ファインマン核(スカラー場)

2023.01.24

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本ページでは…

 本ページでは、２状態間の遷移確率振幅であるファインマン核(スカラー場)の定義と、ファインマン核(スカラー場)に完全系を挿入することによって、複数の状態を経る場合の遷移確率振幅として表現できることをみる。

 前ページまででは有限離散自由度の多自由度を扱ったが、ここで扱うスカラー場は無限連続自由度である。わかりやすく言うと、連続な空間全ての点で自由度がある、ということである。例えば\(x\),\(y\),\(z\)軸からなる3次元空間では、空間の点全ては連続であり、それぞれの点で自由度がある、つまり任意の値を取ることができるイメージである。

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前ページまで…

 以前のページでは、多自由度における2点間の遷移確率振幅であるファインマン核\(K(q_{\scriptsize{\text F}},t_{\scriptsize{\text F}};q_{\scriptsize{\text I}},t_{\scriptsize{\text I}})\)の定義に、完全系を挿入することによって、複数点を経たときの遷移確率振幅として表せることを確認した。

\begin{align*} &K(q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}};q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}) \\&={}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&={}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,\text{F}}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text{F}}},t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert q_{\scriptsize{1,\text{I}}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&= {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,\text{F}}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert \\&\ \ \ ×\left(\int dq_{\scriptsize{1,N-1}}\cdots dq_{\scriptsize{N_F,N-1}}\ \vert q_{\scriptsize{1,N-1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,N-1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\vert\right) \\&\ \ \ ×\left(\int dq_{\scriptsize{1,N-2}}\cdots dq_{\scriptsize{N_F,N-2}}\ \vert q_{\scriptsize{1,N-2}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,N-2}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\vert\right) \\&\ \ \ \cdots\left(\int dq_{\scriptsize{1,n}}\cdots dq_{\scriptsize{N_F,n}}\ \vert q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}}, t_{\scriptsize{n}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}}, t_{\scriptsize{n}}\vert\right)\cdots \\&\ \ \ ×\left(\int dq_{\scriptsize{1,2}}\cdots dq_{\scriptsize{N_F,2}}\ \vert q_{\scriptsize{1,2}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,2}}, t_{\scriptsize{2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,2}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,2}}, t_{\scriptsize{2}}\vert\right) \\&\ \ \ ×\left(\int dq_{\scriptsize{1,1}}\cdots dq_{\scriptsize{N_F,1}}\ \vert q_{\scriptsize{1,1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,1}}, t_{\scriptsize{1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,1}}, t_{\scriptsize{1}}\vert\right) \\&\ \ \ ×\vert q_{\scriptsize{1,\text{I}}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&=\left(\prod^{N_{\scriptsize{F}}}_{i=1}\prod^{N-1}_{n=1}\int dq_{\scriptsize{i,n}}\right) \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,\text{F}}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert q_{\scriptsize{1,N-1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,N-1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\vert q_{\scriptsize{1,N-2}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ \cdots{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}}, t_{\scriptsize{n}}\vert q_{\scriptsize{1,n-1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n-1}}, t_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\cdots \\&\ \ \ × {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,2}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,2}}, t_{\scriptsize{2}}\vert q_{\scriptsize{1,1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,1}}, t_{\scriptsize{1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,1}}, t_{\scriptsize{1}}\vert q_{\scriptsize{1,\text{I}}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\tag{1} \end{align*}

ここで、\(q_{\scriptsize{\triangle,\Box}}\)の添字\(\triangle\)は座標軸を表し、添字\(\Box\)は時刻を表す。また、このとき粒子は次のような経路を経る。

\begin{align} &(q_{\scriptsize{1,\text{I}}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text{I}}},t_{\scriptsize{0}}=t_{\scriptsize{\text{I}}})\rightarrow(q_{\scriptsize{1,1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,1}},t_{\scriptsize{1}})\rightarrow(q_{\scriptsize{1,2}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,2}},t_{\scriptsize{2}})\rightarrow\cdots\rightarrow(q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}},t_{\scriptsize{n}})\\&\rightarrow\cdots\rightarrow(q_{\scriptsize{1,N-2}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,N-2}},t_{\scriptsize{N-2}})\rightarrow(q_{\scriptsize{1,N-1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,N-1}},t_{\scriptsize{N-1}})\rightarrow(q_{\scriptsize{1,F}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text{F}}},t_{\scriptsize{N}}=t_{\scriptsize{\text{F}}}) \tag{10}\end{align}

