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本ページでは、汎関数\(S\)
\begin{align*}S[\phi]=\int d\boldsymbol x^3\ F(\phi(\boldsymbol x))\end{align*}
の\(\phi(\boldsymbol y)\)による汎函数微分\(\frac{\delta S[\phi]}{\delta \phi(\boldsymbol y)}\)において、次の関係
\begin{align*}\frac{\delta \phi(\boldsymbol x)}{\delta \phi(\boldsymbol y)}=\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\end{align*}
が成り立ち、汎函数微分は被積分関数の偏微分になることを確認する。
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前ページでは、場\(\phi\)の正準共役運動量\(\pi\)
\begin{align*}\pi=\frac{\partial\mathscr L}{\partial\partial_0\phi}\end{align*}
を導入し、場の理論におけるラグランジアン\(L\)とハミルトニアン\(H\)の関係をルジャンドル変換
\begin{align*}H&=\int d\boldsymbol x^3\ \partial^0\phi\pi- L\end{align*}
から求めた。また、次の関係
\begin{align*}H=\int d\boldsymbol x^3\mathscr H\end{align*}
を満たすハミルトニアン密度\(\mathscr H\)を用いてハミルトンの正準方程式
\begin{align*}\frac{\partial \mathscr H}{\partial\phi}&=-\partial^0\pi\\\frac{\partial \mathscr H}{\partial\pi}&=\partial^0\phi\end{align*}
を求めた。
内容
汎函数微分
変数\(\phi(\boldsymbol x)\)から構成される関数\(F(\phi(\boldsymbol x))\)を空間積分した次の汎関数\(S[\phi]\)
\begin{align*}S[\phi]=\int d\boldsymbol x^3\ F(\phi(\boldsymbol x))\tag{1}\end{align*}
を考えたとき、汎関数\(S[\phi]\)の微小変化\(\delta S[\phi]\)は変数\(\phi(\boldsymbol x)\)の微小変化\(\delta\phi(\boldsymbol x)\)を用いて
\begin{align*}\delta S[\phi]&=\int d\boldsymbol x^3\ \delta F(\phi(\boldsymbol x))\\&=\int d\boldsymbol x^3\ \frac{\partial F(\phi (\boldsymbol x))}{\partial \phi(\boldsymbol x)}\delta \phi(\boldsymbol x)\tag{2}\end{align*}
と表される。そのため、\(\phi(\boldsymbol y)\)の無限小増分に対する汎関数\(S[\phi]\)の増分は
\begin{align*}\frac{\delta S[\phi]}{\delta \phi(\boldsymbol y)}&=\int d\boldsymbol x^3\ \frac{\partial F(\phi (\boldsymbol x))}{\partial \phi(\boldsymbol x)}\frac{\delta \phi(\boldsymbol x)}{\delta \phi(\boldsymbol y)}\tag{3}\end{align*}
となり、これを汎函数微分と呼んで、偏微分記号\(\partial\)ではなく\(\delta\)を用いて表わす。ここで偏微分を用いて表せない理由は、汎関数\(S[\phi]\)はもはや変数\(\phi(\boldsymbol y)\)による関数ではなく、\(\phi(\boldsymbol y)\)の関数形によって値が決まる汎関数であり、汎関数\(S[\phi]\)には変数\(\phi(\boldsymbol y)\)が含まれないからである。
関数\(F(\phi(\boldsymbol x))\)が
\begin{align*}F(\phi(\boldsymbol x))=\phi(\boldsymbol x)\tag{4}\end{align*}
であるとき、式(1)の作用積分\(S[\phi]\)は
\begin{align*}S[\phi]=\int d\boldsymbol x^3\ \phi(\boldsymbol x)\tag{5}\end{align*}
となり、作用積分\(S[\phi]\)の\(\phi(\boldsymbol y)\)による汎函数微分は式(3)より
