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本ページでは、量子力学で現れるラゲール陪多項式の直交関係
\begin{align*}\int_{0}^{\infty }e^{-x}x^{m} L_{n}^{m}( x )L_{p}^{m}( x )\text{d}x=\dfrac{(n!)^{3}}{(n-m)!}\delta_{np}\end{align*}
および
\begin{align*}\int_{0}^{\infty }e^{-x}x^{m+1} \left[L_{n}^{m}( x )\right]^2\text{d}x=\frac{(2n-m+1)(n!)^{3}}{(n-m)!}\end{align*}
を求める。
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前ページでは、ラゲール陪多項式\(L_{n}^m( x )\)の母関数表示
\begin{align*}EG(L_{n}^{m}( x );t)=\frac{(-t)^{m}}{(1-t)^{m+1}}e^{-\frac{xt}{1-t}}\end{align*}
と、ラゲール陪多項式を生成するロドリゲスの公式
\begin{align*}L_{n}^{m}( x )=(-1)^{m}\frac{n!}{(n-m)!}x^{-m}e^{x}\frac{\text{d}^{n-m}}{\text{d}x^{n-m}}(x^{n}e^{-x})\end{align*}
を求めた。
内容
ラゲール陪多項式の直交関係
今回は、量子力学の「水素原子におけるシュレーディンガー方程式」を解く際に現れるラゲール陪多項式の直交関係を見る。このときの直交関係は
\begin{align*}\int_{0}^{\infty }e^{-x}x^{m+1}\left[ L_{n}^{m}( x )\right]\text{d}x=\frac{(2n-m+1)(n!)^{3}}{(n-m)!}\tag{1}\end{align*}
であるが、いきなりこの関係を導くのは難しいため、一度次の関係式
\begin{align*}\int_{0}^{\infty }e^{-x}x^{m} L_{n}^{m}( x )L_{p}^{m}( x )\text{d}x=\dfrac{(n!)^{3}}{(n-m)!}\delta_{np}\tag{2}\end{align*}
を求めてから式(1)を求める。
直交関係(2)の導出
まずはじめに、次の式の微分計算を行なってみる。
\begin{align*}&\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left( e^{-x}x^{m+1}\frac{\text{d}}{\text{d}x} L_{n}^{m}( x) \right)\\&=-e^{-x}x^{m+1}\frac{\text{d}}{\text{d}x} L_{n}^{m}( x )+( m+1 )e^{-x}x^{m}\frac{\text{d}}{\text{d}x} L_{n}^{m}( x )+e^{-x}x^{m+1}\frac{\text{d}^{2}}{\text{d}^{2}x} L_{n}^{m}( x )\\&=e^{-x}x^{m}\left(x\frac{\text{d}^{2}}{\text{d}^{2}x} L_{n}^{m}( x)+( m+1-x )\frac{\text{d}}{\text{d}x}L_{n}^{m}( x ) \right)\\&=-(n-m)e^{-x}x^{m}L_{n}^{m}( x )\tag{3}\end{align*}
※※※最初の変換では積の微分公式を用い、最後の変換ではラゲールの陪微分方程式
\begin{align*}x\frac{\text{d}^{2}}{\text{d}x^{2}}L_{n}^{m}(x)+(m+1-x)\frac{\text{d}}{\text{d}x}L_{n}^{m}(x)+ (n-m)L_{n}^{m}( x)=0\tag{4}\end{align*}
を代入して変換を行なった。※※※
次に、式(3)の\(L_{n}^{m}( x )\)を\(L_{p}^{m}( x )\)に変更した式
\begin{align*}\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left( e^{-x}x^{m+1}\frac{\text{d}}{\text{d}x} L_{p}^{m}( x) \right)=-(p-m)e^{-x}x^{m}L_{p}^{m}( x )\tag{5}\end{align*}
