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本ページでは、電磁場のない空間でもゲージ場が存在していれば荷電粒子が影響を受ける現象のアハラノフ-ボーム効果について解説する。この効果は、ゲージ場が物理的に観測可能な影響を持つことを示す重要な例であり、ゲージ場の重要性を理解する上で欠かせないものである。
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前ページでは、荷電粒子が従うシュレーディンガー方程式
\begin{align*}i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\varPsi=\left\{-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2+q\phi\right\}\varPsi\end{align*}
を導出し、この方程式がゲージ不変性を持つことを見た。
内容
アハラノフ-ボーム効果とは
ローレンツ力の式
\begin{align*}\boldsymbol F=q\boldsymbol E+q\boldsymbol v×\boldsymbol B\tag{1}\end{align*}
には電磁場のみが含まれる(以前のページを参照)ため、古典力学において、ゲージ場が存在してても電磁場のない空間では荷電粒子には力は働かない。一方、荷電粒子のハミルトニアン(以前のページを参照)
\begin{align*}H&=\frac{1}{2m}(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2+q\phi\tag{2}\end{align*}
にはゲージ場\(A^\mu=(\phi/c,\boldsymbol A)\)のみが含まれているため、ハミルトニアンを用いる量子力学において、ゲージ場が存在していれば電磁場のない空間でも荷電粒子は影響を受けることがある。この現象をアハラノフ-ボーム効果といい、このように直感に反するアハラノフ-ボーム効果はゲージ場の重要性を示すものである(ゲージ場の重要性については以前のページを参照)。
アハラノフ-ボーム効果の解説
アハラノフ-ボーム効果を確認するために、電子銃から2つのスリットを経由してスクリーンに電子を打ち込んで、スクリーン上の干渉縞を確認する二重スリットの実験(以前のページを参照)を考える。ただし、通常の二重スリットの実験と異なる点が1つあり、2つのスリットのちょうど真ん中のすぐ後方に無限に長いソレノイドをスリットと平行に配置している。無限に長いソレノイドの内部には磁場\(\boldsymbol B\)(正確には磁束密度)が存在しているが、外部には磁場\(\boldsymbol B\)は存在していないため、電子が通る経路には磁場\(\boldsymbol B\)は存在しない。しかし、磁場\(\boldsymbol B\)が存在していなくても、無限に長いソレノイドの外部にはゲージ場\(A^\mu\)は存在しており(以前のページを参照)、ソレノイドの有無でスクリーン上に現れる干渉縞が変化する。これがアハラノフ-ボーム効果であり、このことをシュレーディンガー方程式から確かめてみよう。
無限に長いソレノイド外部にゲージ場\(A^\mu=(\phi/c,\boldsymbol A)\)が存在する理由を述べる。ソレノイド内部には磁場\(\boldsymbol B\)が存在するが、ソレノイド外部では磁場\(\boldsymbol B\)はゼロであり、ソレノイド外部の磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol B\)は定義式
\begin{align*}\boldsymbol B&=\boldsymbol \nabla×\boldsymbol A\end{align*}
より次の関係
\begin{align*}\boldsymbol \nabla×\boldsymbol A&=\boldsymbol 0\end{align*}
を満たす。磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)に対してストークスの定理(以前のページを参照)
\begin{align*}\int_S (\boldsymbol \nabla×\boldsymbol f)\cdot d\boldsymbol S=\int_C \boldsymbol f\cdot d\boldsymbol l\end{align*}
を用いると
\begin{align*}\int_S (\boldsymbol \nabla×\boldsymbol A)\cdot d\boldsymbol S=\int_C \boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l\end{align*}
となり、磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)の定義式
\begin{align*}\boldsymbol B&=\boldsymbol \nabla×\boldsymbol A\end{align*}
を用いると
\begin{align*}\int_S \boldsymbol B\cdot d\boldsymbol S=\int_C \boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l\end{align*}
となる。そして、磁場\(\boldsymbol B\)は磁束\(\varPhi\)の面密度である(以前のページを参照)ため、\(\int_S \boldsymbol B\cdot d\boldsymbol S\)は面\(S\)を貫く磁束\(\varPhi\)
\begin{align*}\varPhi=\int_S \boldsymbol B\cdot d\boldsymbol S\end{align*}
