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本ページでは、ローレンツ変換の下では反変ベクトルと共変ベクトルと呼ばれる異なる変換性を持つ2つのベクトル
\begin{align*}A’^\mu&=\varLambda^\mu{}_\nu A^\nu\\B’_\mu&= B_\nu(\varLambda^{-1})^\nu{}_\mu\end{align*}
が存在することをみる。また、反変ベクトルと共変ベクトルの積はローレンツ変換の下で不変となることをみる。
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前ページでは、ひとつの項にペアで同じ下付き添え字と上付き添え字が現れたとき、総和記号が省かれていても添え字に関して総和をとるアインシュタインの縮約記法について学んだ。
内容
クロネッカーのデルタ
初めに、反変ベクトルと共変ベクトルについて調べるときに用いるクロネッカーのデルタ\(\delta\)について述べる。
クロネッカーのデルタ\(\delta^\nu{}_\rho\)は単位行列\(\boldsymbol I\)
\begin{align*}\boldsymbol I=\left(\begin{array}{c}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right)\tag{1}\end{align*}
の\(\nu\)行\(\rho\)列の成分であり、
\begin{align*}\delta^\nu{}_\rho=\left\{\begin{array}{c}1\ \ \ (\nu=\rho)\\0\ \ \ (\nu\neq\rho)\end{array}\right.\tag{2}\end{align*}
を満たす。
単位行列\(\boldsymbol I\)は行列\(\boldsymbol \varLambda\)とその逆行列\(\boldsymbol\varLambda^{-1}\)の積
\begin{align*}\boldsymbol I&=\boldsymbol\varLambda\boldsymbol\varLambda^{-1}\\\left(\begin{array}{c}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{c}\varLambda^0{}_0&\varLambda^0{}_1&\varLambda^0{}_2&\varLambda^0{}_3\\\varLambda^1{}_0&\varLambda^1{}_1&\varLambda^1{}_2&\varLambda^1{}_3\\\varLambda^2{}_0&\varLambda^2{}_1&\varLambda^2{}_2&\varLambda^2{}_3\\\varLambda^3{}_0&\varLambda^3{}_1&\varLambda^3{}_2&\varLambda^3{}_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}(\varLambda^{-1})^0{}_0&(\varLambda^{-1})^0{}_1&(\varLambda^{-1})^0{}_2&(\varLambda^{-1})^0{}_3\\(\varLambda^{-1})^1{}_0&(\varLambda^{-1})^1{}_1&(\varLambda^{-1})^1{}_2&(\varLambda^{-1})^1{}_3\\(\varLambda^{-1})^2{}_0&(\varLambda^{-1})^2{}_1&(\varLambda^{-1})^2{}_2&(\varLambda^{-1})^2{}_3\\(\varLambda^{-1})^3{}_0&(\varLambda^{-1})^3{}_1&(\varLambda^{-1})^3{}_2&(\varLambda^{-1})^3{}_3\end{array}\right)\tag{3}\end{align*}
で表すことができ、それぞれの成分は
\begin{align*}\delta^{\nu}{}_\rho&=\varLambda^{\nu}{}_{0}(\varLambda^{-1})^{0}{}_\rho+\varLambda^{\nu}{}_{1}(\varLambda^{-1})^{1}{}_\rho+\varLambda^{\nu}{}_{2}(\varLambda^{-1})^2{}_\rho+\varLambda^{\nu}{}_{3}(\varLambda^{-1})^3{}_\rho\\&=\sum_{\mu=0}^3\varLambda^{\nu}{}_{\mu}(\varLambda^{-1})^\mu{}_\rho\tag{4}\end{align*}
となって、アインシュタインの縮約記法を用いると
\begin{align*}\delta^{\nu}{}_\rho=\varLambda^{\nu}{}_{\mu}(\varLambda^{-1})^\mu{}_\rho\tag{5}\end{align*}
となる。
反変ベクトルと共変ベクトル
初めに、ローレンツ変換と時空座標の並進によって慣性系\(x^\mu\)から別の慣性系\(x’^\mu\)に次のように変換されたときを考える。
\begin{align*}x’^\mu=\varLambda^\mu{}_\nu x^\nu+a^\mu\tag{6}\end{align*}
ここで、\(\varLambda^\mu{}_\nu\)はローレンツ変換を表すパラメーターであり、\(a^\mu\)は時空座標\(x^\mu\)の原点を\(a^\mu\)だけずらす時空座標の並進を表すパラメーターである。また、アインシュタインの縮約記法を用いており、縮約記法を用いないと
\begin{align*}x’^\mu=\sum_{\nu=0}^3\varLambda^\mu{}_\nu x^\nu+a^\mu\tag{7}\end{align*}
となり、行列を用いて表すと
