ファインマン核(多自由度)

2023.01.20

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本ページでは…

 本ページでは、２点間の遷移確率振幅であるファインマン核(多自由度)の定義と、ファインマン核(多自由度)に完全系を挿入することによって、複数点を経る場合の遷移確率振幅として表現できることをみる。

 ここで、多自由度とは例えば\(x\)軸、\(y\)軸、\(z\)軸…など複数の座標軸を持つ空間を上を粒子が行ったり来たりするイメージである。

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 以前のページでは、1自由度における2点間の遷移確率振幅であるファインマン核\(K(q_{\scriptsize{\text F}},t_{\scriptsize{\text F}};q_{\scriptsize{\text I}},t_{\scriptsize{\text I}})\)の定義に、完全系を挿入することによって、複数点を経たときの遷移確率振幅として表せることを確認した。

\begin{align} K(q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}};q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}})&={}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}
\\&=\int dq_{\scriptsize{1}}\cdots dq_{\scriptsize{N-1}}\
\\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F
}}}, t_{\scriptsize{\text{F
}}}\vert q_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}
\\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\vert q_{\scriptsize{N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}
\\&\ \ \ \cdots{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{n}}, t_{\scriptsize{n}}\vert q_{\scriptsize{n-1}}, t_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\cdots
\\&\ \ \ × {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{2}}, t_{\scriptsize{2}}\vert q_{\scriptsize{1}}, t_{\scriptsize{1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}
\\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1}}, t_{\scriptsize{1}}\vert q_{\scriptsize{\text{I
}}}, t_{\scriptsize{\text{I
}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H
}}}\tag{1}
\end{align}

このとき、粒子は次のような経路を経る。

\begin{align} (q_{\scriptsize{\text{I}}},t_{\scriptsize{0}}=t_{\scriptsize{\text{I}}})\rightarrow(q_{\scriptsize{1}},t_{\scriptsize{1}})\rightarrow(q_{\scriptsize{2}},t_{\scriptsize{2}})\rightarrow\cdots\rightarrow(q_{\scriptsize{n}},t_{\scriptsize{n}})\rightarrow\cdots\rightarrow(q_{\scriptsize{N-2}},t_{\scriptsize{N-2}})\rightarrow(q_{\scriptsize{N-1}},t_{\scriptsize{N-1}})\rightarrow(q_{\scriptsize{\text{F}}},t_{\scriptsize{N}}=t_{\scriptsize{\text{F}}}) \tag{2}\end{align}

式\((1)\)全体として、始状態\(q_{\scriptsize{\text I}},t_{\scriptsize{\text I}}\)と終状態\(q_{\scriptsize{\text F}},q_{\scriptsize{\text F}}\)は固定されているが、中間状態\(q_{\scriptsize{n}},t_{\scriptsize{n}}\)は積分\(\int dq_{\scriptsize{n}}\)が施されているため、中間状態に関して全ての可能な経路の和が取られていることを意味する。

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内容

ファインマン核とは

 多自由度のファインマン核\(K(q_{\scriptsize{\text F}},t_{\scriptsize{\text F}};q_{\scriptsize{\text I}},t_{\scriptsize{\text I}})\)は、時刻\(t_{\scriptsize{\text I}}\)で位置\(q_{\scriptsize{\text I}}\)にいる固有状態\(\vert q_{\scriptsize{\text I}},t_{\scriptsize{\text I}}\rangle_{\scriptsize{\text H}}\)の粒子が、時刻\(t_{\scriptsize{\text F}}\)で位置\(q_{\scriptsize{\text F}}\)にいる固有状態\(\vert q_{\scriptsize{\text F}},t_{\scriptsize{\text F}}\rangle_{\scriptsize{\text H}}\)の粒子として見出される遷移確率振幅である。

\begin{align*} K(q_{\scriptsize{\text F}},t_{\scriptsize{\text F}};q_{\scriptsize{\text I}},t_{\scriptsize{\text I}})&\equiv{}_{\scriptsize{\text H}}\langle q_{\scriptsize{\text F}},t_{\scriptsize{\text F}} \vert q_{\scriptsize{\text I}},t_{\scriptsize{\text I}}\rangle_{\scriptsize{\text H}}\\&={}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,\text{F}}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text{F}}},t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert q_{\scriptsize{1,\text{I}}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \tag{3} \end{align*}

ここで、\(q_{\scriptsize{\triangle,\Box}}\)の添字\(\triangle\)は座標軸を表し、添字\(\Box\)は時刻を表す。

完全系の挿入

 ファインマン核\(K(q_{\scriptsize{\text F}},t_{\scriptsize{\text F}};q_{\scriptsize{\text I}},t_{\scriptsize{\text I}})\)は2点間の遷移確率振幅であるが、完全系を挿入することによって、粒子が複数の点を経たときの遷移確率振幅として表せる。

 1自由度のときと同様に、時刻\(t_{\scriptsize{\text I}}\)から時刻\(t_{\scriptsize{\text F}}\)までの時間間隔を\(N\)等分して、各時刻\(t_{\scriptsize{n}}\)を

\begin{align*}t_{\scriptsize{n}}\equiv t_{\scriptsize{\text I}}+n\varDelta t\ (n=0,\ 1,\ 2,\cdots,\ N)\tag{4}\end{align*}