を用意して、式(3)の両辺に\(L_{p}^{m}( x )\)、式(5)の両辺に\(L_{n}^{m}( x )\)をかけて二つの式を作ると
\begin{align*}L_{p}^{m}( x) \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\left( e^{-x}x^{m+1}\dfrac{\text{d}}{\text{d}x} L_{n}^{m}( x ) \right)&=-(n-m)e^{-x}x^{m} L_{p}^{m}( x )L_{n}^{m}( x)\tag{6}\\L_{n}^{m}( x) \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\left( e^{-x}x^{m+1}\dfrac{\text{d}}{\text{d}x} L_{p}^{m}( x ) \right)&=-(p-m)e^{-x}x^{m} L_{n}^{m}( x )L_{p}^{m}( x )\tag{7}\end{align*}
が得られる。そして、式(6)と式(7)の差を取ると
\begin{align*}L_{p}^{m}( x ) \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\left( e^{-x}x^{m+1}\dfrac{\text{d}}{\text{d}x} L_{n}^{m}( x ) \right)- L_{n}^{m}( x ) \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\left( e^{-x}x^{m+1}\dfrac{\text{d}}{\text{d}x} L_{p}^{m}( x ) \right)\\=( p-n )e^{-x}x^{m} L_{n}^{m}( x )L_{p}^{m}( x )\tag{8}\end{align*}
となり、両辺を\(0\)から\(\infty\)の範囲で積分すると
\begin{align*}\int_{0}^{\infty }L_{p}^{m}( x ) \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\left( e^{-x}x^{m+1}\dfrac{\text{d}}{\text{d}x} L_{n}^{m}( x ) \right)\text{d}x- \int_{0}^{\infty }L_{n}^{m}( x ) \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\left( e^{-x}x^{m+1}\dfrac{\text{d}}{\text{d}x} L_{p}^{m}( x ) \right)\text{d}x\\=( p-n )\int_{0}^{\infty }e^{-x}x^{m} L_{n}^{m}( x )L_{p}^{m}( x )\text{d}x\tag{9}\end{align*}
となる。式(9)の右辺は直交関係式(2)の左辺に近くなってきた。次に、式(9)の左辺を部分積分すると、
\begin{align*}\int_{0}^{\infty }L_{p}^{m}( x ) \frac{\text{d}}{\text{d}x}\left( e^{-x}x^{m+1}\frac{\text{d}}{\text{d}x} L_{n}^{m}( x ) \right)\text{d}x- \int_{0}^{\infty }L_{n}^{m}( x ) \frac{\text{d}}{\text{d}x}\left( e^{-x}x^{m+1}\frac{\text{d}}{\text{d}x} L_{p}^{m}( x ) \right)\text{d}x\\=\left[ e^{-x}x^{m+1}L_{p}^{m}( x )\frac{\text{d}}{\text{d}x} L_{n}^{m}( x ) \right]_{0}^{\infty }- \int_{0}^{\infty }e^{-x}x^{m+1}\frac{\text{d}}{\text{d}x}L_{p}^{m}( x ) \frac{\text{d}}{\text{d}x} L_{n}^{m}( x )\text{d}x\\\ \ \ \ -\left[ e^{-x}x^{m+1}L_{n}^{m}( x )\frac{\text{d}}{\text{d}x} L_{p}^{m}( x ) \right]_{0}^{\infty }+ \int_{0}^{\infty }e^{-x}x^{m+1}\frac{\text{d}}{\text{d}x}L_{n}^{m}( x ) \frac{\text{d}}{\text{d}x} L_{p}^{m}( x )\text{d}x\tag{10}\end{align*}
