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本ページでは、汎関数\(X\)
\begin{align*}X[\phi]=\int d^4x\ \mathscr X(\phi( x))\end{align*}
の\(\phi( y)\)による汎函数微分\(\frac{\delta X[\phi]}{\delta \phi( y)}\)において、次の関係
\begin{align*}\frac{\delta f( x)}{\delta f( y)}=\delta^4( x- y)\end{align*}
が成り立ち、汎函数微分\(\frac{\delta X[\phi]}{\delta \phi( y)}\)は被積分関数の偏微分になること
\begin{align*}\frac{\delta X[\phi]}{\delta \phi( y)}&=\frac{\partial \mathscr X}{\partial \phi(y)}\tag{5}\end{align*}
を確認する。
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前ページでは、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)に全微分項\(\partial_\mu X^\mu\)を加えても作用積分\(S\)が変わらない性質である｢作用積分の不定性｣について調べた。
内容
汎函数微分
場\(\phi(x)\)から構成される関数\(\mathscr X(\phi(x))\)を時空積分した汎関数\(X[\phi]\)
\begin{align*}X[\phi]=\int d^4x\ \mathscr X(\phi(x))\tag{1}\end{align*}
を考えたとき、汎関数の微小変化\(\delta X[\phi]\)は場の微小変化\(\delta\phi(x)\)を用いて
\begin{align*}\delta X[\phi]&=\int d^4x\ \delta \mathscr X(\phi(x))\\&=\int d^4x\ \frac{\partial \mathscr X}{\partial \phi( x)}\delta \phi( x)\tag{2}\end{align*}
と表される。そのため、時空座標\(y\)点の場\(\phi( y)\)の無限小増分に対する汎関数\(X[\phi]\)の増分は、全体を\(\delta\phi(y)\)で割ればよく、
\begin{align*}\frac{\delta X[\phi]}{\delta \phi( y)}&=\int d^4x\ \frac{\partial \mathscr X}{\partial \phi( x)}\frac{\delta \phi(x)}{\delta \phi(y)}\tag{3}\end{align*}
となる。このように、汎関数の微分を偏微分と区別して汎函数微分と呼び、偏微分記号\(\partial\)ではなく\(\delta\)を用いて表わす。ここで汎関数の微分が偏微分を用いて表せない理由は、汎関数\(X[\phi]\)はもはや変数\(\phi( y)\)による関数ではなく、\(\phi( y)\)の関数形によって値が決まる汎関数であり、汎関数\(X[\phi]\)には変数\(\phi( y)\)があらわに含まれないからである。
すぐ後で分かるが、汎函数微分では次の関係
\begin{align*}\frac{\delta \phi( x)}{\delta \phi( y)}=\delta^4( x- y)\tag{4}\end{align*}
が成り立つため、式(3)は
\begin{align*}\frac{\delta X[\phi]}{\delta \phi( y)}&=\frac{\partial \mathscr X}{\partial \phi(y)}\tag{5}\end{align*}
\begin{align*}\frac{\delta X[\phi]}{\delta \phi( y)}&=\int d^4x\ \frac{\partial \mathscr X}{\partial \phi( x)}\frac{\delta \phi(x)}{\delta \phi(y)}\\&=\int d^4x\ \frac{\partial \mathscr L}{\partial \phi( x)}\delta^4( x- y)\\&=\frac{\partial \mathscr X}{\partial \phi(y)}\end{align*}
3行目への変形ではデルタ関数の性質
\begin{align*}f(y)=\int d^4x\ f(x)\delta^4(x-y)\end{align*}
を用いた。
となり、汎関数\(X[\phi]\)の汎函数微分は被積分関数\(\mathscr X(\phi( y))\)の偏微分で表すことができる。
一点だけ注意だが、今回、被積分関数は変数\(\phi(x)\)のみから成るため汎函数微分の式(5)はシンプルになったが、被積分関数が複数の変数(例えば、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)のように\(\phi(x)\)と\(\partial_0\phi(x)\))から成るときは汎函数微分の式はより複雑となる。例えば、ラグランジアン\(L\)
\begin{align*}L[\phi]=\int dx^3\ \mathscr L(\phi(t,\boldsymbol x),\partial_\mu\phi(t,\boldsymbol x))\tag{6}\end{align*}
の微小変化は
\begin{align*}\delta L[\phi]&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\partial \mathscr L}{\partial \phi( t,\boldsymbol x)}\delta \phi( t,\boldsymbol x)-\delta \phi( t,\boldsymbol x)\partial_\mu\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_\mu\phi( t,\boldsymbol x)}\right)\tag{7}\end{align*}
\begin{align*}\delta L[\phi]&=\int d \boldsymbol x^3\ \delta \mathscr L(\phi(t,\boldsymbol x),\partial_\mu\phi(t,\boldsymbol x))\\&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\partial \mathscr L}{\partial \phi( t,\boldsymbol x)}\delta \phi( t,\boldsymbol x)+\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_\mu\phi( t,\boldsymbol x)}\partial_\mu\delta \phi( t,\boldsymbol x)\right)\\&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\partial \mathscr L}{\partial \phi( t,\boldsymbol x)}\delta \phi( t,\boldsymbol x)+\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_\mu\phi( t,\boldsymbol x)}\delta \phi( t,\boldsymbol x)\right)-\delta \phi( t,\boldsymbol x)\partial_\mu\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_\mu\phi( t,\boldsymbol x)}\right)\\&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\partial \mathscr L}{\partial \phi( t,\boldsymbol x)}\delta \phi( t,\boldsymbol x)-\delta \phi( t,\boldsymbol x)\partial_\mu\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_\mu\phi( t,\boldsymbol x)}\right)\end{align*}
