【やさしい量子力学】ブラ-ケット記法

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本ページでは、波動関数同士の内積を表記する際、ブラ-ケット記法は基底関数に依存しない表記方法であることを確認する。また、波動関数をブラ-ケット記法で表記した際に現れる状態ベクトルについて見ていく。

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ブラ-ケットの定義

初めに、ブラ-ケット記法で用いる、ブラ\(\langle a \vert\)と呼ばれるものとケット\(\vert a\rangle\)と呼ばれるものを定義する。ケット\(\vert a\rangle\)は次のように列ベクトル

\begin{align*}\vert a\rangle=\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\\vdots\end{array}\right)\tag{1}\end{align*}

であると定義し、ブラ\(\langle a\vert\)は次のようにケット\(\vert a\rangle\)のエルミート共役である行ベクトル

\begin{align*}\langle a\vert&=\vert a\rangle^\dagger\\&=(a_1^*,a_2^*,\cdots)\tag{2}\end{align*}

であると定義する。

ベクトルの内積

ベクトルの内積をブラ\(\langle a\vert\)とケット\(\vert b\rangle\)を用いて表記すると次のようになる。

\begin{align*}\langle a\vert b\rangle&=(a_1^*,a_2^*,\cdots)\left(\begin{array}{c}b_1\\b_2\\\vdots\end{array}\right)\\&=\sum_{i}a_i^*b_i\tag{3}\end{align*}

関数の内積

ベクトルの内積と合わせて、関数の内積もここで確認してみる。

関数は連続する無限個の成分を持つベクトルと見なせるため、関数\(\psi(\tau)\)と\(\phi(\tau)\)の内積は｢各点\(\tau\)での二つの関数の値の積｣を足し合わせたものになる。これは2つの関数の積で表される\(\psi(\tau)\phi(\tau)\)の面積に相当し、二つの関数の内積は積分で定義される。

\begin{align*}\int d\tau\ \psi^*(\tau)\phi(\tau)\tag{4}\end{align*}

正規直交基底関数

次の規格直交関係

\begin{align*}\int d\tau\ u_i^*(\tau)u_j(\tau)&=\delta_{ij}\tag{5}\end{align*}

を満たす基底関数\(u_i(\tau\))を正規直交基底関数といい、この規格直交関係は2つの関数\(u_i(\tau)\)と\(u_j(\tau)\)の内積ととらえることができる(以後、正規直交基底関数は単に基底関数と略す)。

基底関数群\(\{u(\tau)\}\)を成分としてケットで表したもの

\begin{align*}\vert u\rangle=\left(\begin{array}{c}u_1(\tau)\\u_2(\tau)\\\vdots\end{array}\right)\tag{6}\end{align*}

を定義したとき、次の量は単位行列となる。

\begin{align*}\int d\tau\ \vert u\rangle\langle u\vert&=\int d \tau\ \left(\begin{array}{c}u_1(\tau)\\u_2(\tau)\\\vdots\end{array}\right)(u_1^*(\tau),u_2^*(\tau),\cdots)\\&=\int d \tau\ \left(\begin{array}{c}u_1(\tau)u_1^*(\tau)&u_1(\tau)u_2^*(\tau)&\cdots\\u_2(\tau)u_1^*(\tau)&u_2(\tau)u_2^*(\tau)&\cdots&\\\vdots&\vdots&\ddots\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}\int d \tau\ u_1(\tau)u_1^*(\tau)&\int d \tau\ u_1(\tau)u_2^*(\tau)&\cdots\\\int d \tau\ u_2(\tau)u_1^*(\tau)&\int d \tau\ u_2(\tau)u_2^*(\tau)&\cdots&\\\vdots&\vdots&\ddots\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}1&0&\cdots\\0&1&\cdots&\\\vdots&\vdots&\ddots\end{array}\right)\\&=\boldsymbol I\tag{7}\end{align*}

ブラ-ケット記法のメリット

ブラ-ケット記法のメリットを見てみる。まず、波動関数\(\psi(\tau)\)は基底関数群\(\{u(\tau)\}\)の線型結合

\begin{align*}\psi(\tau)&=\psi_1u_1^*(\tau)+\psi_2u_2^*(\tau)+\cdots\\&=\sum_{i}\psi_iu_i^*(\tau)\tag{8}\end{align*}