\begin{align*}\frac{\delta S[\phi]}{\delta \phi(\boldsymbol y)}&=\int d\boldsymbol x^3\ \frac{\partial \phi (\boldsymbol x)}{\partial \phi(\boldsymbol x)}\frac{\delta \phi(\boldsymbol x)}{\delta \phi(\boldsymbol y)}\\&=\int d\boldsymbol x^3\ \frac{\delta \phi(\boldsymbol x)}{\delta \phi(\boldsymbol y)}\tag{6}\end{align*}
となる。また、作用積分の式(5)において、ある座標\(\boldsymbol y\)における\(\phi(\boldsymbol y)\)の値だけを微小変化させると汎関数\(S[\phi]\)も同量だけ微小変化することから、\(\phi(\boldsymbol y)\)の無限小増分に対する汎関数\(S[\phi]\)の増分を表す次の汎函数微分は\(1\)となる。
\begin{align*}\frac{\delta S[\phi]}{\delta \phi(\boldsymbol y)}&=1\tag{7}\end{align*}
よって、式(6)と式(7)より
\begin{align*}\int d\boldsymbol x^3\ \frac{\delta \phi(\boldsymbol x)}{\delta \phi(\boldsymbol y)}=1\tag{8}\end{align*}
が成り立つことから、汎函数微分においてデルタ関数を用いた次の関係
\begin{align*}\frac{\delta \phi(\boldsymbol x)}{\delta \phi(\boldsymbol y)}=\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\tag{9}\end{align*}
が成り立つ(右辺のデルタ関数の肩についている添え字の\(3\)は変数\(\boldsymbol x\)や\(\boldsymbol y\)が3次元であることを表す)。これは偏微分においてクロネッカーのデルタを用いた次の関係
\begin{align*}\frac{\partial q_i}{\partial q_j}=\delta_{ij}\tag{10}\end{align*}
に相当する。
式(3)に式(9)を代入すると
\begin{align*}\frac{\delta S[\phi]}{\delta \phi(\boldsymbol y)}&=\int d\boldsymbol x^3\ \frac{\partial F(\phi (\boldsymbol x))}{\partial \phi(\boldsymbol x)}\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)\\&=\frac{\partial F(\phi (\boldsymbol y))}{\partial \phi(\boldsymbol y)}\tag{11}\end{align*}
となり、汎関数\(S[\phi]\)の汎函数微分は被積分関数\(F(\phi(\boldsymbol y))\)の偏微分に相当することが分かる。
例①正準共役運動量
ラグランジアン\(L\)とラグランジアン密度\(\mathscr L\)の関係性は
\begin{align*}L=\int dx^3\ \mathscr L\tag{12}\end{align*}
であるから、式(11)より、ラグランジアン\(L\)の汎関数微分はラグランジアン密度\(\mathscr L\)の偏微分になることが分かる。よって、場の時間微分\(\partial_0\phi\)によるラグランジアン密度\(\mathscr L\)の偏微分で表される正準共役運動量\(\pi\)
\begin{align*}\pi&=\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_0\phi}\tag{13}\end{align*}
は、場の時間微分(\partial_0\phi)によるラグランジアン\( L\)の汎関数微分
\begin{align*}\pi=\frac{\delta L}{\delta \partial_0\phi}\tag{14}\end{align*}
でも表すことができる。
例②正準方程式(場の理論)
ハミルトニアン\(H\)とハミルトニアン密度\(\mathscr H\)の関係性は
\begin{align*}H=\int dx^3\ \mathscr H\tag{15}\end{align*}
であるから、式(11)より、ハミルトニアン\(H\)の汎関数微分はハミルトニアン密度\(\mathscr H\)の偏微分になることが分かる。よって、ハミルトニアン密度\(\mathscr H\)の偏微分で表される正準方程式
\begin{align*}\frac{\partial \mathscr H}{\partial\phi}&=-\partial^0\pi\tag{16}\\\frac{\partial \mathscr H}{\partial\pi}&=\partial^0\phi\tag{17}\end{align*}
は、ハミルトニアン\( H\)の汎関数微分
\begin{align*}\frac{\delta H}{\delta\phi}&=-\partial^0\pi\tag{18}\\\frac{\delta H}{\delta\pi}&=\partial^0\phi\tag{19}\end{align*}
でも表すことができる。
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