3行目への変形では部分積分を行ない、4行目への変形では全微分項を無視した。
であるから、時空座標\(y\)点の場\(\phi( y)\)の無限小増分に対する汎関数\(L[\phi]\)の増分は、全体を\(\delta\phi(y)\)で割ればよく、
\begin{align*}\frac{\delta L[\phi]}{\delta \phi( y)}&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\partial \mathscr L}{\partial \phi( t,\boldsymbol x)}\frac{\delta \phi( t,\boldsymbol x)}{\delta \phi( t,\boldsymbol y)}-\frac{\delta \phi( t,\boldsymbol x)}{\delta \phi( t,\boldsymbol y)}\partial_\mu\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_\mu\phi( t,\boldsymbol x)}\right)\\&=\int d \boldsymbol x^3\ \left(\frac{\partial \mathscr L}{\partial \phi( t,\boldsymbol x)}\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)-\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\partial_\mu\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_\mu\phi( t,\boldsymbol x)}\right)\\&=\frac{\partial \mathscr L}{\partial \phi( t,\boldsymbol y)}-\partial_\mu\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_\mu\phi( t,\boldsymbol y)}\tag{8}\end{align*}
となって、式(5)の汎函数微分と比べると少々複雑になっている。
汎函数微分のルール①
次のような汎函数\(X[\phi]\)
\begin{align*}X[\phi]=\int d^4x\ \phi(x)\tag{9}\end{align*}
を考えたとき、汎関数の微小変化\(\delta X[\phi]\)は
\begin{align*}\delta X[\phi]&=\int d^4x\ \delta \phi( x)\tag{10}\end{align*}
であるから、時空座標\(y\)点の場\(\phi(y)\)の無限小増分に対する汎関数\(X[\phi]\)の増分は、
\begin{align*}\frac{\delta X[\phi]}{\delta \phi( y)}&=\int d^4x\ \frac{\delta \phi(x)}{\delta \phi(y)}\tag{11}\end{align*}
となる。また、式(9)より時空座標\(y\)の場\(\phi(y)\)が微小変化したとき同じ量だけ汎関数\(X[\phi]\)は変化するから式(11)の汎函数微分は\(1\)
\begin{align*}1=\int d^4x\ \frac{\delta \phi(x)}{\delta \phi(y)}\tag{12}\end{align*}
となり、デルタ関数を用いた次の関係
\begin{align*}\frac{\delta \phi( x)}{\delta \phi( y)}=\delta^4( x- y)\tag{4}\end{align*}
が成り立つ必要がある(右辺のデルタ関数の肩についている添え字の\(4\)は変数\( x\)や\( y\)が\(4\)次元時空であることを表す)。
これを一般化すると
\begin{align*}\frac{\delta f(x)}{\delta f( y)}=\delta^4( x- y)\tag{13}\end{align*}
となり、偏微分においてクロネッカーのデルタを用いた次の関係
\begin{align*}\frac{\partial q_i}{\partial q_j}=\delta_{ij}\tag{14}\end{align*}
に相当する。
ここで、式(4)や式(13)をみたとき、\(\phi(x)\)や\(f(x)\)は汎関数ではないにも関わらず汎函数微分されていると思うかもしれない。しかし、これらの関数は次のように汎函数の形
\begin{align*}f(x)=\int d^4z\ f(z)\delta^4(z-x)\tag{15}\end{align*}
でも表すことができ、式(4)や式(13)も問題なく汎函数微分となっている。このようにどのような関数も汎関数の形で表現することができる。
汎函数微分のルール②
汎函数微分の定義は
\begin{align*}\frac{\delta X[\phi]}{\delta \phi(x)}=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{X[\phi(y)+\epsilon\delta^4(x-y)]-X[\phi(y)]}{\epsilon}\tag{16}\end{align*}
となる。
汎函数微分のルール③
汎函数微分の定義式(16)は通常の微分の定義式とほぼ同じであり、汎函数微分では通常の微分のように次のライプニッツ則が成り立つ。
\begin{align*}\frac{\delta}{\delta\phi(x)}A[\phi]B[\phi]=B[\phi]\frac{\delta A[\phi]}{\delta\phi(x)}+A[\phi]\frac{\delta B[\phi]}{\delta\phi(x)}\tag{17}\end{align*}
次ページでは…
次ページでは、ラグランジアン密度\(\mathscr L\)が複素場\(\varPhi\),\(\varPhi^*\)と複素場の時空微分\(\partial_\mu\varPhi\),\(\partial_\mu\varPhi^*\)から成り立つと仮定し、ラグランジアン密度の時空積分である作用積分\(S\)に作用原理を施すことによってラグランジュの運動方程式
\begin{align}\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu\varPhi}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial\varPhi}=0\\\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \partial_\mu\varPhi^*}\right)-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial\varPhi^*}=0\end{align}
を求める。
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