を表し、面\(S\)の縁である閉曲線\(C\)沿いの磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)の線積分に等しいことが分かる。ここで、無限に長いソレノイドが貫くように面\(S\)を定めると、上式の左辺はゼロでない値をとり、閉曲線\(C\)沿いの磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)もゼロでない値をとる。つまり、このような例では、ソレノイド外の磁場\(\boldsymbol B\)はゼロであるにも関わらず、ソレノイド外の磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)はゼロにはならず、ゲージ場\(A^\mu=(\phi/c,\boldsymbol A)\)が存在している。
以後、1つ目のスリットを通る経路を\(\Gamma_Ⅰ\)、2つ目のスリットを通る経路を\(\Gamma_Ⅱ\)とラベルする。
無限に長いソレノイドが存在しないとき
初めに、無限に長いソレノイドが存在していない状態、つまり、通常の二重スリットの実験について調べる。このときのシュレーディンガー方程式は自由粒子のシュレーディンガー方程式
\begin{align*}i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \varPsi_0^Ⅰ&=-\frac{\hbar^2}{2m}\boldsymbol\nabla^2\varPsi_0^Ⅰ\tag{3}\\i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \varPsi_0^Ⅱ&=-\frac{\hbar^2}{2m}\boldsymbol\nabla^2\varPsi_0^Ⅱ\tag{4}\end{align*}
であり、2つの経路それぞれを通る波動関数\(\varPsi_0^Ⅰ\),\(\varPsi_0^Ⅱ\)の重ね合わせは
\begin{align*}\varPsi_0^Ⅰ+\varPsi_0^Ⅱ\tag{5}\end{align*}
となる。
無限に長いソレノイドが存在するとき
では、アハラノフ-ボーム効果を確認できる、無限に長いソレノイドが存在しているときについて調べる。
電荷が\(q\)の荷電粒子のシュレーディンガー方程式は
\begin{align*}i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\varPsi&=\left\{-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla-\frac{iq\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2+q\phi\right\}\varPsi\tag{6}\end{align*}
であり(前ページを参照)、無限に長いソレノイドの外部は磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)が存在して電気スカラーポテンシャル\(\phi\)が存在しないため、電荷が\(-e\)の電子が従うシュレーディンガー方程式は
\begin{align*}i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\varPsi^Ⅰ&=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla+\frac{ie\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2\varPsi^Ⅰ\tag{7}\\i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\varPsi^{Ⅱ}&=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla+\frac{ie\boldsymbol A}{\hbar}\right)^2\varPsi^{Ⅱ}\tag{8}\end{align*}
となる。
次に、磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)を変形する。磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)の定義式は
\begin{align*}\boldsymbol B&=\boldsymbol \nabla×\boldsymbol A\tag{9}\end{align*}
であり、無限に長いソレノイド外部では磁場\(\boldsymbol B\)はゼロであるため
\begin{align*}\boldsymbol \nabla×\boldsymbol A=0\tag{10}\end{align*}
となり、勾配ベクトル場の回転がゼロベクトルとなる次の公式(以前のページを参照)
\begin{align*}\boldsymbol \nabla×(\boldsymbol\nabla f)=\boldsymbol 0\tag{11}\end{align*}
を用いると、任意の関数\(\varphi\)を用いて磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)は
\begin{align*}\boldsymbol A=\boldsymbol \nabla \varphi\tag{12}\end{align*}
と表すことができる。この式(12)を用いると式(7),式(8)は
\begin{align*}i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\varPsi^Ⅰ&=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla+\frac{ie\boldsymbol \nabla \varphi^Ⅰ}{\hbar}\right)^2\varPsi^Ⅰ\tag{13}\\i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\varPsi^Ⅱ&=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla+\frac{ie\boldsymbol \nabla \varphi^{Ⅱ}}{\hbar}\right)^2\varPsi^Ⅱ\tag{14}\end{align*}
と表すことができ、自由粒子のシュレーディンガー方程式の解である波動関数\(\varPsi_0^Ⅱ\),\(\varPsi_0^Ⅱ\)を用いると、シュレーディンガー方程式(13),(14)の解となる波動関数は
