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本ページでは…
本ページでは、状態ベクトル\(\vert \psi\rangle\)と座標の固有状態\(\vert q\rangle\)との内積をとると波動関数の座標表示
\begin{align*}\psi(q,t)=\langle q\vert\psi\rangle\end{align*}
が得られ、運動量の固有状態\(\vert p\rangle\)との内積をとると波動関数の運動量表示
\begin{align*}\psi(p,t)=\langle p\vert\psi\rangle\end{align*}
が得られることをみる。
また、シュレーディンガー方程式の座標表示と運動量表示を求めていく。
前ページまで…
前ページでは、ハイゼンベルグ描像での固有状態および演算子は、シュレーディンガー描像での固有状態および演算子を用いて
\begin{align*}\vert q,t\rangle_{\scriptsize{\text H}}&=e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\vert q\rangle_{\scriptsize{\text S}}\tag{1}\\\vert p,t\rangle_{\scriptsize{\text H}}&=e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\vert p\rangle_{\scriptsize{\text S}}\tag{2}\end{align*}
\begin{align*}\hat q_{\scriptsize{\text H}}(t)&=e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\hat q_{\scriptsize{\text S}}e^{-\frac{i}{\hbar}t\hat H}\tag{3}\\\hat p_{\scriptsize{\text H}}(t)&=e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\hat p_{\scriptsize{\text S}}e^{-\frac{i}{\hbar}t\hat H}\tag{4}\end{align*}
と定義され、1自由度におけるハイゼンベルク描像での座標と運動量の固有状態\(\vert q,t\rangle_{\scriptsize{\text H}} \),\(\vert p,t\rangle_{\scriptsize{\text H}} \)は座標と運動量の固有値\(q\),\(p\)と演算子\(\hat q_{\scriptsize{\text H}}(t)\),\(\hat p_{\scriptsize{\text H}}(t)\)を用いて次のように書けた。
\begin{align*}&\hat q_{\scriptsize{\text H}}(t)\vert q,t\rangle _{\scriptsize{\text H}}= q\vert q,t\rangle _{\scriptsize{\text H}}\tag{5}\\&\hat p_{\scriptsize{\text H}}(t)\vert p,t\rangle _{\scriptsize{\text H}}= p\vert p,t\rangle _{\scriptsize{\text H}}\tag{6}\end{align*}
内容
状態ベクトルについて
以前のページで述べたが、状態ベクトル\(\vert \psi\rangle\)を空間のある方向に向いたベクトルと考えると、基底ベクトル(以前のページで述べたが、固有状態に相当する)\(\vert r\rangle\)はある1つの座標軸\(r\)方向の単位ベクトルに相当し、波動関数\(\psi(r)=\langle r\vert \psi\rangle\)は座標軸\(r\)の射影成分に相当する。そして、\(\langle r\vert \psi\rangle\)は状態ベクトル\(\vert \psi\rangle\)の特定の物理量\(r\)での値を表すため、状態ベクトル\(\vert \psi\rangle\)と内積をとる基底ベクトル(または固有状態)の種類を変えることによって、波動関数\(\psi(r)\)の表示方法を変えることができる。
座標表示と運動量表示
状態ベクトル\(\vert \psi\rangle\)と座標の固有状態\(\vert q\rangle\)との内積をとると、波動関数\(\psi(q,t)\)は座標で表され、座標表示と呼ばれる。
\begin{align*}\psi(q,t)=\langle q\vert\psi\tag{7}\rangle\end{align*}
一方、状態ベクトル\(\vert \psi\rangle\)と運動量の固有状態\(\vert p\rangle\)との内積をとると、波動関数\(\psi(p,t)\)は運動量で表され、運動量表示と呼ばれる。
\begin{align*}\psi(p,t)=\langle p\vert\psi\rangle\tag{8}\end{align*}
系の時間発展について
系の時間発展について、シュレーディンガー描像では、演算子と固有状態は時間依存性を持たず、状態ベクトル\(\vert \psi(t)\rangle_{\scriptsize {\text S}}\)が時間発展すると考える。一方、ハイゼンベルグ描像では、状態ベクトル\(\vert\psi\rangle_{\scriptsize {\text H}}\)は時間依存性を持たず、演算子と固有状態が時間発展すると考える。
波動関数はシュレーディンガー描像でもハイゼンベルク描像でも等しく、位置表示および運動量表示の波動関数は次のようになる。
\begin{align*}\psi(q,t)&={}_{\scriptsize {\text S}}\langle q\vert\psi(t)\rangle_{\scriptsize {\text S}}={}_{\scriptsize {\text H}}\langle q,t\vert\psi\rangle_{\scriptsize {\text H}}\tag{9}\\\psi(p,t)&={}_{\scriptsize {\text S}}\langle p\vert\psi(t)\rangle_{\scriptsize {\text S}}={}_{\scriptsize {\text H}}\langle p,t\vert\psi\rangle_{\scriptsize {\text H}}\tag{10}\end{align*}
シュレーディンガー描像での固有状態はハイゼンベルク描像での固有状態を用いて次のように表せた。
\begin{align*}\vert q,t\rangle_{\scriptsize{\text H}}&=e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\vert q\rangle_{\scriptsize{\text S}}\tag{11}\\\vert p,t\rangle_{\scriptsize{\text H}}&=e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\vert p\rangle_{\scriptsize{\text S}}\tag{12}\end{align*}