式(\(1\))全体として、始状態\(q_{\scriptsize{1,\text I}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text I}},t_{\scriptsize{\text I}}\)と終状態\(q_{\scriptsize{1,\text F}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text F}},q_{\scriptsize{\text F}}\)は固定されているが、中間状態\(q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}},t_{\scriptsize{n}}\)は積分\(\int dq_{\scriptsize{n}}\)が施されているため、中間状態に関して全ての可能な経路の和が取られていることを意味する。

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内容

ファインマン核とは

 スカラー場のファインマン核\(K(\phi_{\scriptsize{\text F}},t_{\scriptsize{\text F}};\phi_{\scriptsize{\text I}},t_{\scriptsize{\text I}})\)は、固有状態\(\vert \phi_{\scriptsize{\text I}},t_{\scriptsize{\text I}}\rangle_{\scriptsize{\text H}}\)の粒子が、固有状態\(\vert \phi_{\scriptsize{\text F}},t_{\scriptsize{\text F}}\rangle_{\scriptsize{\text H}}\)の粒子として見出される遷移確率振幅である。

\begin{align*} K(\phi_{\scriptsize{\text F}},t_{\scriptsize{\text F}};\phi_{\scriptsize{\text I}},t_{\scriptsize{\text I}}) &={}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert \phi _{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&= {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}}(-\infty),\cdots,\phi_{\scriptsize{\text{F}}}(\infty), t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\phi_{\scriptsize{\text{I}}}(-\infty),\cdots,\phi_{\scriptsize{\text{I}}}(\infty), t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\tag{3} \end{align*}

ここで、\(\phi_{\scriptsize{\Box}}(\triangle)\)の\(\triangle\)は座標を表し、添字\(\Box\)は時刻を表す。注意として、多自由度での添字\(\triangle\)は座標軸を表して有限離散であったが、スカラー場での\(\triangle\)は座標を表して無限連続である。そのため、式(\(3\))の2番目の等号の表し方は有限離散であると誤解を与える可能性がありこ、今後は1番目の等号の表し方を用いる。

完全系の挿入

 ファインマン核\(K(\phi_{\scriptsize{\text F}},t_{\scriptsize{\text F}};\phi_{\scriptsize{\text I}},t_{\scriptsize{\text I}})\)は2状態間の遷移確率振幅であるが、完全系を挿入することによって、粒子が複数の状態を経たときの遷移確率振幅として表せる。

 1自由度または多自由度のときと同様に、時刻\(t_{\scriptsize{\text I}}\)から時刻\(t_{\scriptsize{\text F}}\)までの時間間隔を\(N\)等分して、各時刻\(t_{\scriptsize{n}}\)を

\begin{align*}t_{\scriptsize{n}}\equiv t_{\scriptsize{\text I}}+n\varDelta t\ (n=0,\ 1,\ 2,\cdots,\ N)\tag{4}\end{align*}

と定義する。ここで、

\begin{align*}\varDelta t&=\frac{t_{\scriptsize{\text F}}-t_{\scriptsize{\text I}}}{N}\tag{5}\\t_{\scriptsize{0}}&=t_{\scriptsize{\text I}}\tag{6}\\t_{\scriptsize{N}}&=t_{\scriptsize{\text F}}\tag{7}\end{align*}

の関係を満たす。次に、各時刻\(t_{\scriptsize{n}}\)での完全系

\begin{align}\left(\prod_{\boldsymbol x}\int d\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\right)\ \vert \phi_{\scriptsize{n}},t_{\scriptsize{n}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{n}}, t_{\scriptsize{n}}\vert=\boldsymbol I\tag{8}\end{align}