\begin{align*}\left(\begin{array}{c}x’^0\\x’^1\\x’^2\\x’^3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\varLambda^0{}_0&\varLambda^0{}_1&\varLambda^0{}_2&\varLambda^0{}_3\\\varLambda^1{}_0&\varLambda^1{}_1&\varLambda^1{}_2&\varLambda^1{}_3\\\varLambda^2{}_0&\varLambda^2{}_1&\varLambda^2{}_2&\varLambda^2{}_3\\\varLambda^3{}_0&\varLambda^3{}_1&\varLambda^3{}_2&\varLambda^3{}_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x^0\\x^1\\x^2\\x^3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}a^0\\a^1\\a^2\\a^3\end{array}\right)\tag{8}\end{align*}
となる。また、微小変化は式(6)より
\begin{align*}dx’^\mu=\varLambda^\mu{}_\nu dx^\nu\tag{9}\end{align*}
と求めることができ、行列で表現すると
\begin{align*}\left(\begin{array}{c}dx’^0\\dx’^1\\dx’^2\\dx’^3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\varLambda^0{}_0&\varLambda^0{}_1&\varLambda^0{}_2&\varLambda^0{}_3\\\varLambda^1{}_0&\varLambda^1{}_1&\varLambda^1{}_2&\varLambda^1{}_3\\\varLambda^2{}_0&\varLambda^2{}_1&\varLambda^2{}_2&\varLambda^2{}_3\\\varLambda^3{}_0&\varLambda^3{}_1&\varLambda^3{}_2&\varLambda^3{}_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}dx^0\\dx^1\\dx^2\\dx^3\end{array}\right)\tag{10}\end{align*}
である。
次に\(dx’_\mu\)の関係式を導く。相対論理論の要請
\begin{align*}ds^2=dx_\mu dx^\mu\tag{11}\end{align*}
はどの座標系でも成り立つため、ローレンツ変換および時空座標の並進によってある慣性系の座標\(x_\mu\),\(x^\mu\)から別の慣性系の座標\(x’_\mu\),\(x’^\mu\)に移ったとしても次の関係
\begin{align*}ds^2=dx’_\mu dx’^\mu\tag{12}\end{align*}
は成り立ち、この式に式(9)を代入すると
\begin{align*}ds^2=dx’_\mu \varLambda^\mu{}_\nu dx^\nu\tag{13}\end{align*}
となる。ひとつの項にペアで同じ下付き添え字と上付き添え字が現れたとき、その添え字は総和を表し、添え字を別の添え字に変えても良いため、式(13)の添え字\(\mu\)と添え字\(\nu\)を入れ替えると
\begin{align*}ds^2=dx’_\nu \varLambda^\nu{}_\mu dx^\mu\tag{14}\end{align*}
となり、式(11)と比較すると
\begin{align*}dx_\mu=dx’_\nu\varLambda^\nu{}_\mu\tag{15}\end{align*}
となる。\(\varLambda^\nu{}_\mu\)を成分に持つ行列\(\boldsymbol \varLambda\)の逆行列である\(\boldsymbol \varLambda^{-1}\)の成分\((\varLambda^{-1})^\mu{}_\rho\)を両辺に掛けると、
\begin{align*}dx_\mu(\varLambda^{-1})^\mu{}_\rho&=dx’_\nu\varLambda^\nu{}_\mu(\varLambda^{-1})^\mu{}_\rho\\&=dx’_\nu\delta^\nu{}_\rho\\&=dx’_\rho\\\rightarrow dx’_\mu&=dx_\nu(\varLambda^{-1})^\nu{}_\mu\tag{16}\end{align*}
となり、アインシュタインの縮約記法を用いないと
\begin{align*}dx’_\mu&=\sum_{\nu=0}^3dx_\nu(\varLambda^{-1})^\nu{}_\mu\tag{17}\end{align*}
となり、行列で表すと
\begin{align*}\left(\begin{array}{c}dx’_0\\dx’_1\\dx’_2\\dx’_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(\varLambda^{-1})^0{}_0&(\varLambda^{-1})^0{}_1&(\varLambda^{-1})^0{}_2&(\varLambda^{-1})^0{}_3\\(\varLambda^{-1})^1{}_0&(\varLambda^{-1})^1{}_1&(\varLambda^{-1})^1{}_2&(\varLambda^{-1})^1{}_3\\(\varLambda^{-1})^2{}_0&(\varLambda^{-1})^2{}_1&(\varLambda^{-1})^2{}_2&(\varLambda^{-1})^2{}_3\\(\varLambda^{-1})^3{}_0&(\varLambda^{-1})^3{}_1&(\varLambda^{-1})^3{}_2&(\varLambda^{-1})^3{}_3\end{array}\right)^T\left(\begin{array}{c}dx_0\\dx_1\\dx_2\\dx_3\end{array}\right)\tag{18}\end{align*}
となる。
※※※式(16)において、2つ目の等号ではクロネッカーのデルタの定義式