で表すことが出来る。そのため、基底関数群\(\{u(\tau)\}\)を成分としてブラで表したもの

\begin{align*}\langle u\vert&=(u_1^*(\tau),u_2^*(\tau),\cdots)\tag{9}\end{align*}

と、展開係数\(\psi_i\)をケットで表したもの

\begin{align*}\vert \psi\rangle=\left(\begin{array}{c}\psi_1\\\psi_2\\\vdots\end{array}\right)\tag{10}\end{align*}

を用いて、波動関数\(\psi(\tau)\)をブラ-ケット記法で表すと

\begin{align*}\psi(\tau)&=(u_1^*(\tau),u_2^*(\tau),\cdots)\left(\begin{array}{c}\psi_1\\\psi_2\\\vdots\end{array}\right)\\&=\langle u\vert \psi\rangle\tag{11}\end{align*}

となる。

また、基底関数群\(\{u(\tau)\}\)から成るブラ\(\langle u\vert\)と、展開係数\(\psi_i\)と異なる展開係数\(\phi_i\)から成るケット\(\vert\phi\rangle\)

\begin{align*}\vert \phi\rangle=\left(\begin{array}{c}\phi_1\\\phi_2\\\vdots\end{array}\right)\tag{12}\end{align*}

を用いてもう1つの波動関数\(\phi(\tau)\)を用意する。

\begin{align*}\phi(\tau)&=\langle u\vert \phi\rangle\tag{13}\end{align*}

次に、波動関数\(\psi\)と\(\phi\)同士の内積を計算すると

\begin{align*}\int d\tau\ \psi^*(\tau)\phi(\tau)&=\int d\tau\ \langle \psi\vert u\rangle\langle u \vert \phi\rangle\\&=\langle \psi\vert \left(\int d\tau\ \vert u\rangle\langle u \vert\right) \phi\rangle\\&=\langle \psi\vert\boldsymbol I\vert \phi\rangle\\&=\langle \psi\vert \phi\rangle\tag{14}\end{align*}

となる。このように、波動関数\(\psi(\tau)\),\(\phi(\tau)\)の内積を積分を用いて表したとき、基底関数群を成分にもつ\(\vert u\rangle\)と\(\langle u\vert\)の積が積分で単位行列\(\boldsymbol I\)となり、右辺のブラ-ケット記法では展開係数\(\langle \psi\vert\),\(\vert \phi\rangle\)のみで表されて基底関数群\(\{u(\tau)\}\)に依存しなくなる。つまり、上式(14)の左辺に積分記号が現れるのは、ブラ-ケット記法に積分操作が含包されているのではなく、ブラ-ケット\(\langle \psi\vert\),\(\vert \phi\rangle\)に挟まれている単位行列\(\boldsymbol I\)が基底関数群を成分にもつ\(\vert u\rangle\)と\(\langle u\vert\)の積を積分したものであり、その積分記号由来である。上式(14)の左辺は波動力学的表現であり基底関数\(u_i(\tau)\)の線型結合で表され、右辺は行列力学的表現であり基底関数\(u_i(\tau)\)の展開係数\(\psi_i\),\(\phi_i\)を成分に持つベクトルで表される。

状態ベクトル

これまでから分かるように、ブラ-ケット記法で表されるベクトルは、｢基底関数群を成分に持つベクトル｣か、｢展開係数を成分に持つベクトル｣である。波動関数\(\psi\),\(\phi\)に対応していて、展開係数\(\psi_i\),\(\phi_i\)を成分に持つブラ\(\langle\psi\vert\)やケット\(\vert\phi\rangle\)を状態ベクトルと呼ぶ。

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次ページでは、離散基底系における基底ベクトルの定義を確認し、基底関数群を成分にもつベクトルと基底ベクトルの内積で、離散基底系の基底関数を表せることを確認する。また、状態ベクトルは基底ベクトルの線型結合で表せることも確認する。