となるが、第二項と第四項は等しいので打ち消しあい、第一項と第三項に関しては\(L_{p}^{m}( x )\)と\(L_{n}^{m}( x )\)が多項式であり\(e^{-x}\)のほうが収束が速いのでゼロとなる。以上より、式(9)の左辺はゼロとなるため
\begin{align*}( p-n) \int_{0}^{\infty }e^{-x}x^{m} L_{n}^{m}( x )L_{p}^{m}( x )=0\tag{11}\end{align*}
となる。
\(p\neq n\)のとき
\(p\neq n\)で式(11)が成り立つためには
\begin{align*}\int_{0}^{\infty }e^{-x}x^{m} L_{n}^{m}( x )L_{p}^{m}( x )=0\tag{12}\end{align*}
である必要がある。つまり、異なる次数のラゲール陪多項式は互いに直交する。
\(p=n\)のとき
\(p=n\)のとき式\((11)\)が成立することは明らかである。
次に、\(p=n\)のとき、同一次数であるラゲールの陪多項式の内積
\begin{align*}\int_{0}^{\infty }e^{-x}x^{m}\left[L_{n}^{m}\left( x \right)\right]^{2}\text{d}x\tag{13}\end{align*}
を求めてみる。ラゲールの陪多項式の母関数表示
\begin{align*}EG'(L_{n}^{m}( x );t)&=\sum ^{\infty}_{n=m}L_{n}^{m}( x )\frac{t^{n-m}}{n!}\\&=\frac{(-1)^{m}}{(1-t)^{m+1}}e^{-\frac{xt}{1-t}}\tag{14}\end{align*}
について、式(13)に母関数の定義式を代入したものと、式(13)に母関数表示を代入したものはもちろん等しいため
\begin{align*}\int_{0}^{\infty }e^{-x}x^{m}\left[\sum ^{\infty }_{n=m} L_{n}^{m}( x )\frac{t^{n-m}}{n!}\right]^{2}\text{d}x=\int_{0}^{\infty }e^{-x}x^{m}\left[\frac{(-1)^{m}e^{\frac{-xt}{(1-t)} }}{(1-t)^{m+1 }}\right]^{2}\text{d}x\tag{15}\end{align*}
という式が得られる。式(14)の左辺を計算すると
\begin{align*}&\int_{0}^{\infty }e^{-x}x^{m}\left[\sum ^{\infty }_{n=m} L_{n}^{m}( x )\frac{t^{n-m}}{n!}\right]^{2}\text{d}x\\&= \sum ^{\infty }_{n=m}\frac{t^{2n-2m}}{(n!)^{2}}\int_{0}^{\infty }e^{-x}x^{m}\left[L_{n}^{m}\left( x \right)\right]^{2}\text{d}x\tag{16}\end{align*}
となる。和記号を展開するときに、式(12)より異なる次数のラゲールの陪多項式は互いに直交するためゼロとなり、同一次数であるラゲールの陪多項式の内積だけが残る。次に、式(15)の右辺を計算すると
\begin{align*}&\int_{0}^{\infty }e^{-x}x^{m}\left[\frac{(-1)^{m}e^{-\frac{xt}{(1-t)} }}{(1-t)^{m+1 }}\right]^{2}\text{d}x\\&=\int_{0}^{\infty }\frac{e^{-x}x^{m}e^{-\frac{2xt}{(1-t)} }}{(1-t)^{2m+2 }}\text{d}x\\&=\frac{1}{(1-t)^{2m+2 }}\int_{0}^{\infty }x^{m}e^{-x\frac{(1+t)}{(1-t)} }\text{d}x\tag{17}\end{align*}
