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本ページでは、汎関数積分の計算を行ない、汎関数積分の形で表された位相空間での経路積分表示(1自由度)から、直接、汎関数積分の形で表された配位空間での経路積分を求める。
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前ページでは、配位空間での経路積分表示(1自由度)を汎関数積分の形で求めた。
\begin{align*} &K(q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}};q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}) \\&=\int_{\substack{{}_{q(t_{\scriptsize{\text{I}}})=q_{\scriptsize{\text{I}}}}\\{}_{q(t_{\scriptsize{\text{F}}})=q_{\scriptsize{\text{F}}}}}} \mathcal{D}q(t)\ \exp\left\{\frac{i}{\hbar}S[q(t)]\right\} \tag{1}\end{align*}
また、前々々ページで、位相空間での経路積分表示(1自由度)を汎関数積分の形で求めた。
\begin{align*} &K(q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}};q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}) \\&=\int\mathcal{D}p(t)\int_{\substack{{}_{q(t_{\scriptsize{\text{I}}})=q_{\scriptsize{\text{I}}}}\\{}_{q(t_{\scriptsize{\text{F}}})=q_{\scriptsize{\text{F}}}}}} \mathcal{D}q(t)\ \exp\left[\frac{i}{\hbar}\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}} dt\left\{p(t)\dot{q}(t)-H(q(t),p(t))\right\}\right]\tag{2} \end{align*}
内容
汎関数積分の計算
初めに、次の形で表された汎関数積分を計算してみる。
\begin{align} \int\mathcal{D}p'(t)\exp\bigg[\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}}dt\ G[p'(t)]\bigg]\tag{3}
\end{align}
この汎関数積分において、位相空間や配位空間での経路積分表示(1自由度)を汎関数積分の形でも表したときと同様に、次の関係を満たすとする。
\begin{align*}\int\mathcal{D}p'(t)&\rightarrow\lim_{N\rightarrow\infty}\prod^{N}_{n=1}\int \frac{dp’_{\scriptsize{n}}}{2\pi\hbar}\tag{4}\\\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}}dt&\rightarrow\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{N}\varDelta t\tag{5}\\G[p'(t)]&\rightarrow G(p'{\scriptsize n})\tag{6}\end{align*}
実際にこの関係を用いると汎関数積分は次のように変形できる。
\begin{align} &\int\mathcal{D}p'(t)\exp\bigg[\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}}dt\ G[p'(t)]\bigg]
\\&=\Bigg(\prod^{N}_{n=1}\int \frac{dp’_{\scriptsize{n}}}{2\pi\hbar}\Bigg)\exp\bigg[\sum_{n=1}^{N}\varDelta t\ G(p'{\scriptsize n})\bigg] \\&=\prod^{N}_{n=1}\int \frac{dp’_{\scriptsize{n}}}{2\pi\hbar}\exp\left[\varDelta t\ G (p’_{\scriptsize n})\right]\tag{7}
\end{align}
以上のことから、式(\(3\))の形の汎関数積分では、それぞれの時間(添字\(n\)が時刻を表す)において、関数である積分変数\(p'(t)\)を単なる積分変数\(p’_{\scriptsize{n}}\)として計算した後、それぞれの時刻での値を掛け合わせれば良いことになる。
汎関数積分が次のような形をしている時、フレネル積分を行うことができ、簡単に表現することができる。