\begin{align*}\varPsi^Ⅰ&=e^{-\frac{ie\varphi^Ⅰ}{\hbar}}\varPsi_0^Ⅰ\tag{15}\\\varPsi^Ⅱ&=e^{-\frac{ie\varphi^Ⅱ}{\hbar}}\varPsi_0^Ⅱ\tag{16}\end{align*}
となる。
波動関数の式(15),(16)がシュレーディンガー方程式(13),(14)の解となることを、経路\(\Gamma_Ⅰ\)のみ次のように確認する。
\begin{align*}i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\varPsi^Ⅰ&=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla+\frac{ie\boldsymbol \nabla \varphi^Ⅰ}{\hbar}\right)^2\varPsi^Ⅰ\\\rightarrow i\hbar\frac{\partial}{\partial t}e^{-\frac{ie\varphi^Ⅰ}{\hbar}}\varPsi_0^Ⅰ&=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla+\frac{ie\boldsymbol \nabla \varphi^Ⅰ}{\hbar}\right)^2e^{-\frac{ie\varphi^Ⅰ}{\hbar}}\varPsi_0^Ⅰ\\\rightarrow i\hbar e^{-\frac{ie\varphi^Ⅰ}{\hbar}}\frac{\partial}{\partial t}\varPsi_0^Ⅰ&=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\boldsymbol \nabla+\frac{ie\boldsymbol \nabla \varphi^Ⅰ}{\hbar}\right)e^{-\frac{ie\varphi^Ⅰ}{\hbar}}\boldsymbol \nabla\varPsi_0^Ⅰ\\\rightarrow i\hbar e^{-\frac{ie\varphi^Ⅰ}{\hbar}}\frac{\partial}{\partial t}&=-\frac{\hbar^2}{2m}e^{-\frac{ie\varphi^Ⅰ}{\hbar}}\boldsymbol \nabla^2\varPsi_0^Ⅰ\\\rightarrow i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\varPsi_0^Ⅰ&=-\frac{\hbar^2}{2m}\boldsymbol \nabla^2\varPsi_0^Ⅰ\end{align*}
ここで、3行目への変形では次の関係
\begin{align*}\left(\boldsymbol \nabla+\frac{ie\boldsymbol \nabla \varphi^Ⅰ}{\hbar}\right)e^{-\frac{ie\varphi^Ⅰ}{\hbar}}\varPsi_0^Ⅰ&=\boldsymbol\nabla(e^{-\frac{ie\varphi^Ⅰ}{\hbar}}\varPsi_0^Ⅰ)+\frac{ie\boldsymbol \nabla \varphi^Ⅰ}{\hbar}e^{-\frac{ie\varphi^Ⅰ}{\hbar}}\varPsi_0^Ⅰ\\&=-\frac{ie\boldsymbol\nabla\varphi^Ⅰ}{\hbar}e^{-\frac{ie\varphi^Ⅰ}{\hbar}}\varPsi_0^Ⅰ+e^{-\frac{ie\varphi^Ⅰ}{\hbar}}\boldsymbol\nabla\varPsi_0^Ⅰ+\frac{ie\boldsymbol \nabla \varphi^Ⅰ}{\hbar}e^{-\frac{ie\varphi^Ⅰ}{\hbar}}\varPsi_0^Ⅰ\\&=e^{-\frac{ie\varphi^Ⅰ}{\hbar}}\boldsymbol\nabla\varPsi_0^Ⅰ\end{align*}
を用い、4行目への変形では次の関係
\begin{align*}\left(\boldsymbol \nabla+\frac{ie\boldsymbol \nabla \varphi^Ⅰ}{\hbar}\right)e^{-\frac{ie\varphi^Ⅰ}{\hbar}}\boldsymbol\nabla\varPsi_0^Ⅰ&=\boldsymbol\nabla(e^{-\frac{ie\varphi^Ⅰ}{\hbar}}\boldsymbol\nabla\varPsi_0^Ⅰ)+\frac{ie\boldsymbol \nabla \varphi^Ⅰ}{\hbar}e^{-\frac{ie\varphi^Ⅰ}{\hbar}}\boldsymbol\nabla\varPsi_0^Ⅰ\\&=-\frac{ie\boldsymbol\nabla\varphi^Ⅰ}{\hbar}e^{-\frac{ie\varphi^Ⅰ}{\hbar}}\boldsymbol\nabla\varPsi_0^Ⅰ+e^{-\frac{ie\varphi^Ⅰ}{\hbar}}\boldsymbol\nabla^2\varPsi_0^Ⅰ+\frac{ie\boldsymbol \nabla \varphi^Ⅰ}{\hbar}e^{-\frac{ie\varphi^Ⅰ}{\hbar}}\boldsymbol\nabla\varPsi_0^Ⅰ\\&=e^{-\frac{ie\varphi^Ⅰ}{\hbar}}\boldsymbol\nabla^2\varPsi_0^Ⅰ\end{align*}
を用いた。
そして、2つの経路それぞれを通る波動関数\(\varPsi^Ⅰ\),\(\varPsi^Ⅱ\)の重ね合わせは
\begin{align*}\varPsi^Ⅰ+\varPsi^Ⅱ&=e^{-\frac{ie\varphi^Ⅰ}{\hbar}}\varPsi_0^Ⅰ+e^{-\frac{ie\varphi^Ⅱ}{\hbar}}\varPsi_0^Ⅱ\\&=e^{-\frac{ie\varphi^Ⅰ}{\hbar}}\left(\varPsi_0^Ⅰ+e^{-\frac{ie(\varphi^Ⅱ-\varphi^Ⅰ)}{\hbar}}\varPsi_0^Ⅱ\right)\tag{17}\end{align*}