となる。ここで、被積分関数の部分積分を繰り返すと
\begin{align*}&\int_{0}^{\infty }x^{m}e^{-x\frac{(1+t)}{(1-t)} }\text{d}x\\&=\left[-\left(\frac{1-t}{1+t}\right)x^{m}e^{-x\frac{(1+t)}{(1-t)} }\right]_{0}^{\infty }-\int_{0}^{\infty }-m\left(\frac{1-t}{1+t}\right)x^{m-1}e^{-x\frac{(1+t)}{(1-t)} }\text{d}x\\&=\int_{0}^{\infty }m\left(\frac{1-t}{1+t}\right)x^{m-1}e^{-x\frac{(1+t)}{(1-t)} }\text{d}x\\&=\cdots\\&=\int_{0}^{\infty }m!\left(\frac{1-t}{1+t}\right)^{m}e^{-x\frac{(1+t)}{(1-t)} }\text{d}x\\&=\left[-m!\left(\frac{1-t}{1+t}\right)^{m+1}e^{-x\frac{(1+t)}{(1-t)} }\right]_{0}^{\infty }\\&=m!\left(\frac{1-t}{1+t}\right)^{m+1}\tag{18}\end{align*}
となり、式(17)に代入すると
\begin{align*}\int_{0}^{\infty }e^{-x}x^{m}\left[\frac{(-1)^{m}e^{-\frac{xt}{(1-t)} }}{(1-t)^{m+1 }}\right]^{2}\text{d}x&=\frac{1}{(1-t)^{2m+2 }}\int_{0}^{\infty }x^{m}e^{-x\frac{(1+t)}{(1-t)} }\text{d}x\\&=\frac{m!}{(1-t^{2 })^{m+1 }}\tag{19}\end{align*}
が得られる。ここで、次の二項展開
\begin{align*}(1-\xi)^{-s}=\sum ^{\infty }_{j=0}\frac{(s+j-1)!}{j!(s-1)!}\xi^{j}\tag{20}\end{align*}
に\(\xi=t^{2}\)と\(s=m+1\)を代入してみると
\begin{align*}(1-t^{2})^{-m-1}&=\sum^{\infty }_{n=0}\frac{(m+n)!}{n!m!}t^{2n}\\&=\sum^{\infty }_{n=m}\frac{n!}{m!(n-m)!}t^{2n-2m}\tag{21}\end{align*}
となる。二つ目の和記号の変換では、\(n\Rightarrow n-m\)と\(n\)を\(m\)ずらした。この関係式を式(19)に代入すると
\begin{align*}\int_{0}^{\infty }e^{-x}x^{m}\left[\frac{(-1)^{m}e^{-\frac{xt}{(1-t)} }}{(1-t)^{m+1 }}\right]^{2}\text{d}x=\sum^{\infty }_{n=m}\frac{n!}{(n-m)!}t^{2n-2m}\tag{22}\end{align*}
が得られ、式(15)に式(16)と式(22)を代入すると
\begin{align*}\sum ^{\infty }_{n=m}\frac{t^{2n-2m}}{(n!)^{2}}\int_{0}^{\infty }e^{-x}x^{m}\left[L_{n}^{m}\left( x \right)\right]^{2}\text{d}x=\sum^{\infty }_{n=m}\frac{n!}{(n-m)!}t^{2n-2m}\tag{23}\end{align*}
となり、どのような\(t\)でも式(23)が成立するためには各項の係数で両辺が等しくなければならないため、係数を比較すると
\begin{align*}\int_{0}^{\infty }e^{-x}x^{m}\left[L_{n}^{m}\left( x \right)\right]^{2}\text{d}x=\dfrac{(n!)^{3}}{(n-m)!}\tag{24}\end{align*}
と規格化に成功した。
直交関係(2)のまとめ
式(12)と式(24)をまとめると