\begin{align*}\delta^{\nu}{}_\rho=\varLambda^{\nu}{}_{\mu}(\varLambda^{-1})^\mu{}_\rho\tag{5}\end{align*}
を用い、3つ目の等号ではクロネッカーのデルタの性質
\begin{align*}\delta^\nu{}_\rho=\left\{\begin{array}{c}1\ \ \ (\nu=\rho)\\0\ \ \ (\nu\neq\rho)\end{array}\right.\tag{2}\end{align*}
を用いた。また、式(18)において、転置行列を用いているところに注意する。
※※※
以上をまとめると、それぞれ逆の関係にある変換性(式(9)と式(16))が存在することがわかる。 初めに上付き添え字と下付き添え字で区別を行なったが、単なる区別ではなく変換性が異なることを表しており、変換性が異なるベクトルを等号で結んだり(\(A^\mu=B_\mu\))、足し合わせること(\(A^\mu+B_\mu\))はしてはいけない。これから、式(9)のように次の変換性
\begin{align}A’^\mu&=\varLambda^\mu{}_\nu A^\nu\\\left(\begin{array}{c}A’^0\\ A’^1\\A’^2\\A’^3\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{c}\varLambda^0{}_0&\varLambda^0{}_1&\varLambda^0{}_2&\varLambda^0{}_3\\\varLambda^1{}_0&\varLambda^1{}_1&\varLambda^1{}_2&\varLambda^1{}_3\\\varLambda^2{}_0&\varLambda^2{}_1&\varLambda^2{}_2&\varLambda^2{}_3\\\varLambda^3{}_0&\varLambda^3{}_1&\varLambda^3{}_2&\varLambda^3{}_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}A^0\\ A^1\\A^2\\A^3\end{array}\right)\tag{19}\end{align}
を持つベクトル\(A^\mu\)を反変ベクトルと呼んで成分を上付き添え字で表し、式(16)のように次の変換性
\begin{align}B’_\mu&= B_\nu(\varLambda^{-1})^\nu{}_\mu\\\left(\begin{array}{c}B’_0\\B’_1\\B’_2\\B’_3\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{c}(\varLambda^{-1})^0{}_0&(\varLambda^{-1})^0{}_1&(\varLambda^{-1})^0{}_2&(\varLambda^{-1})^0{}_3\\(\varLambda^{-1})^1{}_0&(\varLambda^{-1})^1{}_1&(\varLambda^{-1})^1{}_2&(\varLambda^{-1})^1{}_3\\(\varLambda^{-1})^2{}_0&(\varLambda^{-1})^2{}_1&(\varLambda^{-1})^2{}_2&(\varLambda^{-1})^2{}_3\\(\varLambda^{-1})^3{}_0&(\varLambda^{-1})^3{}_1&(\varLambda^{-1})^3{}_2&(\varLambda^{-1})^3{}_3\end{array}\right)^T\left(\begin{array}{c}B_0\\B_1\\B_2\\B_3\end{array}\right)\tag{20}\end{align}
を持つベクトル\(B_\mu\)を共変ベクトルと呼んで成分を下付き添え字で表す。ただ、次ページでは反変ベクトルと共変ベクトルは相互変換できることを学ぶため、呼び方などは覚える必要はなく、変換性が二つあることだけ覚えておけばよい。
そして、式(11)と式(12)より、ローレンツ変換によって不変量を保つためには、逆の変換性(式(19)と式(20))を持つ二つのベクトルの内積を用いなければならないということである。逆を言うと、二種類の変換性((19)と(20))をもつベクトルの内積はローレンツ変換の下で必ず不変量になるということである(あくまでローレンツ変換においての話であり、時空座標の並進においても不変量とするためには二種類の変換性を満たす微小変位ベクトル
\begin{align*}dA’^\mu&=\varLambda^\mu{}_\nu dA^\nu\tag{22}\\dB’_\mu&= dB_\nu(\varLambda^{-1})^\nu{}_\mu\tag{22}\end{align*}
を用意しなければならない。)
二種類の変換性とアインシュタインの縮約記法
同じ変換性をもつ2つのベクトルから構成されている次のような項
\begin{align*}B^\mu &A^\mu\\B_\mu&A_\mu\end{align*}
や、同じ添え字が3つ以上現れている次のような項
\begin{align*}C^\mu B_\mu &A^\mu\\C_\mu B^\mu&A_\mu\\D_\mu C^\mu B_\mu &A^\mu\\D^\mu C_\mu B^\mu&A_\mu\end{align*}
はローレンツ変換の下で不変でないため、相対性理論を論じる上でこれらの項は現れない(\(D_\mu C^\mu B_\nu A^\nu\)や\(D^\mu C_\mu B^\nu A_\nu\)であればローレンツ変換の下で不変である)。
アインシュタインの縮約記法では「ひとつの項にペアで同じ下付き添え字と上付き添え字が現れたとき」と条件があったが、この条件は「ローレンツ変換の下で不変なとき」と同義である。
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次ページでは、反変ベクトルを共変ベクトルに、共変ベクトルを反変ベクトルに変換する計量テンソルについて調べる。
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