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本ページでは、連続基底系における基底ベクトルの定義を確認し、状態ベクトルは基底ベクトルの線型結合で表せることと、その展開係数が波動関数になることを確認する。
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前ページでは、正規直交基底関数(以後、基底関数と略す)群\(\{u_i\}\)を成分にもつベクトル\(\langle u\vert\)と基底ベクトル\(\vert u_i\rangle\)の内積で、離散基底系の基底関数\(u_i\)を表せることを確認した。
\begin{align*}u_i^*(\tau)&=(\cdots,u_{i-1}^*(\tau),u_i^*(\tau),u_{i+1}^*(\tau),\cdots)\left(\begin{array}{c}\vdots\\0\\1\\0\\\vdots\end{array}\right)\\&=\langle u\vert u_i\rangle\tag{1}\end{align*}
また、状態ベクトル\(\vert\psi\rangle\)は基底ベクトル\(\vert u_i\rangle\)の線型結合で表せることも確認した。
\begin{align*}\vert \psi\rangle&=\sum_{i}\psi_i\vert u_i\rangle\\&=\left(\begin{array}{c}\psi_1\\\vdots\\\psi_i\\\vdots\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{c}\langle u_1\vert \psi\rangle\\\vdots\\\langle u_i\vert \psi\rangle\\\vdots\end{array}\right)\tag{2}\end{align*}
内容
離散基底系と連続基底系
基底関数は2種類あり、\(\sin\)関数やルジャンドル関数などの離散基底系と、座標や運動量などの連続基底系の2つに分類できる。このページでは、連続基底系について調べていく。
デルタ関数の復習
連続基底系を話す前に、デルタ関数について復習しておく。デルタ関数\(\delta(x)\)は、\(x=0\)の点でのみ値をとり、それ以外の点ではゼロの値
\begin{align*}\delta(x)&=0\ \ \ (x\neq 0)\tag{3}\end{align*}
をとる関数である(デルタ関数は厳密には関数ではなく超関数である)。デルタ関数\(\delta (x)\)は、全範囲で積分すると\(1\)になる関数と定義
\begin{align*}\int dx\ \delta(x)=1\tag{4}\end{align*}
されているため、\(x=0\)での値は次の形で無限大を取らなければならない。
\begin{align*}\delta(0)&=\infty=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{\Delta x}\tag{5}\end{align*}
そうすれば、デルタ関数\(\delta (x)\)を積分する際に、\(x=0\)の点での積分値は
\begin{align*}\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\delta(0)×\Delta x&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{\Delta x}×\Delta x\\&=1\tag{6}\end{align*}
となって、デルタ関数\(\delta (x)\)を全範囲で積分した際に\(1\)となる。
連続基底系の基底ベクトル
連続基底関数\(r\)は連続しているため、基底ベクトル\(\vert r\rangle\)は行列の形で表すことが出来ない。しかし、無理やりに表すと、1成分のみ\(\infty\)でそれ以外の成分は\(0\)である\(\infty\)行1列の行列として表せる。
\begin{align*}\vert r\rangle=\left(\begin{array}{c}0\\\vdots\\\infty=\lim_{\Delta r\rightarrow0}\frac{1}{\sqrt{\Delta r}}\\\vdots\\0\end{array}\right)\tag{7}\end{align*}
成分の値が\(1\)である離散基底ベクトル\(\vert u_i\rangle\)と異なり、連続基底ベクトル\(\vert r\rangle\)の成分の値は\(\infty\)であり、
\begin{align*}\infty=\lim_{\Delta r\rightarrow0}\frac{1}{\sqrt{\Delta r}}\tag{8}\end{align*}
を満たす。その理由は、この基底ベクトル\(\vert r\rangle\)が、デルタ関数で表される次の規格直交関係
\begin{align*}\langle r\vert r’\rangle&=\delta( r- r’)\tag{9}\end{align*}
を満たすように定義されているからであり、\(\vert r\rangle\)同士の内積で次の関係を満たす必要があるからである。
\begin{align*}\langle r\vert r\rangle&=\delta(0)\\&=\lim_{\Delta r\rightarrow0}\frac{1}{\Delta r}\tag{10}\end{align*}