\begin{align*}\int_{0}^{\infty }e^{-x}x^{m} L_{n}^{m}( x )L_{p}^{m}( x )\text{d}x=\dfrac{(n!)^{3}}{(n-m)!}\delta_{np}\tag{2}\end{align*}
が得られる。
三項間の漸化式
得られた関係式(2)から関係式(1)を導くためには三項間の漸化式
\begin{align*}(n-m+1)L_{n+1}^{m}( x )+(n+1)(m-2n+x-1)L_{n}^{m}( x )+n^{2}(n+1)L_{n-1}^{m}( x )=0\tag{25}\end{align*}
を用いる必要がある。そこでこの漸化式を求めてみる。ラゲールの陪多項式の母関数表示
\begin{align*}EG'(L_{n}^{m}( x );t)&=\sum ^{\infty}_{n=m}L_{n}^{m}( x )\frac{t^{n-m}}{n!}\\&=\frac{(-1)^{m}}{(1-t)^{m+1}}e^{-\frac{xt}{1-t}}\tag{14}\end{align*}
を\(t\)について微分すると
\begin{align*}\sum ^{\infty}_{n=m}(n-m)L_{n}^{m}( x )\frac{t^{n-m-1}}{n!}&=(-1)^{m}\left(\frac{m+1}{(1-t)^{m+2}}e^{-\frac{xt}{1-t}}-\frac{xt}{(1-t)^{m+3}}e^{-\frac{xt}{1-t}}-\frac{x}{(1-t)^{m+2}}e^{-\frac{xt}{1-t}}\right)\\&=\frac{1}{1-t}\sum ^{\infty}_{n=m}(m+1-x)L_{n}^{m}( x )\frac{t^{n-m}}{n!}-\frac{1}{(1-t)^{2}}\sum ^{\infty}_{n=m}(xt)L_{n}^{m}( x )\frac{t^{n-m}}{n!}\tag{26}\end{align*}
となるが、二行目への変換の際に、母関数表示(14)を用いた。右辺を左辺に移行すると
\begin{align*}\sum ^{\infty}_{n=m}(n-m)L_{n}^{m}( x )\frac{t^{n-m-1}}{n!}-\frac{1}{1-t}\sum ^{\infty}_{n=m}(m+1-x)L_{n}^{m}( x )\frac{t^{n-m}}{n!}+\frac{1}{(1-t)^{2}}\sum ^{\infty}_{n=m}(xt)L_{n}^{m}( x )\frac{t^{n-m}}{n!}=0\tag{27}\end{align*}
となり、\((1-t)^{2}\)を掛けると
\begin{align*}(1-t)^{2}\sum ^{\infty}_{n=m}(n-m)L_{n}^{m}( x )\frac{t^{n-m-1}}{n!}-(1-t)\sum ^{\infty}_{n=m}(m+1-x)L_{n}^{m}( x )\frac{t^{n-m}}{n!}+\sum ^{\infty}_{n=m}(xt)L_{n}^{m}( x )\frac{t^{n-m}}{n!}=0\tag{28}\end{align*}
と変形できる。\(t\)で揃えるために展開すると
\begin{align*}&\sum ^{\infty}_{n=m}(n-m)L_{n}^{m}( x )\frac{t^{n-m-1}}{n!}-2\sum ^{\infty}_{n=m}(n-m)L_{n}^{m}( x )\frac{t^{n-m}}{n!}+\sum ^{\infty}_{n=m}(n-m)L_{n}^{m}( x )\frac{t^{n-m+1}}{n!}\\&-\sum ^{\infty}_{n=m}(m+1-x)L_{n}^{m}( x )\frac{t^{n-m}}{n!}+\sum ^{\infty}_{n=m}(m+1-x)L_{n}^{m}( x )\frac{t^{n-m+1}}{n!}\\&+\sum ^{\infty}_{n=m}xL_{n}^{m}( x )\frac{t^{n-m+1}}{n!}=0\tag{29}\end{align*}
となり、整理すると
\begin{align*}\sum ^{\infty}_{n=m}(n-m)L_{n}^{m}( x )\frac{t^{n-m-1}}{n!}+\sum ^{\infty}_{n=m}(m-2n+x-1)L_{n}^{m}( x )\frac{t^{n-m}}{n!}+\sum ^{\infty}_{n=m}(n+1)L_{n}^{m}( x )\frac{t^{n-m+1}}{n!}=0\tag{30}\end{align*}
