【やさしい量子力学】複素平面波

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本ページでは、速さ\(u\)の実数平面波の式から出発し、複素数から構成されて、波動方程式に従う複素平面波の式を導出する。

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前ページでは、振幅が\(a\)で、波数ベクトルが\(\boldsymbol k\)で、角振動数が\(\omega\)、位相項が\(\delta\)の3次元実数平面波

\begin{align*}\varPsi'(q,t)&=a\cos\left(\boldsymbol k\cdot\boldsymbol q-\omega t+\delta\right)\\&=a\cos\left(k_{\scriptsize x} x+k_{\scriptsize y} y+k_{\scriptsize z} z-\omega t+\delta\right)\tag{1}\end{align*}

から出発し、波動方程式

\begin{align*}\frac{\partial^2 \varPsi’}{\partial t^2}&=u^2\Delta\varPsi’\tag{2}\end{align*}

を導いた。速さ\(u\)であれば平面波に限らずどのような波動(球面波など)でもこの式を満たす。

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複素平面波とは

複素平面波とは、複素数である複素指数関数から構成される平面波であり、実数平面波と同様に波動方程式を満たす。この複素平面波は、実数平面波の式から求めることができる。

複素平面波の導出

実数平面波(1)と同じ波数ベクトル\(\boldsymbol k\)、角振動数\(\omega\)、位相項\(\delta\)を持ち、振幅が虚数の\(ia\)である複素平面波

\begin{align*}\varPsi'{}'(q,t)&=ai\sin\left(\boldsymbol k\cdot\boldsymbol q-\omega t+\delta\right)\tag{3}\end{align*}

を考えてみる。この複素平面波も、速さは実数平面波(1)と同じ\(u\)のため、波動方程式(2)を満たす。実数平面波(2)に複素平面波(3)を足して新しい複素平面波\(\varPsi\)を作ってみる。

\begin{align*}\varPsi&=\varPsi’+\varPsi'{}’\\&=a\cos\left(\boldsymbol k\cdot\boldsymbol q-\omega t+\delta\right)+ai\sin\left(\boldsymbol k\cdot\boldsymbol q-\omega t+\delta\right)\\&=ae^{i\left(\boldsymbol k\cdot\boldsymbol q-\omega t+\delta\right)}\tag{4}\end{align*}

ここで、オイラーの公式

\begin{align*}e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\tag{5}\end{align*}

を用いており、平面波を三角関数ではなく複素指数関数で表すことができる。この平面波を複素平面波といい、新しく作った複素平面波(4)の速さも、実数平面波(1)や複素平面波(3)の速さと同じ\(u\)であるため、波動方程式(2)を満たす。

なぜ複素平面波を扱うのか

波動方程式(2)を満たす解としては、実数波でも複素波でもどちらでもよい。しかし、今後、量子力学で用いる解は実数波ではなく複素波となる。これは、単なる計算上のテクニックではなく、量子力学において実数波では説明できない現象があり、複素波でなければならない。

そのため、量子力学以外の分野では「現実の波は実数部分のため、複素波の虚数部分は無視する」ことは正しいが、量子力学においては間違いである。

複素波でなければならない例は今後のページで見ていく。

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次ページでは、波動性のみを表す複素平面波の式(4)に、粒子と波動の二重性を表すアインシュタインの式とド・ブロイの式を代入し、粒子性と波動性をもつ複素平面波の式を導出する。

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