基底ベクトルの性質
基底ベクトル\(\vert r\rangle\)は規格直交性
\begin{align*}\langle r\vert r’\rangle&=\delta( r- r’)\tag{9}\end{align*}
をもち、次の量
\begin{align*}\vert r\rangle\langle r\vert &=\left(\begin{array}{c}0&\cdots&0&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\0&\cdots&\infty=\lim_{\Delta r\rightarrow0}\frac{1}{\Delta r}&\cdots&0\\\vdots&&\vdots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&0&\cdots&0\end{array}\right)\tag{11}\end{align*}
は射影演算子に相当し、次の量
\begin{align*}\int d r\ \vert r\rangle\langle r\vert &=\lim_{\Delta r\rightarrow0}\sum_{r}\Delta r\vert r\rangle\langle r\vert\\&=\lim_{\Delta r\rightarrow0}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\Delta r}×\Delta r&0&\cdots\\0&0&\cdots&\\\vdots&\vdots&\ddots\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0&0&\cdots\\0&\frac{1}{\Delta r}×\Delta r&\cdots&\\\vdots&\vdots&\ddots\end{array}\right)+\cdots\\&=\left(\begin{array}{c}1&0&\cdots\\0&0&\cdots&\\\vdots&\vdots&\ddots\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0&0&\cdots\\0&1&\cdots&\\\vdots&\vdots&\ddots\end{array}\right)+\cdots\\&=\boldsymbol I\tag{12}\end{align*}
は単位演算子に相当する。
状態ベクトル\(\vert \psi\rangle\)に単位演算子を掛けても変わらないため
\begin{align*}\vert \psi\rangle&=\int dr\ \vert r\rangle\langle r\vert\psi\rangle\\&=\int dr\ \langle r\vert\psi\rangle\vert r\rangle\\&=\lim_{\Delta r \rightarrow 0}\sum_{r}\Delta r \langle r\vert\psi\rangle\vert r\rangle\\&=\lim_{\Delta r \rightarrow 0}\left(\begin{array}{c}\vdots\\\langle r\vert \psi\rangle\sqrt{\Delta r}\\\vdots\end{array}\right)\tag{13}\end{align*}
となる(内積はスカラーであるため順序を変えても良い)。また、状態ベクトル\(\vert\psi\rangle\)は基底ベクトル\(\vert r\rangle\)と展開係数\(\psi(r)\)を用いて
\begin{align*}\vert \psi\rangle&=\int dr\ \psi(r)\vert r\rangle\\&=\lim_{\Delta r \rightarrow 0}\sum_{r}\Delta r\psi(r)\vert r\rangle\\&=\lim_{\Delta r \rightarrow 0}\left(\begin{array}{c}\vdots\\\psi(r)\sqrt{\Delta r}\\\vdots\end{array}\right)\tag{15}\end{align*}
と表すことができるため、展開係数\(\psi(r)\)は
\begin{align*}\psi(r)=\langle r\vert \psi\rangle\tag{14}\end{align*}
となる。\(\langle r\vert \psi\rangle\)は、状態ベクトル\(\vert \psi\rangle\)の特定の物理量\(r\)での値を表すため、展開係数\(\psi(r)\)は波動関数に相当する。
最後に、状態ベクトル\(\vert \psi\rangle\)を空間のある方向に向いたベクトルと考えると、基底ベクトル\(\vert r\rangle\)はある1つの座標軸\(r\)方向の単位ベクトルに相当し、波動関数\(\psi(r)\)は座標軸\(r\)の射影成分に相当する。そして、座標系を変えると射影成分も変わることが分かる。
次ページから⋯
次ページでは、1自由度におけるシュレーディンガー描像での固有状態の定義と、固有状態が満たす性質、および演算子との関係について調べていく。
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