となる。ここで、関数\(\varphi\)は
\begin{align*}\varphi(\boldsymbol x)=\int_{\boldsymbol x_0}^{\boldsymbol x}\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l\end{align*}
\begin{align*}\int_{\boldsymbol x_0}^{\boldsymbol x}\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l&=\int_{\boldsymbol x_0}^{\boldsymbol x}\boldsymbol \nabla \varphi\cdot d\boldsymbol l\\&=\int_{\boldsymbol x_0}^{\boldsymbol x}\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x’},\frac{\partial\varphi}{\partial y’},\frac{\partial\varphi}{\partial z’}\right)\cdot(dx’,dy’,dz’)\\&=\int_{\boldsymbol x_0}^{\boldsymbol x}\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x’}dx’+\frac{\partial\varphi}{\partial y’}dy’+\frac{\partial\varphi}{\partial z’}dz’\right)\\&=\int_{\boldsymbol x_0}^{\boldsymbol x}d\varphi\\&=\varphi(\boldsymbol x)-\varphi(\boldsymbol x_0)\\&=\varphi(\boldsymbol x)\end{align*}
\(\boldsymbol x_0\)は電子銃の発射位置である。1行目の変形では式(12)
\begin{align*}\boldsymbol A=\boldsymbol \nabla \varphi\tag{12}\end{align*}
を用い、2行目への変形では線素の定義
\begin{align*}d\boldsymbol l=(dx’,dy’,dz’)\end{align*}
を用い、6行目への変形では電子銃の発射位置\(\boldsymbol x_0\)で関数\(\varphi\)の値がゼロ
\begin{align*}\varphi(\boldsymbol x_0)=0\end{align*}
であることを用いた。
であるため、重ね合わせた波動関数に現れる量\(\varphi^Ⅱ-\varphi^Ⅰ\)は
\begin{align*}\varphi^Ⅱ-\varphi^Ⅰ&=\varPhi\tag{18}\end{align*}
\begin{align*}\varphi^Ⅱ-\varphi^Ⅰ&=\int_{\boldsymbol x_0:\Gamma_Ⅱ}^{\boldsymbol x}\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l-\int_{\boldsymbol x_0:\Gamma_Ⅰ}^{\boldsymbol x}\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l\\&=\int_{\Gamma_Ⅱ-\Gamma_Ⅱ}\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l\\&=\int_{S}\boldsymbol B\cdot d\boldsymbol S\\&=\varPhi\end{align*}
3行目への変形ではストークスの定理
\begin{align*}\int_S (\boldsymbol \nabla×\boldsymbol A)\cdot d\boldsymbol S=\int_C \boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l\end{align*}
と磁気ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A\)の定義式
\begin{align*}\boldsymbol B&=\boldsymbol \nabla×\boldsymbol A\end{align*}
から導いた次の式
\begin{align*}\int_S \boldsymbol B\cdot d\boldsymbol S=\int_C \boldsymbol A\cdot d\boldsymbol l\end{align*}
を用い、閉曲線である経路\(\Gamma_Ⅱ-\Gamma_Ⅱ\)が作る面を\(S\)とした。また、4行目への変形では次の式
\begin{align*}\varPhi=\int_S \boldsymbol B\cdot d\boldsymbol S\end{align*}
を用いた。
と無限に長いソレノイドが作る磁束\(\varPhi\)になる。よって、2つの経路それぞれを通る波動関数\(\varPsi^Ⅰ\),\(\varPsi^Ⅱ\)の重ね合わせは
\begin{align*}e^{-\frac{ie\varphi^Ⅰ}{\hbar}}\left(\varPsi_0^Ⅰ+e^{-\frac{ie\varPhi}{\hbar}}\varPsi_0^Ⅱ\right)\tag{19}\end{align*}
となって、無限に長いソレノイドが存在しないときの重ね合わせ(\(\varPhi=0\)のときに相当)
\begin{align*}\varPsi_0^Ⅰ+\varPsi_0^Ⅱ\tag{5}\end{align*}
と比べると、無限に長いソレノイドの存在によって2つの波動関数\(\varPsi_0^Ⅰ\),\(\varPsi_0^Ⅱ\)の位相は\(e^{-\frac{ie\varPhi}{\hbar}}\)だけズレることになる。つまり、電子は磁場がゼロの空間を通っていたにもかかわらず、無限に長いソレノイドの存在によってスクリーン上の干渉縞は変化し、これがアハラノフ-ボーム効果である。
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