\begin{align*} \\&\int\mathcal{D}p'(t)\exp\bigg[\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}}dt\ \left\{-\frac{i}{2}bp'(t)^2\right\}\bigg] \\&=\Bigg(\prod^{N}_{n=1}\int \frac{dp’_{\scriptsize{n}}}{2\pi\hbar}\Bigg)\exp\bigg[\sum_{n=1}^{N}\varDelta t\ \left(-\frac{i}{2}bp’_{\scriptsize n}{}^2\right)\bigg] \\&=\prod^{N}_{n=1}\int \frac{dp’_{\scriptsize{n}}}{2\pi\hbar}\exp\left[- \frac{i}{2}b\varDelta t p’_{\scriptsize n}{^2}\right] \\&=\prod^{N}_{n=1} \frac{1}{2\pi\hbar}\sqrt{\frac{2\pi}{ib\varDelta t}} \\&= \left(\frac{1}{2b\pi\hbar^2 i\varDelta t}\right)^{\frac{N}{2}} \tag{8}\end{align*}
※※※4番目の等号では次のフレネル積分
\begin{align*} \int^\infty_{-\infty}dp’\ e^{-\frac{i}{2}bp’^2} =\sqrt{\frac{2\pi}{ib}}\ \ \ \ (b \in\mathbb{R}) \tag{9}\end{align*}
を用いた。※※※
配位空間での経路積分表示の導出
式(8)を用いることによって、位相空間での経路積分表示(1自由度)を汎関数積分の形で表した式から、直接配位空間での経路積分表示に変換できる。まず、式(1)を次のように計算していく。
\begin{align*} &K(q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}};q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}})\\&=\int\mathcal{D}p(t)\int_{\substack{{}_{q(t_{\scriptsize{\text{I}}})=q_{\scriptsize{\text{I}}}}\\{}_{q(t_{\scriptsize{\text{F}}})=q_{\scriptsize{\text{F}}}}}} \mathcal{D}q(t)\ \exp\bigg[\frac{i}{\hbar}\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}}dt\Big\{p(t)\dot{q}(t)-H(q(t),p(t))\Big\}\bigg] \\&=\int\mathcal{D}p(t)\int _{\substack{{}_{q(t_{\scriptsize{\text{I}}})=q_{\scriptsize{\text{I}}}}\\{}_{q(t_{\scriptsize{\text{F}}})=q_{\scriptsize{\text{F}}}}}}\mathcal{D}q(t)\ \exp\bigg[\frac{i}{\hbar}\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}}dt\Big\{p(t)\dot{q}(t)-\frac{p(t){}^2}{2m}-V(q(t))\Big\}\bigg] \\&=\int\mathcal{D}p(t)\int_{\substack{{}_{q(t_{\scriptsize{\text{I}}})=q_{\scriptsize{\text{I}}}}\\{}_{q(t_{\scriptsize{\text{F}}})=q_{\scriptsize{\text{F}}}}}}\mathcal{D}q(t)\ \exp\bigg[\frac{i}{\hbar}\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}}dt\Big\{-\frac{1}{2m}\Big(p(t)-m\dot{q}(t)\Big)^2+\frac{m}{2}\dot{q}(t)^2-V(q(t))\Big\}\bigg] \\&=\int\mathcal{D}p'(t)\int _{\substack{{}_{q(t_{\scriptsize{\text{I}}})=q_{\scriptsize{\text{I}}}}\\{}_{q(t_{\scriptsize{\text{F}}})=q_{\scriptsize{\text{F}}}}}}\mathcal{D}q(t)\ \exp\bigg[\frac{i}{\hbar}\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}}dt\Big\{-\frac{1}{2m}p'(t)^2+\frac{m}{2}\dot{q}(t)^2-V(q(t))\Big\}\bigg] \\&=\int\mathcal{D}p'(t)\exp\bigg[\frac{i}{\hbar}\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}}dt\Big\{-\frac{1}{2m}p'(t)^2\Big\}\bigg]\int_{\substack{{}_{q(t_{\scriptsize{\text{I}}})=q_{\scriptsize{\text{I}}}}\\{}_{q(t_{\scriptsize{\text{F}}})=q_{\scriptsize{\text{F}}}}}}\mathcal{D}q(t)\ \exp\bigg[\frac{i}{\hbar}\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}}dt\Big\{\frac{m}{2}\dot{q}(t)^2-V(q(t))\Big\}\bigg] \\&=\int\mathcal{D}p'(t)\exp\bigg[\frac{i}{\hbar}\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}}dt\Big\{-\frac{1}{2m}p'(t)^2\Big\}\bigg]\int_{\substack{{}_{q(t_{\scriptsize{\text{I}}})=q_{\scriptsize{\text{I}}}}\\{}_{q(t_{\scriptsize{\text{F}}})=q_{\scriptsize{\text{F}}}}}}\mathcal{D}q(t)\ \exp\bigg[\frac{i}{\hbar}\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}}dt\Big\{\frac{m}{2}\dot{q}(t)^2-V(q(t))\Big\}\bigg]\tag{10} \end{align*}