そのため、式(9)と(10)を満たすように、シュレーディンガー描像での状態ベクトルとハイゼンベルク描像での状態ベクトルには次の関係が成り立つ。
\begin{align*}\vert\psi(t)\rangle_{\scriptsize {\text H}}=e^{\frac{i}{\hbar}t\hat H}\vert\psi\rangle_{\scriptsize {\text S}}\tag{13}\end{align*}
この式(13)より、\(t=0\)での状態ベクトルはシュレーディンガー描像でもハイゼンベルク描像でも等しくなる。
\begin{align*}\vert\psi(t=0)\rangle_{\scriptsize {\text H}}=\vert\psi\rangle_{\scriptsize {\text S}}\tag{14}\end{align*}
波動関数は状態ベクトルを固有状態(基底ベクトル)で展開した際の展開係数であるため、シュレーディンガー描像では
\begin{align*}\vert \psi(t)\rangle_{\scriptsize {\text S}}=\int dq\ \psi(q,t)\vert q\rangle_{\scriptsize {\text S}}\tag{15}\\\vert \psi(t)\rangle_{\scriptsize {\text S}}=\int dp\ \psi(p,t)\vert p\rangle_{\scriptsize {\text S}}\tag{16}\end{align*}
が成り立ち、状態ベクトルの時間発展は波動関数が担っており固有状態は時間に依存しない。一方、ハイゼンベルク描像では
\begin{align*}\vert \psi\rangle_{\scriptsize {\text H}}&=\int dq\ \psi(q,t)\vert q,t\rangle_{\scriptsize {\text H}}\\&=\int dq\ {}_{\scriptsize {\text H}}\langle q,t\vert \psi\rangle_{\scriptsize {\text H}}\vert q,t\rangle_{\scriptsize {\text H}}\\&=\int dq\ \vert q,t\rangle_{\scriptsize {\text H}}{}_{\scriptsize {\text H}}\langle q,t\vert \psi\rangle_{\scriptsize {\text H}}\\&=\vert \psi\rangle_{\scriptsize {\text H}}\tag{17}\\\vert \psi\rangle_{\scriptsize {\text H}}&=\int dp\ \psi(p,t)\vert p,t\rangle_{\scriptsize {\text H}}\\&=\int dp\ {}_{\scriptsize {\text H}}\langle p,t\vert \psi\rangle_{\scriptsize {\text H}}\vert p,t\rangle_{\scriptsize {\text H}}\\&=\int dp\ \vert p,t\rangle_{\scriptsize {\text H}}{}_{\scriptsize {\text H}}\langle p,t\vert \psi\rangle_{\scriptsize {\text H}}\\&=\vert \psi\rangle_{\scriptsize {\text H}}\tag{18}\end{align*}
となり、固有状態は時間に依存するが、状態ベクトルは時間発展しない。
シュレーディンガー方程式の表示違い
一般的にシュレーディンガー方程式は次のように表されるが、
\begin{align*}i\hbar\frac{\partial }{\partial t}\psi(q,t)&=H(\hat q,\hat p)\psi(q,t)\tag{19}\\\hat q&=q\\\hat p&=-i\hbar \frac{\partial }{\partial q}\end{align*}
これは、次の状態ベクトルで表した式の座標表示をとったもの(両辺の左から\({}_{\scriptsize {\text S}}\langle q\vert\)を掛けたもの)と見なすことができる。
\begin{align*}i\hbar\frac{\partial }{\partial t}\vert \psi(t)\rangle_{\scriptsize {\text S}}&=H(\hat q_{\scriptsize {\text S}},\hat p_{\scriptsize {\text S}})\vert \psi(t)\rangle_{\scriptsize {\text S}}\tag{20}\\{}_{\scriptsize {\text S}}\langle q\vert\hat q_{\scriptsize {\text S}}&=q{}_{\scriptsize {\text S}}\langle q\vert\\{}_{\scriptsize {\text S}}\langle q\vert\hat p_{\scriptsize {\text S}}&=-i\hbar \frac{\partial }{\partial q}{}_{\scriptsize {\text S}}\langle q\vert\end{align*}
一方、上式(20)の状態ベクトルで表した式の運動量表示をとると(両辺の左から\({}_{\scriptsize {\text S}}\langle p\vert\)を掛ける)と、
\begin{align*}{}_{\scriptsize {\text S}}\langle p\vert\hat q_{\scriptsize {\text S}}&=i\hbar \frac{\partial }{\partial p}{}_{\scriptsize {\text S}}\langle p\vert\tag{21}\\{}_{\scriptsize {\text S}}\langle p\vert\hat p_{\scriptsize {\text S}}&=p{}_{\scriptsize {\text S}}\langle p\vert\tag{22}\end{align*}
より、シュレーディンガー方程式の運動量表示が得られる。
\begin{align*}i\hbar\frac{\partial }{\partial t}\psi(p,t)&=H(\hat q,\hat p)\psi(p,t)\tag{23}\\\hat q&=i\hbar \frac{\partial }{\partial q}\\\hat p&=p\end{align*}
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