \boldsymbol q_a\cdot\frac{\partial L}{\partial \dot{\boldsymbol q}_a}-K\tag{7}\end{align*}
に代入すると
\begin{align}N&=\epsilon H\tag{6}\end{align}
\begin{align}N&=\sum_{a=1}^N\delta_H \boldsymbol q_a\cdot\frac{\partial L}{\partial \dot{\boldsymbol q}_a}-K\\&=\epsilon \left\{\left(\sum_{a=1}^N\dot {\boldsymbol q}_a\cdot\boldsymbol p_a\right)\right\}\\&=-\epsilon H\end{align}
2行目への変形では一般化運動量の定義式
\begin{align*}\boldsymbol p_a&=\frac{\partial L}{\partial \dot{\boldsymbol q_a}}\end{align*}
を用い、3行目への変形ではハミルトニアンの定義式
\begin{align*}H&=\sum_{a=1}^n\dot{ \boldsymbol q}_a\cdot\boldsymbol p_a- L\end{align*}
を用いた。
となる。式(6)より、ネーター電荷\(N\)としてハミルトニアン\(H\)、つまり、全エネルギーが保存することがわかる。したがって、全エネルギー保存則の背景には時間並進不変性があり、ラグランジアン\(L\)の具体的な表式は必要なく、必要なことは無限小変換で作用積分が不変であることだけである。
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次ページでは、ネーターの定理を用いることにより空間回転不変性から全角運動量保存則が導かれることを確認する。
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