※※※2番目の等号ではハミルトニアン\(H\)
\begin{align*} H(q(t),p(t))=\frac{p(t){}^2}{2m}+V(q(t))\tag{11} \end{align*}
を用い、3番目の等号では平方完成を行ない、4番目の等号では次の変数変換
\begin{align*}p(t)-m\dot q(t)\rightarrow p'(t)\tag{12}\end{align*}
を用い、５番目の等号では位置\(q(t)\)と運動量\(p(t)\)それぞれでまとめた。※※※
そして、式(\(10\))で運動量\(p(t)\)に関して汎関数積分(式(\(8\)))を行なうと次のようになる。
\begin{align*} &K(q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}};q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}) \\&=\Bigg( \frac{m}{2\pi\hbar i\varDelta t}\Bigg)^{\frac{N}{2}}\int_{\substack{{}_{q(t_{\scriptsize{\text{I}}})=q_{\scriptsize{\text{I}}}}\\{}_{q(t_{\scriptsize{\text{F}}})=q_{\scriptsize{\text{F}}}}}}\mathcal{D}q(t)\ \exp\bigg[\frac{i}{\hbar}\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}}dt\Big\{\frac{m}{2}\dot{q}(t)^2-V(q(t))\Big\}\bigg]\\&=\int_{\substack{{}_{q(t_{\scriptsize{\text{I}}})=q_{\scriptsize{\text{I}}}}\\{}_{q(t_{\scriptsize{\text{F}}})=q_{\scriptsize{\text{F}}}}}}\mathcal{D}q(t)\ \exp\bigg[\frac{i}{\hbar}\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}}dt\Big\{\frac{m}{2}\dot{q}(t)^2-V(q(t))\Big\}\bigg]\\&=\int_{\substack{{}_{q(t_{\scriptsize{\text{I}}})=q_{\scriptsize{\text{I}}}}\\{}_{q(t_{\scriptsize{\text{F}}})=q_{\scriptsize{\text{F}}}}}} \mathcal{D}q(t)\ \exp\left\{\frac{i}{\hbar}\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}} dt\ L(q(t),\dot{q}(t))\right\} \\&=\int_{\substack{{}_{q(t_{\scriptsize{\text{I}}})=q_{\scriptsize{\text{I}}}}\\{}_{q(t_{\scriptsize{\text{F}}})=q_{\scriptsize{\text{F}}}}}} \mathcal{D}q(t)\ \exp\left\{\frac{i}{\hbar}S[q(t)]\right\} \tag{13}\end{align*}
※※※２番目の等号では、汎関数積分を行なって現れた値を前ページと同様に\(\int\mathcal D q(t)\)の中にまとめて、3番目の等号ではラグランジアン\(L\)
\begin{align}
L(q(t),\dot{q}(t))=\frac{m}{2}\dot q(t)^2-V(q(t))\tag{15}
\end{align}
を用い、作用積分\(S\)
\begin{align} S[q(t)]=\int^{t_{\scriptsize{\text{F}}}}_{t_{\scriptsize{\text{I}}}} dt\ L(q(t),\dot{q}(t)) \tag{16}\end{align}
を用いて変換を行なった。※※※
以上より、前ページで求めた汎関数積分の形での配位空間での経路積分表示(1自由度)を、直接、汎関数積分の形で位相空間での経路積分表示(1自由度)から求めることができた。
次ページから⋯
次ページでは、時間順序積を用いることによって、複数の座標演算子の積を固有状態\({}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\)と\(\vert q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\)で挟んだ期待値を配位空間での経路積分表示(1自由度)で求める。
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