が得られる。ここで、どのような\(t\)でも式(30)が成立するためにはすべての\(t\)の係数が\(0\)になる必要がある。上式は、第一項を\(n\Rightarrow n+1\)、第二項を\(n\Rightarrow n\)、第三項を\(n\Rightarrow n-1\)とずらしてみるとすべての\(t\)の指数は\(n-m\)に揃う。
\begin{align*}\sum ^{\infty}_{n=m-1}(n-m+1)L_{n+1}^{m}( x )\frac{t^{n-m}}{(n+1)!}+\sum ^{\infty}_{n=m}(m-2n+x-1)L_{n}^{m}( x )\frac{t^{n-m}}{n!}+\sum ^{\infty}_{n=m+1}nL_{n-1}^{m}( x )\frac{t^{n-m}}{(n-1)!}=0\tag{31}\end{align*}
そして、すべての\(t\)の係数が\(0\)になる必要があるため、
\begin{align*}(n-m+1)L_{n+1}^{m}( x )\frac{1}{(n+1)!}+(m-2n+x-1)L_{n}^{m}( x )\frac{1}{n!}+nL_{n-1}^{m}( x )\frac{1}{(n-1)!}=0\tag{32}\end{align*}
でなければならず、\((n+1)!\)を掛けると
\begin{align*}(n-m+1)L_{n+1}^{m}( x )+(n+1)(m-2n+x-1)L_{n}^{m}( x )+n^{2}(n+1)L_{n-1}^{m}( x )=0\tag{25}\end{align*}
が得られ、これが求めたかった三項間の漸化式である。
直交関係(1)の導出
三項間の漸化式(25)が求まったので、直交関係式(1)はすぐに求まる。三項間の漸化式(25)を変換すると、
\begin{align*}xL_{n}^{m}=-\frac{n-m+1}{n-1}L_{n+1}^{m}( x )-(m-2n-1)L_{n}^{m}( x )-n^{2}L_{n-1}^{m}( x )\tag{25}\end{align*}
となり、これを直交関係式(1)に代入すると
\begin{align*}\int_{0}^{\infty }e^{-x}x^{m+1}\left[ L_{n}^{m}( x )\right]^2\text dx&=-(m-2n-1)\int_{0}^{\infty }e^{-x}x^{m} \left[L_{n}^{m}( x )\right]^2\\&=\frac{(2n-m+1)(n!)^{3}}{(n-m)!}\tag{1}\end{align*}
となって、やっと直交関係式(1)を求めることができた。
※※※式(1)において、1つ目の等号では異なる次数のラゲール陪多項式が式(2)で互いに直交する性質を用い、2つ目の等号では同一次数であるラゲールの陪多項式の内積を用いた。※※※
1点注意だが、直交関係式(1)は
\begin{align*}\int_{0}^{\infty }e^{-x}x^{m+1} L_{n}^{m}( x )L_p^m(x)\text dx&=\frac{(2n-m+1)(n!)^{3}}{(n-m)!}\delta_{np}\tag{26}\end{align*}
とはならない。なぜなら、式(26)の左辺に三項間の漸化式(25)を代入すると、\(n=p\)のときだけでなく\(n=p\pm 1\)のときも式が(26)の左辺はゼロにならない。つまり、式(26)の直交関係式において、異なる次数のラゲール陪多項式は必ずしも直交するとは限らず、\(n=p\pm 1\)のときは直交しない。
直交関係式(26)は成り立たないが、そうすると「水素原子におけるシュレーディンガー方程式」を解いた際の波動関数も異なる主量子数のときに必ずしも直交するとは限らないのでは？と思うかもしれない。しかし、「水素原子におけるシュレーディンガー方程式」を解く際に現れるラゲール陪多項式\(L_n^m(\rho)\)の変数\(\rho\)は、主量子数\(n\)によって変化する。そのため、「水素原子におけるシュレーディンガー方程式」を解く際に、主量子数が異なるもの同士の直交関係式は式(26)とは異なり、主量子数が異なる波動関数同士はちゃんと直交する。
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