を順々にファインマン核\(K(\phi_{\scriptsize{\text F}},t_{\scriptsize{\text F}};\phi_{\scriptsize{\text I}},t_{\scriptsize{\text I}})\)の間に右から挿入することによって、次のように変形することができる。

\begin{align*} &K(\phi_{\scriptsize{\text F}},t_{\scriptsize{\text F}};\phi_{\scriptsize{\text I}},t_{\scriptsize{\text I}})\\&={}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert \phi _{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&= {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\\&\ \ \ ×\left\{\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\int d\phi_{\scriptsize{N-1}}(\boldsymbol x)\right)\ \vert \phi_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{N-1}},t_{\scriptsize{N-1}}\vert\right\}\\&\ \ \ ×\left\{\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\int d\phi_{\scriptsize{N-2}}(\boldsymbol x)\right)\ \vert \phi_{\scriptsize{N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\vert\right\} \\&\ \ \ \cdots\left\{\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\int d\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x)\right)\ \vert \phi_{\scriptsize{n}}, t_{\scriptsize{n}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{n}}, t_{\scriptsize{n}}\vert\right\} \cdots \\&\ \ \ ×\left\{\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\int d\phi_{\scriptsize{2}}(\boldsymbol x)\right)\ \vert \phi_{\scriptsize{2}}, t_{\scriptsize{2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{2}}, t_{\scriptsize{2}}\vert\right\} \\&\ \ \ ×\left\{\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\int d\phi_{\scriptsize{1}}(\boldsymbol x)\right)\ \vert \phi_{\scriptsize{1}}, t_{\scriptsize{1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{1}}, t_{\scriptsize{1}}\vert\right\} \\&\ \ \ × \vert\phi_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\\&=\left(\prod_{\boldsymbol{x}}\prod^{N-1}_{n=1}\int d\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol x) \right)\\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{\text{F}}},t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert\phi_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\vert \phi_{\scriptsize{N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ \cdots{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{n}},t_{\scriptsize{n}}\vert \phi_{\scriptsize{n-1}},t_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\cdots \\&\ \ \ × {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle\phi_{\scriptsize{2}},t_{\scriptsize{2}}\vert \phi_{\scriptsize{1}},t_{\scriptsize{1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ × {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle \phi_{\scriptsize{1}},t_{\scriptsize{1}}\vert \phi_{\scriptsize{\text{I}}},t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\tag{9}\end{align*}

このように、粒子が複数の状態を経たときの遷移確率振幅として表せる。\(\prod_{\boldsymbol{x}}\)は連続している座標変数\(\boldsymbol{x}\)それぞれでの積であることを表す。ここで、被積分関数には複数の遷移確率振幅が積となって現れており、粒子が次の経路

\begin{align} &(\phi_{\scriptsize{\text I}},t_{\scriptsize{0}}=t_{\scriptsize{\text{I}}})\rightarrow(\phi_{\scriptsize{1}},t_{\scriptsize{1}})\rightarrow(\phi_{\scriptsize{2}},t_{\scriptsize{2}})\rightarrow\cdots\rightarrow(\phi_{\scriptsize{n}},t_{\scriptsize{n}})\\&\rightarrow\cdots\rightarrow(\phi_{\scriptsize{N-2}},t_{\scriptsize{N-2}})\rightarrow(\phi_{\scriptsize{N-1}},t_{\scriptsize{N-1}})\rightarrow(\phi_{\scriptsize{\text F}},t_{\scriptsize{N}}=t_{\scriptsize{\text{F}}}) \tag{10}\end{align}

を経たときの遷移確率振幅として解釈できる。また、式全体として、始状態\((\phi_{\scriptsize{\text I}},t_{\scriptsize{\text I}})\)と終状態\((\phi_{\scriptsize{\text F}},t_{\scriptsize{\text F}})\)は固定されているが、中間状態\((\phi_{\scriptsize{n}},t_{\scriptsize{n}})\)は積分\(\prod_{\boldsymbol{x}}\int d\phi_{\scriptsize{n}}(\boldsymbol{x})\)が施されているため、中間状態に関して全ての可能な経路の和が取られていることを意味する。

次ページから⋯

 次ページでは、ファインマン核に含まれる各々の遷移確率振幅を計算し、位相空間での経路積分表示(スカラー場)を求める。

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