べき級数解法

2024.01.03

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本ページでは…

　本ページでは、べき級数解法について調べる。べき級数解法とは、線形微分方程式

\begin{align*}p’_{0}(x)\frac{d^{n}}{dx^{n}}y+p’_{1}(x)\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}y+p’_{2}(x)\frac{d^{n-2}}{dx^{n-2}}y+\cdots+p’_{n}(x)y=0\end{align*}

の解が次のような級数

\begin{align*}y&=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots\\&=\sum ^{\infty }_{k=0}c_{k}x^{k}\end{align*}

になると仮定して代入・係数比較を駆使して解き進める方法であり、べき級数解法が使えるための条件も併せて調べる。

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内容

べき級数解法とは

　べき級数解法とは、線形微分方程式

\begin{align*}p’_{0}(x)\frac{d^{n}}{dx^{n}}y+p’_{1}(x)\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}y+p’_{2}(x)\frac{d^{n-2}}{dx^{n-2}}y+\cdots+p’_{n}(x)y=0\tag{1}\end{align*}

の解\(y\)が、\(x=0\)の周りでテイラー展開できて次のような級数

\begin{align*}y&=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots\\&=\sum ^{\infty }_{k=0}c_{k}x^{k}\tag{2}\end{align*}

になると仮定し、代入・係数比較を駆使して解き進める方法である。

べき級数解法の条件

　べき級数解法が使える条件としては二つの条件があり、条件①「線形微分方程式(1)の係数関数の\(p’_{0}(x)\),\(p’_{1}(x)\),\(p’_2(x)\),\(\cdots\),\(p’_{n}(x)\)が\(x=0\)の周りでテイラー展開できる」と、条件②「線形微分方程式(1)の最高階導関数の係数関数\(p’_{0}(x)\)が\(x=0\)のときに\(0\)とならない」がある。これらの条件を満たすとき、微分方程式の解\(y\)も\(x=0\)の周りでテイラー展開できて式(2)のような級数として表すことができるということである。

　条件に関して、もし、係数関数または解\(y\)の少なくとも一つが\(x=0\)の周りでテイラー展開できなければ、線形微分方程式(1)が必ず成り立つ保証はなくなってしまう。また、条件②に関して、最高階導関数の係数関数\(p’_{0}(x)\)が\(x=0\)のときに\(0\)となると、\(x=0\)のときに解の関数形が大きく変わってしまう可能性がある。このとき、解の関数には特異点が生じる可能性があり、特異点ではもちろん解の関数はテイラー展開はできない。これは、二次関数

\begin{align*}y=ax^2+bx+c\tag{3}\end{align*}

において最高次数以外の係数\(b\),\(c\)はどのような値をとっても関数形はほとんど変わらないが、最高次数の係数\(a\)が\(0\)の値をとるときだけ関数形が大きく変わることと同様である。

　べき級数解法が使えるための2つの条件は1つにまとめることができる。線形微分方程式(1)の両辺を\(p’_0(x)\)で割ってそれぞれの係数関数を新たに\(p_n(x)\)と置いたときの次の式

\begin{align*}\frac{d^{n}}{dx^{n}}y+p_{1}(x)\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}y+p_{2}(x)\frac{d^{n-2}}{dx^{n-2}}y+\cdots+p_{n}(x)y=0\tag{4}\end{align*}

において、条件①「係数関数の\(p_{1}(x)\),\(p_2(x)\),\(\cdots\),\(p_{n}(x)\)が\(x=0\)の周りでテイラー展開できる」を満たせばべき級数解法が使えることになる。ただし、注意点として\(p’_0(x)=0\)となる点\(x\)で係数関数が発散してしまい、その点で解が特異点を持つ可能性がある。

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次ページから…

　次ページでは、線形微分方程式の最高階導関数の係数関数\(p’_{0}(x)\)が\(x=0\)のときに\(0\)となり、解が\(x=0\)の周りでテイラー展開できないときにでも使える解法のフロベニウス法について調べる。

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