と定義する。ここで、

\begin{align*}\varDelta t&=\frac{t_{\scriptsize{\text F}}-t_{\scriptsize{\text I}}}{N}\tag{5}\\t_{\scriptsize{0}}&=t_{\scriptsize{\text I}}\tag{6}\\t_{\scriptsize{N}}&=t_{\scriptsize{\text F}}\tag{7}\end{align*}

の関係を満たす。次に、各時刻\(t_{\scriptsize{n}}\)での完全系

\begin{align}\int dq_{\scriptsize{1,n}}\cdots dq_{\scriptsize{N_F,n}}\ \vert q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}}, t_{\scriptsize{n}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}}, t_{\scriptsize{n}}\vert=\boldsymbol I\tag{8}\end{align}

を順々にファインマン核\(K(q_{\scriptsize{\text F}},t_{\scriptsize{\text F}};q_{\scriptsize{\text I}},t_{\scriptsize{\text I}})\)の間に右から挿入することによって、次のように変形することができる。

\begin{align*} &K(q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}};q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}) \\&={}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert q_{\scriptsize{\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&={}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,\text{F}}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text{F}}},t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert q_{\scriptsize{1,\text{I}}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&= {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,\text{F}}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert \\&\ \ \ ×\left(\int dq_{\scriptsize{1,N-1}}\cdots dq_{\scriptsize{N_F,N-1}}\ \vert q_{\scriptsize{1,N-1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,N-1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\vert\right) \\&\ \ \ ×\left(\int dq_{\scriptsize{1,N-2}}\cdots dq_{\scriptsize{N_F,N-2}}\ \vert q_{\scriptsize{1,N-2}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,N-2}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\vert\right) \\&\ \ \ \cdots\left(\int dq_{\scriptsize{1,n}}\cdots dq_{\scriptsize{N_F,n}}\ \vert q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}}, t_{\scriptsize{n}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}}, t_{\scriptsize{n}}\vert\right)\cdots \\&\ \ \ ×\left(\int dq_{\scriptsize{1,2}}\cdots dq_{\scriptsize{N_F,2}}\ \vert q_{\scriptsize{1,2}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,2}}, t_{\scriptsize{2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,2}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,2}}, t_{\scriptsize{2}}\vert\right) \\&\ \ \ ×\left(\int dq_{\scriptsize{1,1}}\cdots dq_{\scriptsize{N_F,1}}\ \vert q_{\scriptsize{1,1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,1}}, t_{\scriptsize{1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,1}}, t_{\scriptsize{1}}\vert\right) \\&\ \ \ ×\vert q_{\scriptsize{1,\text{I}}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&=\left(\prod^{N_{\scriptsize{F}}}_{i=1}\prod^{N-1}_{n=1}\int dq_{\scriptsize{i,n}}\right) \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,\text{F}}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text{F}}}, t_{\scriptsize{\text{F}}}\vert q_{\scriptsize{1,N-1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,N-1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,N-1}}, t_{\scriptsize{N-1}}\vert q_{\scriptsize{1,N-2}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,N-2}}, t_{\scriptsize{N-2}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ \cdots{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}}, t_{\scriptsize{n}}\vert q_{\scriptsize{1,n-1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n-1}}, t_{\scriptsize{n-1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\cdots \\&\ \ \ × {}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,2}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,2}}, t_{\scriptsize{2}}\vert q_{\scriptsize{1,1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,1}}, t_{\scriptsize{1}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}} \\&\ \ \ ×{}_{\scriptsize{\text{H}}}\langle q_{\scriptsize{1,1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,1}}, t_{\scriptsize{1}}\vert q_{\scriptsize{1,\text{I}}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text{I}}}, t_{\scriptsize{\text{I}}}\rangle_{\scriptsize{\text{H}}}\tag{9} \end{align*}

このように、粒子が複数の点を経たときの遷移確率振幅として表せる。ここで、被積分関数には複数の遷移確率振幅が積となって現れており、粒子が次の経路

\begin{align} &(q_{\scriptsize{1,\text{I}}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text{I}}},t_{\scriptsize{0}}=t_{\scriptsize{\text{I}}})\rightarrow(q_{\scriptsize{1,1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,1}},t_{\scriptsize{1}})\rightarrow(q_{\scriptsize{1,2}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,2}},t_{\scriptsize{2}})\rightarrow\cdots\rightarrow(q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}},t_{\scriptsize{n}})\\&\rightarrow\cdots\rightarrow(q_{\scriptsize{1,N-2}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,N-2}},t_{\scriptsize{N-2}})\rightarrow(q_{\scriptsize{1,N-1}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,N-1}},t_{\scriptsize{N-1}})\rightarrow(q_{\scriptsize{1,F}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text{F}}},t_{\scriptsize{N}}=t_{\scriptsize{\text{F}}}) \tag{10}\end{align}

を経たときの遷移確率振幅として解釈できる。また、式全体として、始状態\((q_{\scriptsize{1,\text I}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text I}},t_{\scriptsize{\text I}})\)と終状態\((q_{\scriptsize{1,\text F}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,\text F}},t_{\scriptsize{\text F}})\)は固定されているが、中間状態\((q_{\scriptsize{1,n}},\cdots,q_{\scriptsize{N_F,n}},t_{\scriptsize{n}})\)は積分\(\prod^{N_{\scriptsize{F}}}_{i=1}\int dq_{\scriptsize{i,n}}\)が施されているため、中間状態に関して全ての可能な経路の和が取られていることを意味する。

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 次ページでは、ファインマン核に含まれる各々の遷移確率振幅を計算し、位相空間での経路積分表示(多自由度)を求める。

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